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Beweisen in der Schule

Nr.3- 3.11.2014. 1. Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweis-methoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden. Beweisen in der Schule. Nr.3- 3.11.2014. 2. Satz: Wenn 6│ n, dann 3│n.

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Presentation Transcript

  1. Nr.3- 3.11.2014 1 Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweis-methoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden Beweisen in der Schule

  2. Nr.3- 3.11.2014 2 Satz: Wenn 6│n, dann 3│n. Beweis: 6│n, also n = 6∙k ; Definition „teilt“ also n = 2∙3∙k ; elemen. Rechnen also n = 3∙(2∙k); Rechenregeln also n = 3∙j mit j=2k also 3│n; Definition „teilt“ Beweisen in der Schule

  3. Nr.3- 3.11.2014 3 Aussagenlogische Analyse: [A ᴧ (A→B)] → B Tautologie Direkter Beweis

  4. Nr.3- 3.11.2014 4 Aussagenlogische Analyse: [A ᴧ (A→B)] → B Mehrfache Hintereinanderausführung [A ᴧ (A→B)] → B [B ᴧ(B→C)] → C [C ᴧ(C→D)] → D usw. Direkter Beweis

  5. Nr.3- 3.11.2014 5 Warum habe ich bewiesen?Wenn 6│n, dann 3│n. • Weil Sie es vorher nicht wussten? • Weil man in Mathe alles beweist? • Weil ich den Satz später brauche?

  6. Nr.3- 3.11.2014 6 Warum habe ich bewiesen?Wenn 6│n, dann 3│n. • Weil der Beweis ein geeignetes Bei-spiel für einen direkten Beweis ist. • Hier geeignet weil: • Kein Vorwissen außer Aussagenlogik • Keine spezifischen Schwierigkeiten • Keine geniale Idee • Einfache Begründungsbasis

  7. Nr.3- 3.11.2014 7 • Beweise: α+β+γ = 180° • Zeichne g││h ; Idee • β´= α; Wech.W-Satz • α´= β; Wech.W-Satz • β´+γ+α´= 180°; • Neben-W-Satz • 5. α+β+γ = 180° Beispiel aus Klasse 7 C C h α´ γ γ β´ β β α α g B B A A

  8. Nr.3- 3.11.2014 8 • A: Fred hat am 1.11.11. in Stuttgart einen Mord verübt • B: Fred war am 1.1.11 in Stuttgart • Gerichtsfeste Logik: • A→B ist wahr • ¬B→¬ A ist wahr Direkt geht nicht? Was tun?

  9. Nr.3- 3.11.2014 9 1. A→B und ¬B→¬ A sind logisch äquivalent 2. ¬B→¬ A heißt Kontraposition zu A→B 3. Statt A→B zu beweisen ist es gleichwertig ¬B→¬ A zu beweisen. Beachte: Umkehrung von A→B ist B→A. Das ist nicht die Kontraposition Kontraposition

  10. Nr.3- 3.11.2014 10 Zeige: Wenn n² gerade, dann n gerade. Beweis mit Kontraposition. Zu zeigen: Wenn n ungerade, dann n² ungerade. n ungerade, also n = 2∙k+1; Def. ungerade also n²= 4k²+4k+1; Algebra also n² = 2(2k²+2k)+1; Algebra also n²= 2∙j+1 mit j=2k²+2k also n² ungerade Kontraposition

  11. Nr.3- 3.11.2014 11 Ein historisches Beispiel: Galilei ca.1600 Körper K: Masse M Körper k: Masse m<M Galilei möchte zeigen: A: K fällt nicht schneller als k Ich nehme an, A ist falsch, also ¬A: K fällt schneller als k Beweis durch Widerspruch

  12. Nr.3- 3.11.2014 12 Ein historisches Beispiel: Galilei ca.1600 Körper K: Masse M Körper k: m<M Galilei möchte zeigen: A: K fällt nicht schneller als k Galilei nimmt an, A ist falsch: ¬A: K fällt schneller als k Und erhält einen Widerspruch. Beweis durch Widerspruch

  13. Nr.3- 3.11.2014 13 Aussagenlogische Form: [¬ A→(Bᴧ¬B)] → A ist eine Tautologie* Aus¬ A folgt Kontradiktion. Es folgt ¬ ¬ A=A * Beweis mit Wahrheitstafel Beweis durch Widerspruch

  14. Nr.3- 3.11.2014 14 Zeige A: √2 kann man nicht als Bruch a/b schreiben (a,b aus Z) Beweis mit Widerspruch Annahme ¬ A: √2 = a/b dann 2 = a²/b² dann 2b²=a² Primfaktor 2 in ungerader Anzahl in gerader Anzahl Widerspruch! In der Schule?

  15. Nr.3- 3.11.2014 15 • Vorwissen: Primfaktorzerlegung • Logische Strategie schwer • „Unterprozedur“ des Widerspruchs lenkt ab von „Oberprozedur“ ab. Didaktische Bewertung

  16. Nr.3- 3.11.2014 16 • Unterscheidung: Satz – Definition • Unterscheidung: Satz - Kehrsatz • Voraussetzung – Folgerung identifizieren • Aussage eines Satzes verstehen In der Schule

  17. Nr.3- 3.11.2014 17 • Beweis mit Beispiel bzw. Gegenbeispiel • Direkte Beweise ab Klasse 7 • Stellenweise: Kontraposition • Beweis mit Widerspruch In der Schule

  18. Nr.3- 3.11.2014 18 • Beweis mit Beispiel bzw. Gegenbeispiel • Direkte Beweise ab Klasse 7 • Stellenweise: Kontraposition • Beweis mit Widerspruch In der Schule

  19. Nr.3- 3.11.2014 19 Zum Bildungswert der Mathematik an der Schule am Beispiel der deduktiven (logischen) Schulung. Zusatz 1

  20. Nr.3- 3.11.2014 20 Was leistet ein Beweis? Mathematischer Satz Wahr in der Wahr in Mathematik Wirklichkeit? Bsp: Winkelsumme im Dreieck Zusatz 2

  21. Nr.3- 3.11.2014 21 Einstein: "Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit". Zusatz 2

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