Časová propagace vlnové funkce na mřížce I I . ( propaga ční metody)

1. Časová propagace vlnové funkce na mřížce II.(propagační metody) (Lekce III)

2. Evoluční operátor • úkol: získat řešení časové Schrödingerovy rovnice s danou počáteční podmínkou: • počáteční podmínka (známe): • neznámá je vlnová fce v čase t: • pohybová rovnice: • obecné řešení = evoluční operátor : • pro časově nezávislý Hamiltonián platí:

3. Evoluční operátor • odvození evolučního operátoru z časové Schrödingerovy rovnice: • 1. Taylorův rozvoj pro časově závislou funkci: • 2. vyšší časové derivace dosadíme ze Schrödingerovy rovnice: • 3. dosazení do Taylorova rozvoje:

4. Evoluční operátor • 4. srovnání s Taylorovým rozvojem exponenciely: • 5. srovnání s definicí evolučního operátoru: • numerická aplikace evolučního operátoru pro funkce na mřížce • není možná přímo • evoluční operátor je základem propagačních metod

5. Příklad: Zdůvodněte, proč níže odvozený tvar evolučního operátoru platí pouze pro časově nezávislý Hamiltonián.

6. Výčet propagačních metod • metoda diferencí 2. řádu „SOD“ (second order differences) • velmi jednoduchý k programování • vytváří kumulativní chyby • chyby se projevují v normě, která má poté tendenci vytvářet obrovská čísla • záludnost: chyby vlnové funkce vznikají dříve, než se projeví v normě • rozdělený propagátor (split propagator) • také přesnost do 2. řádu • chyby nemají takovou tendenci se kumulovat jako u SOD • ve srovnání se SOD dosahuje větší přesnosti pro stejné časové kroky • z definice zachovává normu

7. Výčet propagačních metod • Taylorův rozvoj evolučního operátoru do vyšších řádů • jednoduchý • použití v kontextu metody (tt’) pro časově závislé Hamiltoniány • může být použit i pro běžnou propagaci s bezčasovým Hamiltoniánem • rozdělený propagátor do 4. řádu • poměrně jednoduchý • vylepšení přesnosti oproti obyčejnému rozdělenému propagátoru • Čebyševův propagátor • dlouhé časové kroky • nehodí se pro časově závislé Hamiltoniány ani jako aproximace • Lanczosův propagátor

8. Taylorův rozvoj evol. op. • konstrukce propagačního kroku pomocí rozvoje evolučního operátoru do Taylorovy řady: • problém asymetrie pro konečný rozvoj: • exaktně platí symetrie pro zpětnou propagaci: • (1) napíšeme zpětnou propagaci pro konečný rozvoj

9. Taylorův rozvoj evol. op. • (2) dosadíme za vlnovou funkci podle dopředné propagace: • (3) úprava sumy: • součet podle mocnin delta t …. • podmínky pro n’:

10. n'=0 n'=5 n'=4 n'=3 n'=2 n'=1 Taylorův rozvoj evol. op. • (4) binomický trojúhelník… • součet binomických čísel pro jednotlivé řádky • pro m=0 získáme 1 • pro m>0 díky omezení M získáme nenulový součet m=0 M=1 m=1 M=2 m=2 m=3 M=3 m=4 m=5

11. 1 m=0 1 -1 m=1 M=1 1 -2 1 M=2 m=2 1 -3 3 -1 m=3 M=3 1 -4 6 -4 1 m=4 1 -5 10 -10 5 -1 m=5 -20 n'=0 n'=1 n'=2 n'=3 n'=4 n'=5 Taylorův rozvoj evol. op. • M=1– přispívá m=0 a m=2: • M=2 – přispívá m=0 a m=4: • M=3: • Závěr: Aplikace Taylorova rozvoje pro výpočet evolučního operátoru nesplňuje přesně časovou symetrii, chyba je řádu M+1:

12. Metoda diferencí II. řádu (SOD) • zajištění časové symetrie propagace: • jiné vyjádření evolučního operátoru: • pokud aproximujeme pravou stranu Taylorovým rozvojem sin, pak P(Δt)= –P(–Δt), a získáme symetrickou vlastnost propagace:

13. Metoda diferencí II. řádu (SOD) • často používanou metodou je rozvoj do II. řádu (M=2) • chyba propagátoru je 3. řádu: • součin časového kroku a energie musí být u propagace založené na Taylorově rozvoji < < 1, např. 0.01 • průběh propagace:

14. Metoda diferencí II. řádu (SOD) • inicializace propagace: • máme Ψt • potřebujeme Ψt–Δt • použití nesymetrického propagátoru pro 1. poloviční krok • další poloviční krok pomocí SOD: • získáme počáteční chybu 3. řádu, což je v rámci SOD v pořádku:

15. Metoda diferencí II. řádu (SOD) • Příklad: • Navrhněte program pro propagaci vlnové funkce zadané v minulé lekci (Gaussián v Morseho potenciálu) metodou SOD. • Odhadněte maximální energii kvantové částice pro dané zadání a podle ní navrhněte vhodný časový krok. (Pro odhad maximální kinetické energie použijte vzdálenost bodů na mřížce x.) • Napište funkci, jejíž první vstupní parametr je vlnová funkce ψ na mřížce x a výstupní parametr je H ψ na mřížce, také v souřadnicové reprezentaci. (Návod: použijte metody Fourierovy transformace pro aplikaci kinetického operátoru.) • Napište funkci, jejíž vstupní parametr bude vlnová funkce ψ na mřížce x a výstupní parametr je funkce ψ(t) na mřížce x, kde t=NΔt, (N=100,1000, apod.).

16. Metoda diferencí II. řádu (SOD) • …pokračování… • Během propagačního cyklu provádějte kontrolní výpočty a jejich výsledky tiskněte během propagace pod sebe na řádek: • výpočet normy vlnové funkce • výpočet kinetické, potenciální a celkové energie • *výpočet předpokládané chyby v normě a v energii • Dále přidejte do propagačního cyklu příkazy pro vykreslení propagované vlnové funkce pro každý n-tý krok (např. n=10 nebo 100). Pod funkcí vykreslete také potenciál. (Abyste dosáhli v Matlabu vykreslení grafiky v průběhu výpočtu, je nutné použít příkaz pause(a), který zastaví běh na a sec.)

17. Kontrola správnosti výpočtu • zachování normy a energie • s přesností např. 0.001% • kontrola vlnové funkce v souřadnicové reprezentaci • vlnová funkce nesmí unikat z mřížky na okrajích • je dobré provést kontrolu také v log škále (tj. zobrazit log10|ψ|) – hodnota na okrajích by měla být o několik řádů nižší než max hodnota |ψ| • kontrola vlnové funkce v momentové reprezentaci • převedení ψ(x) a zobrazení ψtrans(p) • pokud vlnová funkce uniká na okrajích z mřížky v p  příliš velký interval Δx v souřadnicové reprezentaci, který neumožňuje dostatečnou kinetickou energii

18. Rozdělený propagátor • aproximace založená na rozdělení evolučního operátoru na součin typu: • (1) chyba nejjednodušší aproximace: • ukážeme, že chyba je řádu (Δt)2, tato aproximace se v praxi nepoužívá • (2) a (3) symetrizované verze s chybou řádu (Δt)3 • (4) rozdělený propagátor 3. řádu

19. Rozdělený propagátor • přesný evoluční operátor rozepíšeme podle Taylorovy řady takto: • V a T nekomutují, proto

20. Rozdělený propagátor • aproximativní evoluční operátor (1) napíšeme jako součin dvou mocninných řad: • použijeme substituci m=n+n'… • aproximace oproti přesnému operátoru: • uvedená rovnost platí jen pro n<2

21. Rozdělený propagátor • chyba u druhého řádu: • chyba u třetího řádu:

22. Rozdělený propagátor • aproximativní evol. operátor získaný symetrizací jako aritm. průměr: • pozn. ukážeme, že chyba tohoto propagátoru je 3. řádu • chyba u 2. řádu • u 1. členu: • u 2. členu: • po sečtení se chyba u 2. řádu vyruší

23. Rozdělený propagátor • chyba u 3. řádu: • u prvního členu: • u druhého členu: • po sečtení:

24. Rozdělený propagátor • (ad 3) rozdělený propagátor 2. řádu získaný symetrizací součinu: • nejběžněji užívaný rozdělený propagátor • vyžaduje menší počet aritmetických operací nežli v předchozím případě • nebo analogicky:

25. Rozdělený propagátor • chyba propagátoru: • rozložení exponenciálních členů do mocninných řad: • substituce m=n+n'+n„ • chyba v m-tém řádu:

26. Rozdělený propagátor • chyba ve 2. řádu (m=2) • ukážeme, že je nulová… • pravá strana (napíšeme do tabulky) • součet:

27. Rozdělený propagátor • chyba ve 3. řádu • použijeme podobného postupu jako v předchozím případě a získáme…: Příklad: Ověřte!

28. Rozdělený propagátor • aplikace rozděleného propagátoru: • převedeme vlnovou funkci do p-reprezentace a aplikujeme kinetický evoluční operátor jako skalární součin (T komutuje s p) • převedeme získanou funkci zpět do x-reprezentace a aplikujeme potenciální evoluční operátor (V komutuje s x) • převedeme vlnovou funkci opět do p-reprezentace a aplikujeme kinetický evoluční operátor

29. Rozdělený propagátor Příklad: Zopakujte předchozí úlohu, kde jsme počítali propagaci pomocí propagátoru SOD, nyní pomocí rozděleného propagátoru. Pokuste se také vypočítat odhad chyby. Srovnejte závislost chyby na energii u propagátoru SOD a rozděleného propagátoru. Svůj závěr doložte příkladem numerického výpočtu. literatura: R. Kosloff, Annu.Rev.Phys.Chem. 45 (1994) 145.

30. Doplnění – kumulace chyby • Kumulace chyby u aproximace 1. řádu: • lze ilustrovat změnu normy vlastního vektoru Hamiltoniánu na jednotkové kružnici: • nastane změna fáze o která se zachová i u aproximativní propagace • nenastane změna normy, ale u aproximativní propagace ano:

31. Doplnění – kumulace chyby • Závěr: pro vlnové klubko, které obsahuje větší množství energií nastanou tyto chyby: • soustavná chyba kvůli odlišné změně normy pro jednotlivé složky • zesílení vyšších energetických složek, jejichž původni norma byla na úrovni numerického šumu způsobí po čase nárůst normy do nekonečna • změna normy pro SOD viz TMF045_2.m Příklad: Dokažte, že se v každém druhém propagačním kroku změní norma vlastního vektoru Hamiltoniánu takto: