1 / 7

DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV

DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV. Nice Maria Americano da Costa. Introdução. Nesta aula, discutiremos um conjunto de teoremas relativos às funções deriváveis: Teorema de Rolle Teorema de Lagrange Teorema de Cauchy Teorema de L´Hospital Teoremas sobre extremos

yonah
Download Presentation

DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV Nice Maria Americano da Costa

  2. Introdução Nesta aula, discutiremos um conjunto de teoremas relativos às funções deriváveis: Teorema de Rolle Teorema de Lagrange Teorema de Cauchy Teorema de L´Hospital Teoremas sobre extremos Estes teorema são úteis à análise do comportamento das funções:

  3. M c-x c c+x FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS: TEOREMAS Teorema de Rolle. Se a função é contínua no intervalo [a,b], derivável em todos os pontos interiores do intervalo e se anula nas extremidades dele, então existe, ao menos um ponto intermediário x=c, a<c<b, onde a derivada se anula, i. e., f’(x)=0, para x=c Demonstração. Suponha que a função atinja, ao menos uma vez, seu limite superior, M, no ponto x=c. Temos então que f(c )=M. Se f(c ) é o limite superior da função, dando um acréscimo à variável x, x, teremos, f(c+ x)-f(c )<0, independente de x ser positivo ou negativo:

  4. y f(a)=f(b) a c1 c2 b x Aplicando, agora limite às expressões anteriores, teremos O teorema de Rolle vale também para o caso de uma função que não se anula nos extremos do intervalo [a,b], mas que, nestes pontos, se tem f(a)=f(b).

  5. y B M B f(b) C N A f(a) a c b x x Teorema de Lagrange. Se a função é contínua no intervalo [a,b] e derivável em todo ponto interior do intervalo, existe então, ao menos, um ponto c, a<c<b, tal que f(b)-f(a)=f’(c )[b-a]. Demonstração.Consideremos a equação da reta secante à curva nos pontos A e B Construamos agora a função F(x) que mede a diferença entre a curva y=f(x) e esta reta secante Nos extremos do intervalo [a,b], esta nova função se anula, porque a diferença entre a secante e a curva, ai é zero. Temos então

  6. Então a função F(x) satisfaz à hipótese dos Teorema de Cauchy. Logo, podemos escrever para ela:

  7. Teorema de Cauchy. Sejam f(x) e (x) duas funções continuas no intervalo [a,b], deriváveis nele, e seja (x) tal ’(x) não se anula em nenhum ponto deste intervalo. Então existe um ponto x=c no interior do intervalo, a<c<b, tal que : Teorema de L’Hospital . Sejam f(x) e (x) duas funções satisfazendo às condições do teorema de Cauchy e se anulando no ponto a, i. e., f(a)= (a). Se, por outro lado a relação entre as derivadas de f e de (x) existe, quando x tende a z, então o limite da relação entre as derivadas existe e é igual ao limite da relação entre estas duas funções.

More Related