Nazwy szkół: IV Liceum Ogólnokształcące w Gorzowie Wlkp. LO im. Henryka Sienkiewicza we Wrześni

2. Dane informacyjne : • Nazwy szkół: • IV Liceum Ogólnokształcące w Gorzowie Wlkp. • LO im. Henryka Sienkiewicza we Wrześni • ID grup: • 97/16_MF_G1 • 97/65_MF_G1 • Opiekunowie: • mgr Monika Zedel • mgr Justyna Rewers • Kompetencja: Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka • Semestr/rok szkolny: II/2010/2011

3. Rachunek prawdopodobieństwa

4. Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.

5. Pierwsze znane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa dotyczyły gier hazardowych, w szczególności gry w kości. Mimo, że gra znana była jużw starożytności, pierwsze teoretyczne zainteresowanie tą grą przejawiali dopiero matematycy francuscy z XVII w. Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Pierre de Fermat Blaise Pascal

6. Cel rachunku prawdopodobieństwa Celem rachunku prawdopodobieństwa jest poszukiwanie sposobu mierzenia tej szansy, czyli określenia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego.

7. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Sposób liczenia prawdopodobieństwa podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku 1812. Twierdzenie to brzmi: Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. |liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających A| P(A) = |liczba wszystkich zdarzeń elementarnych|

8. Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne,to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe: |A| P(A) = |Ω| |A|- liczba elementów zbioru A |Ω|- liczba elementów zbioru Ω. Pierre Simon de Laplace

9. Własności prawdopodobieństwa • 0≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω • P (Ω) = 1 Ω - zdarzenie pewne • P (Ø) = 0 Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω) • P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω • P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω, zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B) dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω.

10. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: P(A’) = 1 – P(A) • Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: P(A∪B) = P(A) + P(B) • Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli P(A) ≤ P(B) to P(B\A) = P(B) – P(A)

11. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., B ⊂ Ω spełniają warunki: 1. Bi ∩ Bj = Ø dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω,3. P (Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość: P (A) = P (A | B1) · P (B1) + P (A | B2) · P (B2) + ... + P (A | Bn)· P (Bn)

12. Zdarzenia losowe • To zdarzenia, które mogą wystąpić, ale ich zajścia nie można przewidzieć. • To wyniki eksperymentu losowego, którym może być np.: • opisywany w szkole rzut kostką do gry lub monetą, • losowy wybór elementu z określonego zbioru, • obserwacja zjawisk o charakterze losowym w otaczającym nas świecie. • Dla zdarzeń losowych chcemy • badać szansę ich zajścia.

13. Zdarzenia niezależne i prawdopodobieństwo warunkowe • Zdarzenia niezależne Zdarzenia A ⊂ Ω, B ⊂ Ω są niezależne, gdy • P (A ∩ B) = P (A) · P (B) • Prawdopodobieństwo warunkowe • Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0.Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę: P(A ∩ B) P(A|B) = P(B)

14. Schemat Bernoulliego Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego wyraża się wzorem : n k ( ) . . k n-k p q p + q = 1 gdzie:p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,q- prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.

15. Kombinatoryka

16. Kombinatoryka Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacjii innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej.

17. Podstawowe pojęcia Zbiór i element to pojęcia pierwotne. Nie możemy podać definicji zbioru, możemy podać dwie cechy zbioru: • a) w zbiorze kolejność elementów nie jest istotna, • b) zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, To znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz. Zauważmy, że kombinacje bez powtórzeń są zbiorami. Multizbiór różni się z kolei tym od zbioru, że może zawierać elementy identyczne, a więc innymi słowy, każdy z różnych elementów multizbioru może występować więcej niż jeden raz. Ciąg definiuje się formalnie jako funkcję na danym zbiorze, można też określić ciąg jako „zbiór uporządkowany”. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie.

18. Reguła mnożenia Podzielmy daną czynność na dwa etapy. Jeśli pierwszy etap można wykonać na n sposobów, drugi etap można wykonać na k sposobów, to całą czynność można wykonać na n∙ksposobów. PRZYKŁAD 1 Ile można ułożyć liczb dwucyfrowych? 1 etap Wybranie cyfry można wykonać na 9 sposobów ( bez zera) 2 etap Wybranie drugiej cyfry można wykonać na 10 sposobów. Wszystkich liczb dwucyfrowych jest 9∙10=90 sposobów

19. Podzielmy daną czynność na trzy etapy. Jeżeli pierwszy etap można wykonać na n sposobów, drugi etap można wykonać na k sposobów, a trzeci na p sposobów, to całą czynność można wykonać na n∙k∙p sposobów. Przykład 2. Wybieramy czapkę spośród 5 czapek, z siedmiu szalików oraz jedną z dwóch par rękawiczek. Na ile sposobów można wybrać te rzeczy? 1 etap Wybieranie czapki można wykonać na 5 sposobów. 2 etap Wybieranie szalika można wykonać na 7 sposobów. 3 etap Wybieranie rękawiczek można wykonać na 2 sposoby. Wybrać te rzeczy można na 70 sposobów. Podobnie jest gdy daną czynność można wykonać w czterech, pięciu, … etapach.

20. Permutacje Permutacją bez powtórzeń n - elementowego zbioru nazywamy każdy ciąg (n - elementowy) zawierający wszystkie elementy z tego zbioru ilość permutacji bez powtórzeń wynosi :  PrzykładPermutacją 3 elementową bez powtórzeń byłoby każde ułożenie w wyraz 3 literek wyciągniętych z kompletu scrabble. Zakładamy, że literek tych nie da się wymieniać na inne. Ilość możliwych ułożeń wyrazów z 3 liter scrabble jest równa: 3! = 1 · 2 ·  3 = 6

21. Kombinacje • Podzbiór k różnych elementów ze zbioru n elementów Przykład Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe kombinacje: {a, b}, {a, c}, {b, c}

22. Wariacje bez powtórzeń k wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów, którego wyrazy są różnymielementami z tego zbioru. Ilość k wyrazowych wariacji bez powtórzeń równa jest: PrzykładZ trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe wariacje: {a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}

23. Wariacje z powtórzeniami k wyrazową wariacją z powtórzeniami ze n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów z tego zbioru Ilość k wyrazowych wariacji z powtórzeniami równa jest: PrzykładZ trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe wariacje: {a, b}, {b, a}, {c, a}, {a, c}, {b, c}, {c, b},{a, a}, {b, b}, {c, c}

24. Przydatne wzory…

25. Właściwości typów zestawień

26. Ustalanie rodzaju zestawień Aby ustalić rodzaj zestawień, które będziemy analizować, należy postępować według następującego algorytmu: • Ustalamy, czy kolejność elementów w zestawieniach jest istotna, czy też nie. Jeżeli nie jest istotna, a zestawienia różnią się tylko składem, mamy do czynienia z kombinacjami i omijamy punkt b. • Ustalamy, czy zestawienia różnią się tylko kolejnością elementów. Jeżeli tak, mamy do czynienia z permutacjami. Jeżeli różnią się nie tylko kolejnością elementów, ale także składem, nasze zestawienia to wariacje. • Ustalamy, czy w zestawieniach elementy powtarzają się, czy też nie.

27. Obliczanie ilości zestawień Ilość zestawień zadanego typu obliczamy według następujących wzorów:

28. Ciekawostki

29. Wolfgang Amadeusz Mozart Ten artysta znany był z poczucia humoru. Jednym z przykładów może być utwór MusikalischesWurfelspiel(Muzyczna gra w kości), wydany już po śmierci autora. Dziełko to jest przepisem na tworzenie różnych 16-taktowych menuetów. Mozart przedstawił po dwie propozycje taktów ósmego i szesnastego oraz po jedenaście propozycji każdego z pozostałych taktów. Wykonawca sam mógł dokonać wyboru wariantów taktów i „skomponować” własny menuet. Odegranie takiego utworu zajmowało około pół minuty. Mozart chciał, by wybór wersji taktu ósmego i szesnastego następował na przykład w wyniku rzutu monetą, a wybór wersji każdego z pozostałych jedenastu taktów - w wyniku rzutu kostkami. Proponował, by rzucać dwiema kostkami i od sumy oczek na kostkach odejmować 1. Wynik wskazywałby, którą z jedenastu wersji należy wybrać.

30. Antoine Gombaud Francuski szlachcic Antoine Gombaud (1607-1684) zwany kawalerem de Méré, grał namiętnie w kości. Znał on matematykę na tyle by stwierdzić, że prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki w czterech rzutach jest większe niż ⅟2.Dzięki tej wiedzy zwykle odchodził od stołu gry z wygraną. Zachęcony skutecznością swych rozważań postanowił określić liczbę rzutów dwiema kośćmi, przy której prawdopodobieństwo wypadnięcia co najmniej jednej pary szóstek byłoby większe od ⅟2. Uznał, że skoro w rzucie jedną kością wystarczą 4 rzuty, to w wypadku dwóch kości powinny wystarczyć –proporcjonalnie 4/9∙36,czyli 24 rzuty. Był bardzo zaskoczony, gdy próbując wykorzystać swoje obliczenia w praktyce, coraz częściej przegrywał.  

31. Zirytowany opisał tę historię w liście do znakomitego francuskiego matematyka Blaise′a Pascala. Problem przedstawiony w liście tak zaintrygował Pascala, że ten nie tylko go rozwiązał, ale też rozpoczął poważne studia nad zagadnieniami dotyczącymi prawdopodobieństwa. Wyniki swych badań opisał w 1654 roku w niezwykle ważnym dla rachunku prawdopodobieństwa dziele Traitédu triangle arithmétique. Może Pascal nie zająłby się rachunkiem prawdopodobieństwa, gdyby nie skłonność do hazardu de Méré.

32. Zadania Hazardowe i nie tylko…

33. Duży lotek Gra polega na poprawnym wytypowaniu losowanych wwyznaczonych terminach liczb. Podczas jednego losowania losowanych jest 6 liczb z 49. Typowanie odbywa się przez zaznaczenie liczb na blankiecie. Wygrywa się po trafieniu minimum 3 cyfr. Wysokość głównej wygranej (trzeba trafić wszystkie 6 liczb) zależy od ilości osób, które ją zdobyły.

34. Zad1. Ile jest kombinacji szczęśliwych szóstek? Odp. Jest dokładnie 13983816 kombinacji Zad2. Jakie jest prawdopodobieństwo 5 trafień? Odp. Prawdopodobieństwo 5 trafień wynosi 0,000018450

35. Zad3. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „3”? Odp. Prawdopodobieństwo trafienia „3” wynosi 0,0176504

36. Zad 4. Ile złotych powinna wynosić główna wygrana, żeby duży lotek był grą sprawiedliwą, zakładając że jeden kupon kosztuje 1zł? - prawdopodobieństwo wylosowania „6” - prawdopodobieństwo nie wylosowania „6” Odp. Aby duży lotek był grą sprawiedliwą, główna wygrana powinna wynosić ok. 13888887zł

37. Kości Kości - popularna gra dla 2-4 osób, w której gracze turlają 5 typowymi sześciennymi kostkami, by uzyskać określone układy oczek, za które otrzymuje się punkty. Celem gry jest uzyskanie największej ilości punktów. Zasady gryUżywa się 5 klasycznych kości do gry o kształcie sześcianu z ilością punktów 1, 2, 3, 4, 5 i 6 na poszczególnych ściankach. W każdej kolejce gracz ma do dyspozycji 3 rzuty kostkami. Pierwszy rzut odbywa się zawsze wszystkimi 5 kostkami. Przy następnych nieobowiązkowych rzutach gracz może wybraćze wszystkich kostki zatrzymane, a niezatrzymanymi wykonuje rzut.Celem rzutóww kolejce jest uzyskanie odpowiedniej kombinacji.

38. Kategorie

39. Zad 1. • Ile jest sposobów wyrzucenia kości? Odp. Jest 7776 sposobów wyrzucenia kości. • Zad 2. • Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dużego strita, jeśli w pierwszym rzucie otrzymano liczby 2,3 i wstrzymano te kości ? Możliwości: 12345, 23456 Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania dużego strita wynosi

40. Zad 3. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dużego strita w pierwszym rzucie, zaczynając od liczby 1 ? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi • Zad 4. • Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia generała za pierwszym razem? (5 takich samych oczek) Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

41. Jednoręki bandyta W zależności od maszyny różne są zasady wygranej w jednorękiego bandytę. Czasem aby wygrać trzeba mieć ułożone takie same symbole po skosie, innym razem mogą one być tylko w poziomie. W tych zadaniach ( od 1 do 3) rozpatrujemy następujące ułożenie: aby wygrać symbole z poziomie muszą być takie same. Mamy trzy kolumny symboli, po 6 symboli w każdej.

42. Zad 1. • Ile jest możliwych ustawień symboli w jednorękim bandycie? Odp. W jednorękim bandycie jest 216 możliwych ustawień symboli. • Zad 2. • Na ile sposobów mogą ustawić się symbole w poziomie jeśli w poziomie mają być dwa takie same symbole ? Odp. Jest 6 możliwych ustawień.

43. Zad 3. • Jakie jest prawdopodobieństwo, że ustawią się w poziomie trzy takie same symbole? WYGRANA !!! Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

44. Zad 4. • W innym kasynie wygrana jest wtedy gdy symbole ułożą się po skosie. ( Cały czas mamy 6 symboli w trzech kolumnach) • a)Na ile sposobów mogą ustawić się symbole aby nastąpiła wygrana? • 6*5*5 + 5*6*5 + 5*5*6= 450 • Odp. Jest możliwych 450 sposobów ustawień. • b) Oblicz prawdopodobieństwo takiego zdarzenia WYGRANA !!! Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

45. Ruletka • Ruletka to jedna z najsłynniejszych gier na świecie. W ruletce nasze działania ograniczają się do możliwości obstawienia konkretnych wyników. To od tego jakie wartości obstawimy, o raz od wyniku rzutu krupiera. Wynikiem takiego rzutu może być jedno z 36 pól ruletki. Są to czarne lub czerwone pola ponumerowane od 1 do 36.

46. Główne możliwości obstawiania: 1)Na jedną liczbę 2)Na dwie liczby 3)Na trzy liczby 4)pojedyncza kombinacja(czarne,czerwone, parzyste, nieparzyste, passe, manque) 5)tuzin kolejnych liczb 6) kolumna dwunastu liczb

47. Zad1. Koło ruletki składa się z 36 nie po kolei ułożonych liczb. Jakie jestprawdopodo-bieństwo, że zostanie wylosowana 8? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Zad2. Jedną z możliwości obstawiania liczb w ruletce jest obstawianie tuzinów( 12 kolejnych liczb). Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wylosowana liczba będąca w 2 tuzinie (13-24)? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

48. Zad3. Na stole ruletki są umieszczone liczby. Połowa z nich (18 liczb) jest na czarnym polu,a druga połowa na czerwonym. Pola ułożone są wymiennie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana będzie liczba w kolorze czarnym? Odp. Prawdopodobieństwo wynosi Zad4. Osoba grająca w ruletkę chce obstawić 2 liczby z pierwszego tuzina, czyli z liczb od 1 do 12. Ile ma możliwości? Odp. Jest 66 możliwości.

49. Zad5. Ile jest możliwości obstawienia 3 liczb w ruletce tak aby: a)Wszystkie były parzyste Odp. Jest 816 możliwości. • b) 2 były parzyste, a 1 nie parzysta Odp. Jest 2754 możliwości. • c) była co najmniej 1 nieparzysta Odp. Jest 6324 możliwości.

50. Zad6. Ile jest możliwości obstawienia 3 liczb wybierając spośród 36 pól? Odp. Jest 7140 możliwości.