I modelli matematici: osservazioni ed esempi

1. I modelli matematici: osservazioni ed esempi Prof. Mario Landucci Dip. Matematica applicata G.Sansone landucci@dma.unifi.it Anno Accademico 2004-2005

2. Compito del matematico “puro”? PROVARETEOREMI Primo valore della matematica è FORNIRE uno STRUMENTO per meglio CONOSCERE il MONDO FISICO l’importanza della matematica nei confronti della scienza

3. i greci furono i primi a sostenere che l’universo è disegnato secondo rigide proprietà matematiche • Galileo Galilei (1564-1642): la scienza deve cercare di fornire leggi quantitative • dobbiamo osservare i fenomeni della natura • proporre un modello matematico astratto che li descriva • verificarne la validità • dedurre proprietà del modello

4. MODELLO della CRESCITA di una POPOLAZIONE Problema: Costruire un modello matematico (cioe’ formulare una legge matematica) che spieghi come una popolazione (batteri, pesci, persone) si modifica nel tempo

5. N(t)=numero di individui di una certa popolazione al tempo t Dopo un tempo pari a Dt N(t + Dt)= numero di individui incremento: velocita’ di variazione della popolazione nel tempo t : velocita’ istantanea di variazione della popolazione t piccolo a piacere lim per t0 di Si ha la derivata di N(t) rispetto a t :

6. Thomas Malthus (1766-1834): prima ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione velocita’ di crescita proporzionale alla popolazione stessa equazione differenzialesoluzioni: N(t)=N(0)ekt e= numero di Eulero=2,7182818… Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo variare la costante k

7. Tabella della dinamica della popolazione USA Dopo il 1860 l’equazione malthusiana nonfornisce una previsione accettabile

8. Tabella della stima della popolazione mondiale Essendo la superficie totale della terra 510.100.000.000.000 m2 una semplice divisione mostra chenel 2500 sarebbero costretti a stare quasi in piedi l’uno accanto all’altro !!

9. Crescita in laboratorio del piccolo roditore Microtus Arvallis(previsione con l’equazione malthusiana k=0.4) La stima malthusiana e’ accettabile

10. L’ipotesi malthusiana non è, in generale, accettabile in particolare perche’ prevede sempre una crescita indefinita

11. Verhulst (1837) biologo matematico: introdusse un fattore correttivo la velocita’ di crescita diminuisce quando la popolazione aumenta equazione logisticasoluzioni:

12. Grafico della funzione logistica con N(0)=10, k=0.3, h=0.006 Notare la presenza dell’asintoto N(t)=k/h=50

13. Popolazione degli Usa nel periodo 1790-1950 e dati calcolati con la legge di crescita logistica Il modello appare ora sufficientemente soddisfacente

14. Modello matematico per la datazione col Carbonio 14 (Come anche la matematica puo’ svelare i falsi)

15. Walter F.Libby (chimico, p.Nobel): ideò alla fine degli anni ’40 uno dei metodi piu’ famosi e semplici di datazione dei reperti • L’azoto che si trova negli strati alti dell’atmosfera, bombardato da raggi cosmici, dà luogo a 14C, un isotopo radioattivo del C. • Il carbonio che viene normalmente fissato da piante e animali è caratterizzato da un rapporto costante 14C/12C=10-12. • Quando un organismo cessa di vivere la concentrazione di 14C diminuisce perché non viene più assorbito mentre continua a decadere

16. N(t)=quantità di 14C nell’oggetto da datare al tempo t N(0)=quantità di 14C contenuta al tempo t=0 K=costante di decadimento radiattivo del 14C N(t) è soluzione dell’equazione: ovvero: R(t)=velocità con cui avviene il decadimento radioattivo

17. Castello di Winchester:tavola rotonda. E’ quella di Re Artù? R(t)= 6.08 grammo/min v. decadimento legno se R(0)=6.68 grammo/min e k=1.245x10-4 anno-1 (legno vivo) 1977: datazione con il 14C La tavola rotonda è stata tagliata nel 1275!! t =700 anni

18. Ma Re Artù è vissuto nel VI secolo!!!