Lógica y conjuntos

1. Lógica y conjuntos Curso de Teoría del Autómata

2. Contenido • Lógica • Conjuntos • Relaciones y funciones • Inducción • Cardinalidad

3. Operadores lógicos La negación de una proposición es falsa si ésta es verdadera y verdadera si es falsa. La conjunción, denotada por P  Q

4. Operadores lógicos La disyunción, denotada por P  Q La implicación, denotada por P  Q La contrapuesta se define como Q  P Es equivalente a la implicación.

5. Leyes de De Morgan Se cumple que para dos proposiciones P y Q (PQ)  P  Q Y (PQ)  P  Q Lo anterior puede generalizarse a cualquier número de proposiciones.

6. Operadores lógicos La bicondicional se define como P  Q, la cual se lee “P si y solo si Q”. La bicondicional es verdadera cuando P y Q son verdaderas o falsas simultáneamente. Dos proposiciones son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad. Teorema 1.1. Sean P y Q proposiciones para las cuales P  Q es siempre verdadera. Entonces P y Q son equivalentes. Y viceversa.

7. Operadores lógicos Una tautología es una proposición que siempre es verdadera y la contradicción es aquella que siempre es falsa. Las proposiciones que contienen variables se les llama proposiciones abiertas. Una frase abierta o función proposicional es una proposición que contiene una variable. Se denota por P(x). La colección de objetos que pueden ser sustituidos por una variable en una frase abierta se llama conjunto de significados de esa variable.

8. Operadores lógicos Se definen también los cuantificadores universal y existencial: “para todo x, P(x)” se denota por  xP(x) y “existe x tal que P(x)” como  xP(x). Teorema 1.2.( xP(x)) es equivalente a x P(x). Si P(x) es una frase abierta, entonces un contra ejemplo para  xP(x) es un elemento, t, del conjunto de significados de forma que P(t) sea falsa.

9. Operadores lógicos Demostración de Teorema 1.2. Considere un conjunto finito de individuos a1, a2,... an,  xP(x) es verdadero si P(a1), P(a2),... P(an), son verdaderos, o sea  xP(x)  P(a1)  P(a2) ... P(an) Por otro lado  xP(x) P(a1)  P(a2) ...  P(an) Entonces ¬ xP(x)  ¬ (P(a1)  P(a2) ... P(an))  ¬P(a1)  ¬P(a2) ...  ¬P(an) por la ley de De Morgan   x¬P(x)

10. Conjuntos y subconjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Denotamos la igualdad de dos conjuntos A y B por A = B. Si un elemento a pertenece a un conjunto A lo denotamos por a A. Si no pertenece lo denotamos por aA. A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo representamos por AB o sea que: Note que si AB y BA , entonces A = B.

11. Ejemplos de conjuntos Definición por enumeración: A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} C = {1, 2, 3, …} D = {-2, -4, -6, …} Definición mediante una proposición abierta E = {xN | x < 4} F = {x {a, b, c, …, z} | x es vocal} G = {x | x es par y x es primo} Se cumple AC CA

12. Conjunto vacío y potencia Un conjunto importante es el conjunto vacío o nulo, el cual no contiene ningún elemento, éste es subconjunto de todo conjunto. Teorema 1.3. Si AB y BC , entonces AC. El conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama el conjunto potencia de A, se denota por 2A = {B | BA}.

13. Familia indexada de conjuntos Si I es un conjunto y para todo aI tenemos que Aa es un conjunto, entonces { Aa | aI} es la familia indexada de conjuntos. Ejemplo: Si para todo n > 0 An = [-1/n, 1/n], entonces {An | n Z+} es una familia indexada de los intervalos cerrados desde -1/n a 1/n para n = 1, 2, 3, …

14. Operaciones con conjuntos Definimos la unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y se indica por AÈB. AÈB = {x | xÎA o xÎB } Definimos la intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B y se indica por AÇB. AÇB = {x | xÎA y xÎB } Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío.

15. Operaciones con conjuntos Teorema 1.4. Dados conjuntos A, B y C se tiene que: 1.  A = A2.  A = 3. Si A  B, A  B = A4. Si A  B, A  B = B5. A  B = B  A6. A  B = B  A7. A  (C  B) = (A  C)  B 8. A  (C  B) = (A  C)  B9. A  (C  B) = (A  C)  (A  B)10. A  (C  B) = (A  C)  (A  B)

16. Operaciones con conjuntos Definimos la diferencia de A y B como el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. La designamos por A-B. A-B = {x | x ÎA y x ÏB } El complemento de un conjunto es el conjunto de elementos que pertenecen a un universo en el que esta definido el conjunto y que no pertenecen al conjunto. Se representa por. A'= {x | xÏA } La diferencia simétrica de A y B es el conjunto formados por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Se representa por. AÅB = {x | (xÎA y xÏB ) o (xÎB y xÏA )} Es fácil ver que. AÅB = (A-B ) È (B-A ) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B se define como

17. Ejemplo Demostrar que A (B  C) = (A B)  (A C) x  A (B  C)  x  Ao x  (B  C)  x  Ao (x  B y x C)  (x  Ao x  B) y (x  Ao x C)  x  (A B) y x  (AC)  x  ((A B)  (AC)) Por lo que A (B  C)  ((A B)  (AC)) y también ((A B)  (AC)) A (B  C), por lo tanto son iguales.

18. Ejemplo Demostrar que A– B = A B’ x  A– B  x  Ay x  B  x  Ay x  B’  x  (AB’) Por lo que A– B  A B’ y también A B’  A– B, por lo tanto son iguales.

19. Relaciones y funciones Se define una relación del conjunto A con el conjunto B como un subconjunto de AB. Si RAB y (a, b) Î R se dice que a está relacionado con b bajo la relación R. Si A y B son el mismo conjunto, entonces se dice que la relación es sobreA. Se definen los subconjuntos Dominio e Imagen de la relación R como sigue: Dom(R)={a | aÎA y (a, x) Î R para algún xÎ B} Im(R)={b | bÎB y (y, b) Î R para algún yÎ A} Si RAB es una relación de A en B, entonces la relación R–1 = {(b, a)| (a, b) Î R } es la inversa de la relación R.

20. Ejemplo Si A = {1, 2, 4, 5} y B = {2, 5, 7} A  B = {(1, 2), (1, 5), (1, 7), (2, 2), (2, 5), (2, 7), (4, 2), (4, 5), (4, 7), (5, 2), (5, 5), (5, 7)} R = {(1, 2), (2, 5), (2, 7), (5, 5), (5, 7)} es una relación dado que R  A  B Dom(R) = {1, 2, 5} Im(R) = {2, 5, 7} R–1 = {(2, 1), (5, 2), (7, 2), (5, 5), (7, 5)}

21. Relaciones de equivalencia Se define una partición de A como una colección A de subconjuntos de A, tales que 1.    Si B y C son subconjuntos de A, entonces o bien B = C o BÇC = Æ.  2. Ejemplo: Sea A = {x  N| x  10} y sea A = {{0, 2, 4}, {1, 3, 5}, {6, 8, 10}, {7, 9}, } Es una partición de A. B = {{0, 2, 4, 6}, {1, 2, 3, 5, 7}, {9, 10}, } No es una partición

22. Ejemplo Sea Q el conjunto de los racionales. Para cada r elemento de Q sea: Q3/8 contiene a (3, 8), (6, 16), (9, 24), … F = {Qr | rQ} es una partición de NZ +. Sean Qr y Qs dos elementos de F, si (x, y) QrQs, r = x/y = s por lo que Qr=Qs. Como Qr NZ +, rQQr NZ +. Si (x, y) NZ +, x/yQ, por tanto (x, y) Q. Así que (x, y) rQQr , se concluye que rQQr = NZ +

23. Relaciones reflexivas, simétricas y transitivas Una relación R sobre un conjunto X es reflexiva si  (a, a) Î R. Una relación R es simétrica si (a, b) Î R , entonces (b, a) Î R . Una relación R es transitiva si (a, b) Î R y (b, c) Î R , entonces (a, c) Î R . Las relaciones que cumplen con estas propiedades se denominan relaciones de equivalencia y definen una partición del conjunto X. Para cada elemento x de X se define un conjunto [x]={yÎ X | (x, y) Î R} como la clase de equivalencia de x.

24. Clases de equivalencia Teorema 1.5. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia R sobre un conjunto X forman una partición de X. Demostración: Sea zÎ [x][y], entonces (x, z) ÎR y (z, y) ÎR. Como R es transitiva, entonces (x, y) ÎR. Por lo tanto xÎ [y] y yÎ [x], y en consecuencia (y, x) ÎR. Si tÎ [x], entonces (t, x) ÎR y por transitividad (t, y) ÎR. Por tanto tÎ [y]. O sea [x] Í [y]. Si tÎ [y], entonces (t, y) ÎR y por transitividad (t, x) ÎR. Por tanto tÎ [x]. O sea [y] Í [x]. Por lo cual [x] = [y].

25. Clases de equivalencia Por otro lado, todo x debe pertenecer R, ya que (x, x)ÎR. Esto implica que todos los elementos pertenecen a alguna partición. Teorema 1.6. Cualquier partición Ade un conjunto no vacío X define una relación de equivalencia sobre X.

26. Funciones Una relación de A en B es una función si Dom(f) = A y para todos los pares (x, y) y (x , z) pertenecientes a f implica que y = z, y se escribe f: A®B. Se usa la notación f(x) = y, donde (x, y) f.

27. Funciones Teorema 1.7. Sean las funciones f: A®B y g: A®B, entonces f = g si y solo si f(x) = g(x) para toda xÎ A. Demostración: Si f = g, entonces sea xÎ A. Entonces si y = f(x), se tiene que (x, y) Î f y por tanto (x, y) Î g. En consecuencia y = g(x). A la inversa, si f(x) = g(x). Entonces, si (x, y) Î f . Entonces y = f(x) = g(x) con lo que (x, y) Î g, y por tanto fÍg. Por otro lado, si (x, y) Î g . Entonces y = g(x) = f(x) con lo que (x, y) Î f, y por tanto gÍf.

28. Función parcial Definimos una función parcial como una función en la que Dom(f) ÍA. Sea una función f: A®B . Si XÍA, diremos que la imagen de X bajo f es f(X) = {yÎ B | y = f(x) para algún xÎ X} Si YÍB, la imagen inversa de Y bajo f es el conjunto f -1(Y) = {xÎ A | f(x) = y para algún yÎ Y}

29. Funciones Teorema 1.8. Sea una función f: A®B . Entonces 1.   f(Æ) = Æ. 2.   f({x}) = {f(x)} para todo xÎ A. 3.   Si XÍY ÍA, entonces f(X) Íf(Y). 4.   Si XÍY ÍB, entonces f -1(X) Íf -1(Y). 5.   Si X y Y son subconjuntos de B, entonces f - 1(X - Y) = f -1(X) -f -1(Y).

30. Biyección Una función es de uno a uno o inyectiva si, para cualquier (x, y) Î f y (z, y) Î f , entonces x = z.  Una función es sobreyectiva si, para cualquier yÎ B existe una xÎ A, para la que f(x) = y. Una que es inyectiva y sobreyectiva es una biyección o correspondencia uno a uno. Sean RÍA  B y SÍB  C. Definimos la composición de R y S como S°R = {(a, c) Î AC | para algún bÎ B, (a, b) Î R y (a, c) Î S} Para el caso de funciones tendremos: g°f = {(a, b) | para algún y, f(a) = y y b = g(y)}

31. Ejemplos Si R = {(0, 1), (0, 2), (1, 1)} y S = {(1, a), (2, b)}, entonces SR = {(0, a), (0, b) , (1, a)} SR =  Sea f: R  R, definida como f (x) = x + 1 y g: R  R, definida como g (x) = x2, Entonces gf (x) = g (f (x)) = g (x + 1) = (x + 1)2 fg (x) = f (g (x)) = f (x2) = x2 + 1

32. Inducción Un conjunto es inductivo si, para cada aÎ A, entonces a + 1 también pertenece a A. El conjunto {6, 7, 8, …} es inductivo El conjunto {0, 2, 4, 6, …} no es inductivo El hecho de que haya una única colección de números naturales que contengan el 0 y sea inductiva se conoce como el principio de inducción matemática (PIM). 

33. Ejemplo La proposición n + 3 < 5(n + 1) se cumple para todo n. Sea A = {n N | n + 3 < 5(n + 1) }, se debe probar que A = N. Para n = 0, 0 + 3 < 5(0 + 1) o 3<5, se cumple para n = 0. Supongamos que nA, debemos probar que n + 1 A. 5((n + 1) + 1) = 5n + 10 = 5(n + 1) + 5 > (n + 3) + 5 dado que n+3 < 5(n+1) > (n + 3) + 1 = (n + 1) + 3 Por tanto A = N.

34. Pasos para la Inducción Los siguientes pasos se siguen para hacer demostraciones inductivas. • Probar que la proposición se cumple para 0. • Suponer que la proposición se cumple para n y probar que esto implica que se cumpla para n + 1. • Deducir que la proposición se cumple para todos los elementos de N.

35. Ejercicio Probar que 1 + 2 + 3 + …+ (2n – 1) = n2

36. Inducción; caso n>=k Si se expresa la propiedad como P(n) para todo n³k, la demostración se realiza de la manera siguiente: • (etapa base) Probar que se P(k) cumple. • (etapa de inducción) Probar que si P(n) es verdadera entonces P(n + 1) es verdadera para todo n³k. • (conclusión) Por las etapas 1 y 2 y el PIM, P(n) es verdadera para todo n³k.

37. Cardinalidad Dos conjuntos A y B son equivalentes si existe una biyección entre ellos. La equivalencia se denota por A @B.

38. Ejemplo Sea F = {f | f : N  {0, 1}}el conjunto de todas las funciones de N en {0, 1}; entonces F 2N. Para probarlo se necesita una biyección HF 2N. Para gF, definimos H(g) = {x | g(x) = 1} Probaremos que H es inyectiva y sobreyectiva. Sean g1F, y g2F, Supongamos H(g1) = H(g2). Sea x N, si xH(g1), dado que H(g1) = H(g2), g1(x) = g1(x) = 1. Sea x N, si xH(g1), dado que H(g1) = H(g2), g1(x) = g1(x) = 0. Por tanto g1 = g2. Por lo tanto es inyectiva.

39. Continuación Sea A  2N. Definimos la función g:N {0, 1} como Observe que gF y que H(g) = A. Por tanto se puede encontrar una función en F que representa a A. De modo que H es sobreyectiva.

40. Cardinalidad Teorema 1.9. Sean f: A®B y g: C®D dos funciones sobreyectivas con AÇC = Æ y BÇD = Æ. Entonces f Èg es sobreyectiva. También, si f y g son inyectivas, entonces lo es f Èg. Demostración: Si f y g son sobreyectivas, entonces sea yÎ B, $xÎ A, tal que y = f(x) y sea wÎ C, $zÎ D, tal que w = g(z). Sea tÎ (B ÈD), entonces si tÎ B, $sÎ A, tal que t = f(s) o si tÎ D, $sÎ C, tal que t = g(s). Por lo tanto sÎ (A ÈC). Por lo tanto f Èg es sobreyectiva. Sea (x, y) Î f Èg . Si (x, y) Î f, entonces yÎ B, y yÏ D, y por tanto (x, y) Ï g. o de otra manera, si (x, y) Î g, entonces yÎ D, y yÏ B, y por tanto (x, y) Ï f. Esto quiere decir que solo existe una x que se mapea a y por tanto f Èg es inyectiva.

41. Cardinalidad Teorema 1.10. Supongamos que A @C y B @D con AÇB = Æ y CÇD = Æ. Entonces AÈB = CÈD. Demostración. Puesto que A @C y B @D, existen unas biyecciones g: A®C y h: B®D. Definamos f: AÈB® CÈD como Por el teorema 9 f es una biyección puesto que g y h lo son. Por consiguiente, Entonces AÈB = CÈD.

42. Cardinalidad Para cada número natural k³ 1, se define Nk = {1, 2, 3, … , k} como “estándar de tamaño” para comparar conjuntos. Un conjunto A es finito si: • A = Æ, en cuyo caso A tiene cardinalidad 0. • A @ Nk, en cuyo caso A tiene cardinalidad k. Un conjunto es infinito si no es finito. Ejemplo: A = {a, b, c, d} es finito con cardinalidad 4

43. Cardinalidad Teorema 1.11. Si A y B son conjuntos disjuntos finitos, entonces AB es también finito y | AB | = | A | + | B |. Demostración. Si A = Æ, entonces AB = B, con lo que | AB | = 0 + | B | = | B | Si AÆ,y BÆ, entonces sean f: A® Nm y g: B® Nnlas biyecciones a partir de las cuales se obtiene que | A | = m y | B | = n. Se define h: Nn®H = { m+1, m+2,…, m+n} como h(x) = m + x. Es obvio que h es una biyección y por tanto Nn@H. Obsérvese que NmH. = {1, 2, …, m+n} = Nm+n y la función definida como es sobreyectiva e inyectiva. Por consiguiente, AB es finito y | AB | = m + n = |A| + |B|.

44. Cardinalidad Teorema 1.12. (Principio del palomar). Sean A y B conjuntos finitos con |A| > |B| > 0 y f: A®B una función. Entonces f no es inyectiva. Demostración. La demostración se realiza por inducción sobre |B|. Si |B| = 1 y |A| > |B|. Entonces A contiene al menos dos elementos distintos a1 y a2. Pero entonces f(a1) = f(a2) por lo que f no es inyectiva. Por tanto el resultado se cumple para |B| = 1. Supongamos que el resultado se cumple para 0  |B| n. Entonces sea B un conjunto de forma que |B| = n + 1. Fijado un elemento bB, obsérvese que |B – {b}| = n. Supongamos que A es un conjunto tal que |A| > |B|.y f: A®B. Consideremos los dos casos siguientes para f-1(b).

45. Caso 1: Supongamos que | f-1(b)|  2. En este caso habrá dos elementos a1y a2 de A, de forma que a1y a2 están en f-1(b) o, lo que es lo mismo, f(a1) = f(a2) = b. En este caso f no es inyectiva. Caso 2: Supongamos que | f-1(b)|  1. Obsérvese que |A - f-1(b)|  |A| - 1 > n = |B – {b}|. Se define la función g: A - f-1(b)®B – {b} como g(x)= f(x). Obsérvese que, como |B - f-1(b)| = n y |A - f-1(b)|  |B – {b}|, se satisface la hipótesis de inducción. Por lo tanto g no es inyectiva con lo que existirán a1y a2 en A- f-1(b) para los cuales a1a2 y g(a1) = g(a2). Por consiguiente, f(a1) = f(a2),de lo que se deduce que f tampoco es inyectiva. En ambos casos, si el resultado se cumple para cualquier conjunto B con n elementos, también se cumple para cualquier conjunto B con n + 1 elementos. Por tanto, y por el PIM, la proposición se cumple para todo conjunto finito B con |B| > 0. Corolario 1.1. Si A es un conjunto finito y B es un subconjunto propio de A, entonces A B.

46. Un conjunto A es enumerable si |A|  N. En este caso . Un conjunto es numerable si es finito o enumerable. Teorema.1.13. Sea A un conjunto enumerable. si BA es un conjunto infinito, entonces B es enumerable. Demostración. Puesto que A es enumerable, existe una biyección f:NA. Supongamos que tenemos que f(n) = an por lo que A puede ser enumerado como A = {a0, a1, ...}. Sea n0 el menor subíndice para el cual . Sea n1el menor subíndice para el cual . Sea nkel menor subíndice para el cual Generalizando nk el menor subíndice para el cual Puesto que B es infinito, para todo k, con lo que hemos construido una correspondencia uno a uno entre N y B. Por lo tanto, B es enumerable.

47. Cardinalidad Teorema.1.14. El conjunto 2N no es numerable. Demostración. Supongamos que 2N es numerable. Dado que es un conjunto infinito, debe suponerse que 2N es enumerable y que por lo tanto, puede ser enumerado de la forma 2N = { A0, A1, ...}. Sea D = {n N, nA n}. Obsérvese que D N y, por tanto, D = Ak para algún k. Consideremos dicho k. Si kA k,puesto que Ak = D, k no puede estar en Ak. Por otro lado, Si k Ak, entonces kD y por tanto k debe estar en A k. Ambas posibilidades nos llevan a una contradicción. Por consiguiente, la suposición de que 2N es enumerable es incorrecta.