La loi des cosinus

1. A b c h ( a – x ) x D C B a La loi des cosinus b2 = a2 + c2 - 2ac cosB a2 = b2 + c2 - 2bc cos A c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Remarque: Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

2. A h C B D b c Traçons un triangle quelconque et nommons-le ABC. ( a – x ) x a Dans le triangle ABC : - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B, - posons c pour représenter le côté en face de l’angle C, - posons a pour représenter le côté en face de l’angle A. Traçons la hauteur AD ( h ). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle ADC et le triangle ADB. Posons x pour représenter le segment DB. ( a – x ). Le segment CD peut alors être représenté par le binôme En utilisant la relation de Pythagore, établissons le système suivant : h2 = b2 – ( a – x )2 h2 = c2 – x 2 En utilisant la méthode de comparaison, nous obtenons: b2 – ( a – x )2 = c2 – x2

3. A b c h ( a – x ) x C B D a x c cos B = x = c cos B Développons maintenant b2 - ( a - x )2 = c2 - x2 b2 - ( a2 - 2ax + x2 ) = c2 - x2 b2 - a2 + 2ax - x2 = c2 - x2 b2 - a2 + 2ax = c2 Isolons b2 : b2 = a2 + c2 - 2ax Dans le triangle ADB, nous avons le rapport : Isolons x : Dans l’expression b2 = a2 + c2 – 2ax, remplaçons x par c cos B: b2 = a2 + c2 - 2ac cos B a2 = b2 + c2 - 2bc cos A En construisant une hauteur pour chaque sommet et en utilisant la même démarche, on en déduit que: c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Cette loi des cosinus nous permet donc de calculer toutes les mesures d’angles et toutes les mesures de côtés dans les triangles qui ne sont pas rectangles.

4. B B c c a A C A b b C La formule des cosinus s'utilise lorsqu'on connaît les mesures des éléments suivants: les 3 côtés Un angle compris entre 2 côtés

5. B c a A b C a2 = cos A Comment utiliser cette loi ? Si on veut connaître la mesure de l’angle A : ou la mesure du segment représenté par a : On associe le côté en face de l’angle avec le cosinus de l’angle. b2 + c2 – 2bc Les autres parties de la formule proviennent des côtés adjacents.

6. x2 priorité d’opérations a ≈  3,2 m BC  3,2 m 10, 5568 Avec la calculatrice: ( 3^2 + 4^2 – 2 x 3 x 4 cos 53) 2nd Exemple 1 B On cherche la mesure du côté BC. 4 m a Nous avons donc besoin de la formulation: 530 a2 = b2 + c2 – 2 x b x c x cos A C A 3 m a2 = 32 + 42 – 2 x 3 x 4 x cos 530 a2 ≈ 9 + 16 – 24 x 0,6018 a2 ≈ 25 - 14,4432 a2 ≈ 10, 5568 Remarque:  3,249

7. = cos B -25,6 -25,6 - 17,24 ≈ 0,6734 -25,6 Avec la calculatrice: Exemple 2 B On cherche la mesure de l’angle B. Nous avons donc besoin de la formulation: 4 m 3,2 m b2 = a2 + c2 - 2 x a x c x cos B 530 A C 3 m 32 = 3,22 + 42 - 2 x 3,2 x 4 x cos B b 9 = 10,24 + 16 - 25,6 cosB Isolons cos B : cos B ≈ 0,6734 9 - 10,24 - 16 = - 25,6 cosB donc cos-1 0,6734  47,70 - 17,24 = - 25,6 cosB m  B ≈ 47,70 Remarque: Cos-1 (( 9 – 10,24 – 16 ) ÷ (-)25,6 )  47,70

8. B 4 m 3,2 m 530 A C 3 m Exemple 2 On cherche la mesure de l’angle B. Remarque: Comme la mesure du segment BC avait déjà été déterminée, on aurait pu déduire la mesure de l’angle B en utilisant la loi des sinus.

9. B 5 cm 4 cm A C 6 cm a2 - b2 - c2 = - 2bc cos A - 2bc - 2bc 42 - 62 - 52 a2 - b2 - c2 = cos A - 2 x 6 x 5 - 2bc 16 – 36 – 25 - 45 - 60 = - 60 Exemple 3 On cherche la mesure de l’angle A. Nous avons donc besoin de la formulation: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Isolons cos A: = cos A = 0, 75 cos A = 0,75 donc cos -1 0,75 ≈ 41, 40 m  A ≈41, 40

10. B 5 cm 4 cm c a b A C 6 cm ( m BC )2 = ( m AC )2 + ( m AB )2 – 2 ( m AC ) ( m AB ) cos A Exemple 3 On cherche la mesure de l’angle A. Nous avons donc besoin de la formulation: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Cette formulation pourrait s’écrire aussi: Comme la formulation est un peu longue, utilise a, b et c. Identifie-les sur la figure ( par des lettres minuscules).

11. A 4 km 1,95 km b2 - a2 - c2 = - 2ac cos B B 3 km - 2ac - 2ac b2 - a2 - c2 = cos B 42 – 32 – 1,952 - 2ac - 2 x 3 x 1,95 3,1975 16 – 9 – 3,8025 - 0, 2733 ≈ = - 11, 7 - 11,7 Exemple 4 On cherche la mesure de l’angle B. Nous avons donc besoin de la formulation: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B Isolons cos B: C = cos B cosinus négatif m  B ≈ 105,90 cos B ≈ - 0,2733 donc cos-1 - 0,2733 ≈ 105,90 La calculatrice tient compte des cosinus négatifs; elle donnera la bonne valeur de l’angle. Elle tient compte du fait que : cos ( 1800 – θ ) = - cos θ