(10) Thermodynamik Erster Hauptsatz Spezifische Wärmekapazität

1. Meteo 141 Meteorologie und Klimaphysik (10) Thermodynamik Erster Hauptsatz Spezifische Wärmekapazität

2. Meteo 142 Thermodynamik In der Thermodynamik betrachten wirein System(das von Materie umgeben wird, die selbst nicht zum System gehört). Offenes System –tauscht mit der Umgebung Masse und Energie aus. Geschlossenes System –tauscht mit der Umgebung Energie aus, aber keine Masse (z.B. das Klimasystem der Erde). Abgeschlossenes System –tauscht mit der Umgebung weder Energie noch Masse aus (isoliertes System) Der Zustand eines Systems wird durch makroskopische Zustandsgrößen beschrieben (z.B. p, V, T), die durch eine Zustandsgleichung miteinander verknüpft sind (z.B. durch das Gasgesetz). Zustandsgrößen hängen nur vom momentanen Zustand des Systems ab, und nicht vom Weg, auf dem er erreicht wurde.

3. Meteo 143 Thermodynamik Wenn das System im thermodynamischen Gleichgewicht ist, sind die Zustandsgrößen zeitlich konstant (nicht sehr spannend). Zwei System, die miteinander im thermischen Gleichgewicht sind, haben die gleiche Temperatur (folgt ~ aus dem „Nullten Hauptsatz“): Nullter Hauptsatz: „Es gibt eine Zustandsgröße, die Temperatur. Ihre Gleichheit ist Bedingung des thermischen Gleichgewichtes zweier Systeme“ oder „Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht“. Extensive Zustandsgrößen sind von der Größe des Systems abhängig – z.B. die Teilchenzahl oder das Volumen. Intensive Größen sind nicht von der Größe des Systems (bzw. von der Stoffmenge) abhängig – z.B. der Druck oder die Temperatur(zwei Kugeln Eis sind nicht doppelt so warm wie eine).

4. Meteo 144 Zustandsänderungen Für ein ideales Gas gibt es Spezialfälle von Zustandsänderungen, bei denen jeweils eine Zustandsgröße konstant bleibt. Wenn sich die Stoffmenge nicht ändert gibt es folgende Möglichkeiten: Bei einer isobaren Zustandsänderung bleibt der Druck gleich, und Gay-Lussacsches Gesetz Joseph Louis Gay-Lussac (1802) Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt die Temperatur gleich, Boyle-Mariotte Gesetz Robert Boyle (1662) Edme Mariotte (1676) Bei einer isochoren Zustandsänderung bleibt das Volumen gleich, Gesetz von Amonton Guillaume Amonton

5. Meteo 145 Zustandsänderungen • Im thermodynamischen Diagramm (p-V-Diagramm) sieht die Sache (schematisch) so aus (Bild: U. Langematz):

6. Meteo 146 1. Hauptsatz In der Thermodynamik wird die kinetische Energie durch die Bewegung des Systems als Ganzes und die Änderung seiner potentiellen Energie im äußeren Feld nicht betrachtet. Die Energie eines Systems ist also in der Thermodynamik gleich seinerinneren Energie. Erster Hauptsatz der Thermodynamik Für abgeschlossene Systeme gilt der Satz von der Erhaltung der Energie. Die innere Energie U kann sich nur durch den Transport von Energie in Form von Arbeit W und/oder Wärme Q über die Grenze des Systems ändern, [Weder Arbeit noch Wärme sind Zustandsgrößen (für die wir das totale Differential d verwenden würden), deshalb verwenden wir für sie das Differentialzeichen δ ]

7. Meteo 147 1. Hauptsatz Volumenarbeit – Bei der Kompression eines Gases muss (äußere) Arbeit (gegen den inneren Druck) verrichtet werden (ausprobieren). Verschieben wir den Kolben langsam (reibungsfrei, quasistatisch, reversibel, ..) nach innen (pa > pi) so wird das Volumen verringert (dV < 0). Die dafür nötige, von außen zugeführte Arbeit ist positiv definiert – damit haben wir wieder einmal ein Minus „hergezaubert“ (Bild: U.Langematz). Mit „Arbeit ist Kraft mal Weg“ und „Kraft ist Druck mal Fläche“ erhalten wir: Adx ist aber genau das infinitesimale Volumen dV:

8. Meteo 148 1. Hauptsatz Volumenarbeit – Bei der Expansion eines Gases (dV > 0) verrichtet dieses Arbeit gegen den äußerenDruck. Das System leistet Arbeit, die äußere Arbeit ist negativ. Die Geschwindigkeit spielt bei der Berechnung der Arbeit keine Rolle (da drängen sich natürlich sofort Assoziationen auf, die man keinesfalls in ein Skriptum schreiben kann), damit kann man sie (formal) auch unendlich langsam ansetzen. Dadurch wird der Prozess quasistatisch (pa pi). Das dauert zwar seine Zeit, aber dafür ist der Prozess reversibel, das System kann wieder in den Ausgangszustand zurückkehren kann, ohne dass in seiner Umgebung irgendwelche Veränderungen eingetreten sind. Wenn Luft über ein Gebirge strömt, ohne dass es dabei zu Wolkenbildung kommt, ist diese Annahme z.B. auch in der richtigen Welt sehr gut erfüllt. Bei Aufstieg dehnt sich die Luft aus und kühlt sich ab, beim Abstieg geht alles wieder zum Ausgangszustand zurück („Z.K. macht‘s wieder gut …“).

9. Meteo 149 Wärmekapazität Ein thermisch isoliertes System kann keine Wärme mit seiner Umgebung austauschen (δQ = 0). Jede Zustandsänderung in einem solchen System heißt adiabatisch. Wird einem System Energie in Form von Wärme zugeführt, so erfolgt eine Änderung seines Zustands, die als Temperaturänderung in Erscheinung tritt. Für kleine Änderungen ist der Temperaturanstieg proportional zur Wärmemenge. Der Proportionalitätsfaktor ist die WärmekapazitätC. Je höher die Wärmekapazität eines Stoffes, desto mehr Wärme muss zugeführt werden, um die Temperatur um dT zu erhöhen. Die Wärmekapazität ist also stoffabhängig. Sie hängt aber auch davon ab, unter welchen Bedingungen dem System Wärme zugeführt wird.

10. Meteo 150 Wärmekapazität Bei konstantem Volumen kann das System keine Arbeit leisten. In diesem Fall haben wir es mit der isochoren Wärmekapazität, bzw. mit der Wärmekapazitätbei konstantem Volumen, CV, zu tun: Bei konstantem Druck kann sich das System bei Erwärmung ausdehnen. Ein Teil der zugeführten Energie wird dabei für die Volumenarbeit benötigt, und steht daher nicht zur Temperaturerhöhung zur Verfügung. Die isobare Wärmekapazität, bzw. Wärmekapazitätbei konstantem Druck, Cp, ist daher typischerweise höher als die isochore.

11. Meteo 151 Spezifisches In der Meteorologie ist es üblich mit spezifischenGrößen zu rechnen, wobei „spezifisch“ meint, dass die jeweilige physikalische Größe auf die Masse bezogen ist (damit sind natürlich auch die Einheiten anders). [Sinnvoll ist das natürlich nur für extensive Größen]. Spezifische Wärme(menge): Spezifische Innere Energie:

12. Meteo 152 Spezifisches Volumen Spezifisches Volumen (Kehrwert der Dichte !): Spezifische Wärmekapazität: ACHTUNG ! „Spezifische Wärme“ meint praktisch immer „Spezifische Wärmekapazität“ c

13. Meteo 153 Thermodynamisches Diagramm • Ein thermodynamisches Diagramm (p-v-Diagramm), etwas weniger schematisch als zuletzt (und ganz korrekt mit dem spezifischen Volumen) (Bildquelle: www.energie.ch). • Die Isothermen sind Hyperbel-Äste.

14. Meteo 154 Spezifischer 1. Hauptsatz Der 1. Hauptsatz sieht in spezifischen Größen so aus: Umstellen und Division durch dT gibt: Der erste Term ist aber die spezifische Wärmekapazität, daher:

15. Meteo 155 Spezifische Wärmekapazität Bei einer isochoren Zustandsänderung ändert sich das Volumen nicht, v ist konstant und Die Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist daher: [Da bei idealen Gasen die innere Energie nur von der Temperatur abhängt, ist das „d“ hier auch wirklich ein totales Differential]

16. Meteo 156 Spezifische Wärmekapazität Allgemein ist die spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases, mit daher: Bei einer isobaren Zustandsänderung ändert sich der Druck nicht, dadurch kann man den letzten Term vereinfachen.[I.A. hängt v ja von p und T ab, bei konstantem Druck aber nur von T ]. Für v setzen wir die Gasgleichung (in spezifischer Form) an, und erhalten mit und und damit (R ist ja schon die spezifische Gaskonstante)

17. Meteo 157 Trockene Luft Die Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck ist damit: cp und cv sind also nicht voneinander unabhängig, wenn eine bestimmt wurde, kann man die andere ausrechnen. Für trockene Luft sind die Werte: