Misaone operacije i načini zaključivanja u matematici

1. Misaone operacije i načini zaključivanja u matematici

2. CILJ • upoznati osnovne misaone operacije i načine zaključivanja u matematici, te osvijestiti njihovu primjenu u konkretnim situacijama kako bi bolje razumjeli proces razmišljanja kod učenika u problemskoj situaciji

3. PROMISLITE ŠTO ZNAČE POJMOVI • analiza • sinteza • generalizacija • apstrakcija • indukcija • dedukcija • analogija

4. MISAONE OPERACIJE ZNANSTVENE METODE ISTRAŽIVANJA U MATEMATICI

5. ANALIZA • misaona operacija u kojoj raščlanjujemo cjelinu na dijelove, proučavamo te dijelove i izvodimo zaključke o njima • cjelina je u matematici najčešće neki problem čije rješenje tražimo • analizom problem svodimo na jednostavnije probleme ili tvrdnje koje su očigledne ili lako dokazive • znanstvena metoda istraživanja • početak analize kao znanstvene metode je u staroj Grčkoj, a razvila se na geometrijskim problemima.

6. SINTEZA • misaona operacija u kojoj od pojedinačnih dijelova (činjenica i jednostavnijih tvrdnji) sastavljamo cjelinu (složeniju tvrdnju) • suprotna je analizi • u sintezi uzimamo kao učinjeno ono što je u analizi bilo posljednje dostignuto te vraćajući se unatrag koracima suprotnima analizi, dolazimo do konstrukcije onog što je bilo traženo • praktički je nedjeljiva od analize, tj. nadopunjuju se; analitičko-sintetička metoda

7. PRIMJER: Konstruirajmo kvadrat ako je zadan zbroj a + d, duljina a stranice i d dijagonale. • ANALIZA: Nacrtajmo skicu kvadrata ABCD; crtež treba nadopuniti tako da se na njemu pojavi pomoćna figura u kojoj je jedan element dužina zadane duljine a + d; produžimo dijagonalu AC za dužinu CE duljine a. Promatrajmo trokute BCE i ABE. Trokut BCE je očito jednakokračan i kutovi su mu 135o i dva kuta po 22,5o. Trokut ABE ima s kvadratom zajedničku stranicu AB i dade se konstruirati jer mu je poznata stranica AE duljine a+d, kut BAE je 45o, kut AEB je 22,5o. Dakle u tom trokutu jedna stranica ima zadanu duljinu a+d, pa je taj trokut pomoćna figura koja omogućuje konstrukciju kvadrata ABCD. • SINTEZA: Vidi skicu koja je napravljena i sintetiziraj dobivene rezultate te izvrši konstrukciju

8. APSTRAKCIJA • misaona operacija izuzetno važna u matematici • misaono odvlačenje općeg bitnog svojstva promatranog objekta ili pojave od ostalih svojstava, nebitnih za određeno proučavanje i odbacivanje tih nebitnih svojstava • kako se opća bitna svojstva nekog skupa objekata izdvajaju primjenom poopćavanja, proizlazi da se poopćavanje i apstrahiranje stalno se primjenjuju u procesu formiranju pojmova pri prijelazu od predodžbi k pojmovima • konkretni objekti potrebni za formiranje novog pojma moraju biti pažljivo odabrani tako da omogućavaju poopćavanje, izdvajanje bitnih svojstava koja tvore sadržaj pojma • suprotnost je konkretizacija

9. ZADACI: • Pokušajte analizirati ovu situaciju: Dijete priča majci da je naučio što je to kugla – to su drveni objekti smeđe ili crne boje koje učiteljica drži u školskom ormaru, a veoma su slični njegovoj lopti za igranje. • Pokušajte prikazati kako dijete apstrahira pojam pravca. Prikažite taj postupak kroz nekoliko koraka.

10. GENERALIZACIJA • jedna od osnovnih misaonih operacija u matematici • prijelaz s razmatranja danog skupa objekata na odgovarajuće razmatranje njegova nadskupa • prijelaz s konkretnog i pojedinačnog k općem (djeci ponekad teško) • metoda kojom se izgrađuju općenitiji pojmovi i općenitije tvrdnje • polazi se od nekog skupa čiji svi elementi imaju određeno svojstvo, a onda se promatra neki njegov “prirodni” nadskup čijim se elementima prenose ista svojstva • kako odmah nije jasno hoće li pri tome prenošenju svojstvo ostati sačuvano, to se ono za sve elemente nadskupa nužno mora dokazati. • Njena suprotnost je specijalizacija

11. PRIMJER • Za kutove u trokutu vrijedi formula:  +  +  = 1800 Za kutove četverokuta vrijedi  +  +  +  = 3600 • Sada generalizacijom možemo doći do formule za zbroj kutova n-terokuta. k = (n – 2)  • ovu bi formulu trebalo dokazati

12. OBLICI ZAKLJUČIVANJA

13. INDUKCIJA • način zaključivanja u kojem se iz dvaju ili više pojedinačnih sudova dobiva novi opći sud • misaoni proces kojim se stvaraju generalizacije (rasuđuje se od pojedinačnom k općem) • latinska riječ inductio - uvođenje, navođenje, pobuđivanje • predstavlja i znanstvenu metodu dokazivanja, kojom se pri proučavanju nekog skupa objekata promatraju posebni objekti iz tog skupa i utvrđuju kod njih ona svojstva koja se zatim pripisuju čitavom skupu • Razlikujemo potpunu i nepotpunu indukciju

14. NEPOTPUNA INDUKCIJA • Oblik zaključivanja koji se zasniva na razmatranju jednog ili više, ali ne svih, pojedinačnih sudova ili slučajeva • zaključak dobiven nepotpunom indukcijom može biti i neistinit, pa ona nije metoda znanstvenog istraživanja • NEISTINA: Jasna ima smeđu kosu, Lana ima smeđu kosu, ja imam smeđu kosu. Sve djevojčice imaju smeđu kosu. • ISTINA: Moj je tata manji od 5 metara, Rađa je manji od 5 metara; svi su ljudi manji od 5 metara. • Zadatak: Dokaži da za prirodne brojeve vrijedi svojstvo komutativnosti.

15. POTPUNA INDUKCIJA • Oblik zaključivanja koji se zasniva na razmatranju svih pojedinačnih sudova ili slučajeva • Ako je S konačan skup sa n elemenata, i ako se neko svojstvo s ispita za svaki pojedini element skupa S, onda zaključujemo da svi elementi skupa S imaju svojstvo s • Primjer: Neka je S skup svih ovdje prisutnih studenata. Tvrdim da svaki element skupa S posjeduje mobitel. Je li ova tvrdnja istinita? • Zadatak: Dokaži da među prvih 20 prirodnih brojeva ima 8 prostih brojeva!

16. MATEMATIČKA INDUKCIJA • posebni slučaj indukcije koji ima snagu dokaza • zasniva se na Peannovim aksiomima • ako neka tvrdnja vrijedi za prvi član niza, te ako iz činjenice da tvrdnja vrijedi za n-ti član niza proizlazi i da vrijedi i za n plus prvi član niza, tada tvrdnja vrijedi za svaki član niza • provodi se u tri koraka: baza indukcije; pretpostavka indukcije; korak indukcije • ZADATAK: Dokaži da je zbroj prvih n neparnih brojeva jednak n2

17. DEDUKCIJA • način zaključivanja u kojem se istinitost nekog tvrđenja izvodi iz istinitosti ranije utvrđenih (ili opće prihvaćenim) općih istina • misaoni proces ide od općeg prema pojedinačnom • način zaključivanja suprotan indukciji • ujedno je i metoda znanstvene spoznaje kojom dokazujemo neke matematičke tvrdnje • Matematika je deduktivna znanost, a matematika u nastajanju je eksperimentalna induktivna znanost

18. PRIMJER: • Pravilo kaže: Razlika se ne mijenja ako umanjeniku i umanjitelju dodamo ili oduzmemo isti broj. a – b = (a + n) – (b + n) Na temelju toga riješi zadatak: 435 -198 • Koristeći Pitagorin teorem riješi zadatak: Ako je hipotenuza 5cm, a kateta 3cm, kolika je duljina druge katete?

19. INDUKCIJA I DEDUKCIJA U NASTAVI MATEMATIKE • Dedukcija kao nastavni postupak dominirala je u praksi stare škole • Nastavni se proces odvijao tako da je učitelj najprije iznio neku opću tvrdnju koju su učenici učili napamet, a tek kasnije je primjenjivali u rješavanju pojedinačnih slučajeva • Razlog tome je ekonomičnost deduktivnog postupka (vremena i energije) i činjenica što zahtjeva manje nastavnikova stvaralaštva • u suvremenoj nastavi induktivno – deduktivni postupak; učenik induktivno usvaja određene sadržaje matematike, a nakon toga ih deduktivno primjenjuje u rješavanju pojedinačnih zadataka.

20. ANALOGIJA • oblik zaključivanja pri kojem se iz opažanja da se dva objekta podudaraju u određenom broju svojstava ili odnosa izvodi zaključak da se oni podudaraju i u drugim svojstvima ili odnosima koji se kod jednog objekta nisu izravno opažali • Objekt A ima svojstva s1, s2,…, sk-1, sk , objekt B ima svojstva s1*, s2*,…, sk-1* . Svojstva s1*, s2*,…, sk-1* analogna su svojstvima s1, s2,…, sk-1. Zaključujemo da B ima svojstvo sk* • zaključci mogu i ne moraju biti istiniti, pa analogija nema snagu dokaza • jako važna za matematiku, jer ona može dati ideje za nove spoznaje koje se nakon toga dokazuju • Analogija je veoma korisna i u nastavi matematike. ("slično se izvodi", "ovo je zadatak sličan prethodnom", …)

21. Laplace "Glavna sredstva pomoću kojih se otkrivaju istine u matematici su indukcija i analogija." Banach "Matematičar je čovjek koji umije naći analogiju među tvrdnjama, bolji matematičar je onaj koji pronalazi analogije među dokazima, najbolji matematičar je onaj koji uočava analogije teorija, no može se zamisliti i onaj koji među analogijama vidi analogije."

22. PRIMJERI i ZADACI: • Znamo da je (ab)2 = a2b2 , pa po analogiji zaključujemo da je (abc)2 = a2b2c2 . Ovu tvrdnju sada je lako dokazati. Pokušajte.  • Pravokutnik i kvadar imaju mnogo sličnosti. Naime, pravokutnik ima nasuprotne stranice paralelne, a susjedne okomite. Nasuprotne stranice su sukladne. Isto vrijedi i za kvadar. Ako je duljina dijagonale pravokutnika d2 = a2 + b2 , koja bi mogla biti formula za duljinu prostorne dijagonale kvadra? Je li time dokazano da je to formula za dijagonalu kvadra?

23. PROVJERIMO NAUČENO U sljedećim zadacima daj komentar na tvrdnju koja se izriče. O kojoj se metodi ili obliku zaključivanja radi? Je li način razmišljanja ispravan? Je li zaključak ispravan?

24. ZADACI ZA RAZMIŠLJANJE • Negativni brojevi imaju ispred sebe - . Broj – ( -5) je negativan. • 23 32 , 45 54, 67 76 . Zaključujemo da je am ma . • Obujam kvadra izračunava se po formuli V=Bv=a b c , pa se obujam valjka računa po formuli V = B v = r2  v .

25. U ovom opisu jedne situacije iz razreda prepoznajte misaone operacije o kojima smo učili  Učiteljica čita zadatak "Ako se za 1 dolar dobije 5 kuna, koliko će se kuna dobiti za 150 dolara?". Učenici izdvajaju poznate i nepoznate podatke i zapisuju ih na ploču. Nakon toga, Maja na osnovu zapisanih podataka ponavlja (prepričava) zadatak. Ona se sjetila da su na prošlom satu rješavali sličan zadata koji je glasio "Ako jedna kokoš košta 30 kuna, koliko košta 5 koka?", pa odmah postavlja brojevni izraz x = kune 1 : 5 = 150 : x x = 150 5 x = 750 Daje odgovor: Dobije se 750 kuna. Učiteljica kaže: Djeco, sada ovaj izraz x = dolari5 možemo uzeti kao formulu za preračunavanje dolara u kune.