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Tema 3 * 4º ESO Opc B

Tema 3 * 4º ESO Opc B. ECUACIONES Y SISTEMAS. Tema 3.4 * 4º ESO Opc B. ECUACIONES EXPONENCIALES. Ecuaciones exponenciales. Hay tres tipos de ecuaciones exponenciales que se pueden resolver sin necesidad de aplicar logaritmos:

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Presentation Transcript

  1. Tema 3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES Y SISTEMAS Matemáticas 4º ESO Opc B

  2. Tema 3.4 * 4º ESO Opc B ECUACIONES EXPONENCIALES Matemáticas 4º ESO Opc B

  3. Ecuaciones exponenciales • Hay tres tipos de ecuaciones exponenciales que se pueden resolver sin necesidad de aplicar logaritmos: • f(x) g(x) • 1º Tienen iguales las bases: a = a • Resolución: Se igualan los exponentes y se resuelve la nueva ecuación. • f(x) g(x) k • 2º Las bases están relacionadas: a = b , donde a = b • Resolución: Se sustituye una base y se resuelve la nueva ecuación, que tendrá ahora igualdad de bases. • f(x) g(x) h(x) • 3º Hay sumas o restas de potencias: a + b + c = 0 • Resolución: Se aplican las propiedades de las potencias al objeto de conseguir un factor común de una potencia de igual base y exponente. Matemáticas 4º ESO Opc B

  4. Ecuaciones exponenciales (I) • Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. • x+3 2x+5 • 5 = 5 • Al ser igual la base: x + 3 = 2x+5  3 – 5 = 2x – x , x = - 2 • x – 3 x2 – 5 • 3 = 3 • Al ser igual la base: x – 3 = x2 – 5  0 = x2 – x – 2 • Resolviendo la ecuación: • 1 +/- V(1 + 8) 1 +/- 3 • x = ---------------------- = ------------ = 2 y - 1 • 2 2 Matemáticas 4º ESO Opc B

  5. Ecuaciones exponenciales (II) • Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. • 2x+3 2x+5 • 4 = 2 • Al ser 4 = 22 • 2(2x+3) 2x+5 4x+6 2x+5 • 2 = 2  2 = 2 • Al ser iguales las bases, deben ser iguales los exponentes: • 4x+6 = 2x+5  4x-2x = 5-6  2x = -1  x = -1/2 Matemáticas 4º ESO Opc B

  6. Ecuaciones exponenciales (II) • Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. • x2 - 17.x+30 • 6 = 1 • Como 60 = 1, podemos poner:  • x2 - 17.x+30 • 6 = 60 • Al ser iguales las bases, serán iguales los exponentes:  • x2 - 11.x+30 = 0 • Resolviendo la ecuación, queda x = 2, x = 15 Matemáticas 4º ESO Opc B

  7. Ecuaciones exponenciales (III) • Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. • 5x + 5x-1 + 5x-2 = 31 • No se pueden sumar tal como están. • Como en el exponente hay una diferencia, significa que proviene de división de potencias de igual base: • 5x 5x • 5x + --------- + -------- = 31 • 5 25 • 25.5x + 5.5x + 5x = 25.31 • (25+5+1).5x = 25.31 • 31.5x = 25.31 • Luego 5x = 25 x = 2 Matemáticas 4º ESO Opc B

  8. Tema 3.3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES LOGARÍTMICAS Matemáticas 4º ESO Opc B

  9. Ecuaciones Logarítmicas (I) • Resuelve la ecuación: log x - log (x-1) = log 3 • Por la propiedad de la división de logaritmos: • x • log ------- = log 3  x /(x -1) = 3  x = 3x – 3  3 = 2x  x = 1,5 • x – 1 • Resuelve la ecuación: log x + log (x - 1) = 3 • Por las propiedades de la potencia y multiplicación de logaritmos: • log x+ log (x -1) = 3  log x.(x -1) = log 1000 • x2 - x= 1000  x2 - x– 1000 = 0 • Ecuación de segundo grado que resolveríamos: • 1+/-√(1 + 4000) 1+/-63,25 x1 = 32,125 • x=---------------------- = -------------- = • 2 2 x2 = – 31,125, que no vale. Matemáticas 4º ESO Opc B

  10. Ecuaciones Logarítmicas (II) • Resuelve las ecuaciones: • log3 x - log9 x = log27 3 • Hacemos un cambio de base: • log3 x log3 x log3 3 • --------- -- --------- = ----------- • log3 3 log3 9 log3 27 • log3 x log3 x log3 3 • --------- - --------- = ---------- • 1 2 3 • 6.log3 x - 3.log3 x = 2.log3 3 • 3.log3 x = 2  log3 x3 = 2  32 = x3 • Y por último: 9 = x3 x = raíz cúbica de 9 = 2,08 Matemáticas 4º ESO Opc B

  11. Aplicación de logaritmos • Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. • x+3 x • 5 = 8 • Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: • x+3 x • Log 5 = Log 8 • (x+3).Log 5 = x.Log 8 • (x+3).0,698970 =x.0,903090 • x.0,698970 + 2,096910=x.0,903090 • 2,096910=x.0,903090 - x.0,698970 • 2,096910 = 0,204120.x • x = 2,096910 / 0,204120 • x = 10,2729 Matemáticas 4º ESO Opc B

  12. Aplicación de logaritmos • Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. • x – 2 √x • 3 = 5 • Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: • x – 2 √x • Log 3 = Log 5  (x – 2).Log 3 = √x.Log 5  (x-2).0,477121 = √ x. 0,698970 • (x-2) = √ x. 1,464972 • Al ser ecuación radical, se eleva todo al cuadrado: • x2-4x+4 = 2,1461.x  x2 – 6,1461.x+4 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: • 6,1461 +/- √ (37,7745 – 16) 6,15 +/- 4,67 10,82 / 2 = 5,41 • x = ------------------------------------- = --------------- = • 2 2 1,48 / 2 = 0,74 • Y comprobamos con la calculadora que x = 0,74 no es válida Matemáticas 4º ESO Opc B

  13. Aplicación de logaritmos • Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. • x + 4 x2 • 5 = 3 • Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: • x + 4 x2 • Log 5 = Log 3  (x + 4).Log 5 = x2 .Log 3 • (x + 4).0,698970 = x2 . 0,477121  (x + 4).1,4650 = x2 • x2 – 1,465 x – 5,86 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: • 1,465 +/- √ (2,1461 + 23,44) 1,465 +/- 5,06 6,525 / 2 = 3,2625 • x = ---------------------------------------- = --------------------- = • 2 2 - 3,595 / 2 = - 1,7975 • Y comprobamos con la calculadora que x = - 1,7975 no es válida Matemáticas 4º ESO Opc B

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