La loi des sinus

1. B c a a b c = = sin A sin B sin C A C b La loi des sinus Remarque : Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

2. B h C A D sin A = h a sin C = h c c sin A = h h sin C = a c sin A a a sin C c = = sin A sin A sin C sin C sin A sin C Construisons un triangle quelconque et nommons-le ABC. Dans le triangle ABC : c a - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B; - posons c pour représenter le côté en face de l’angle C; b - posons a pour représenter le côté en face de l’angle A. Traçons la hauteur BD (h). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle BDA et le triangle BDC. Dans le triangle BDA, on a : Isolons h : Isolons h : Dans le triangle BDC, on a : a sin C = c sin A En utilisant le méthode de comparaison, on obtient : Divisons les deux membres de l'équation par sin A sin C et simplifions.

3. B E c a k k A C sin B = b c c sin B = k k sin C = b sin C = k b c b sin C c sin B b = = sin B sin C sin B sin C sin C sin B a c b c a b c Si = = et que = = sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin C Maintenant, traçons la hauteur AE (k). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle AEB et le triangle AEC. Isolons k : Dans le triangle AEB, on a : Dans le triangle AEC, on a : Isolons k : En utilisant le méthode de comparaison, on obtient : b sin C = c sin B et simplifions. Divisons les deux membres de l'équation par sin B sin C alors

4. B a A C La loi des sinus s'utilise quand les trois conditions ci-dessous sont réunies : - la mesure d’un angle; - la mesure du côté opposé à cet angle; - la mesure d’un autre élément du triangle. Remarque Pour établir la proportion, on associe l’angle avec le côté qui lui fait face.

5. B 5 m 760 C A b c 4 m = sin B sin C 4 4 5 = sin 760 sin B sin B 5 ≈ 0,9702 4 X 0,9702 ≈ sin B 5 Exemples Détermine la mesure de l’angle B. x Remarque On utilise seulement une partie de la relation en fonction de l’information fournie; ainsi, la proportion sélectionnée sert d’outil de travail. sin B  0,7762 alors sin-1 0,7762  50,90 4 X 0,9702 ≈ 5 X sin B m  B  510

6. B 5 m 760 C A 4 m m AC m AB m AB m AC X sin C = sin B = sin B sin C 4 X sin 760 sin B = 5 x On pourrait aussi procéder ainsi : 2 )  0,7762 Avec la calculatrice : 4 sin760 ÷ 5 Alors, sin-1 0,7762  50,90 m  B  510

7. B 510 5 m 760 C A 4 m m BC m AC m BC m BC m BC m BC = sin A sin B 4 = sin 530 sin 510 4 X 0,7986 = 4 0,7771  0,7986 0,7771 X 0,7771  4 X 0,7986 m BC  4,1 m Détermine la mesure du coté BC. 1 ) m  A = 530 La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800. 530 2 )  4,1

8. B 510 5 m 760 C A 4 m m BC m AC m BC m BC m AC = sin A sin B X sin A = sin B 4 X sin 530 = sin 510 m BC  4,1 m Détermine la mesure du coté BC. 1 ) m  A = 530 La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 . On pourrait aussi procéder ainsi : 530 2 )  4,1 4 sin 530÷ sin 510 Avec la calculatrice :

9. D 400 125 m DE m FE = 85,5 125 sin F sin D = sin 400 sin F ? 125 X 0,6428 ≈ E F 85,5 85,5 125 sin 400 = 85,5 ? sin-1 0,9398 ≈ 700 m F ≈ 700 Détermine la mesure de l’angle F. 0, 9398 sin F = sin F = 0,9398 L’angle F ne peut pas mesurer 700, car l’angle F est un angle obtus. Il faut prendre son supplément soit 1100. sin θ = sin (1800 – θ) La calculatrice répond à la règle suivante : Alors, regarde attentivement la sorte de triangle avant de répondre.