Distribuciones en el muestreo, EMV

1. Distribuciones en el muestreo, EMV Tema 6 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

2. Descripción breve del tema • Introducción y conceptos básicos • Propiedades de los estimadores • Sesgo, Varianza, Error Cuadrático Medio y Consistencia • Distribución de un estimador en el muestreo • Distribución de la media en el muestreo • Distribución de la varianza en el muestreo • Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales • Método de Máxima Verosimilitud • Propiedades de los EMVs • Inferencia a partir de los EMVs • Introducción a los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Depto. Estadística, Universidad Carlos III

3. Objetivos • Entender estimación como pilar fundamental de la Estadística. • Habituarse a manejar las distribuciones que aparecen asociadas a ciertos estimadores. • Encontrar el EMV de un parámetro tanto de una distribución discreta como continua. • Conocer la distribución asintótica de un EMV. • Entender las ideas básicas de contrastes de hipótesis e intervalos de confianza a partir del método de Máxima Verosimilitud. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

4. Descripción breve del tema • Introducción y conceptos básicos • Propiedades de los estimadores • Sesgo, Varianza, Error Cuadrático Medio y Consistencia • Distribución de un estimador en el muestreo • Distribución de la media en el muestreo • Distribución de la varianza en el muestreo • Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales • Método de Máxima Verosimilitud • Propiedades de los EMVs • Inferencia a partir de los EMVs • Introducción a los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Depto. Estadística, Universidad Carlos III

5. Introducción La Inferencia Estadística es el proceso de predicción que nos permite obtener conclusiones sobre el comportamiento de una población a partir de los datos de una muestra. Hemos visto distribuciones de probabilidad que dependen de uno o varios parámetros, ahora veremos cómo estimar dichos parámetros. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

6. Conceptos básicos • Una muestra aleatoria son n variables aleatorias independientes y con la misma distribuciónX1,X2,…,Xn • Un estadístico es cualquier transformación (función) de las observaciones de una muestra aleatoria. Es, por tanto, una variable aleatoria f (X1,X2,…,Xn). Depto. Estadística, Universidad Carlos III

7. Conceptos básicos • Un estimador de un parámetro q es cualquier función de la muestra que conduce a la obtención de valores aproximados de q. Se trata de un estadístico que sirve para estimar q. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

8. Descripción breve del tema • Introducción y conceptos básicos • Propiedades de los estimadores • Sesgo, Varianza, Error Cuadrático Medio y Consistencia • Distribución de un estimador en el muestreo • Distribución de la media en el muestreo • Distribución de la varianza en el muestreo • Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales • Método de Máxima Verosimilitud • Propiedades de los EMVs • Inferencia a partir de los EMVs • Introducción a los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Depto. Estadística, Universidad Carlos III

9. Propiedades de los estimadores • Sesgo. Un estimador de un parámetro q es insegado o centrado si A la diferencia se le llama sesgo del estimador. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

10. Propiedades de los estimadores • Varianza de un estimador. De los estimadores centrados, el mejor es aquel cuyos valores están más concentrados en torno al verdadero valor del parámetro, el que tenga menor varianza. Llamamos eficiencia o precisión de un estimador al inverso de su varianza Depto. Estadística, Universidad Carlos III

11. Propiedades de los estimadores • El error estándar de un estimador es su desviación típica • Si la desviación típica depende del parámetro q, la sustitución de q por su estimación da lugar al error estándar estimado Depto. Estadística, Universidad Carlos III

12. Propiedades de los estimadores • Dados dos estimadores de un mismo parámetro, su eficiencia relativa se define como Depto. Estadística, Universidad Carlos III

13. Propiedades de los estimadores • Error Cuadrático Medio. El ECM nos permite comparar estimadores centrados con otros que tienen sesgo y estimadores sesgados entre ellos • Propiedad. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

14. Propiedades de un estimador • Consistencia. Decimos que un estimador es consistente cuando se aproxima al auténtico valor del parámetro a medida que el tamaño de la muestra crece. Es lo mínimo que se le exige a un estimador. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

15. Descripción breve del tema • Introducción y conceptos básicos • Propiedades de los estimadores • Sesgo, Varianza, Error Cuadrático Medio y Consistencia • Distribución de un estimador en el muestreo • Distribución de la media en el muestreo • Distribución de la varianza en el muestreo • Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales • Método de Máxima Verosimilitud • Propiedades de los EMVs • Inferencia a partir de los EMVs • Introducción a los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Depto. Estadística, Universidad Carlos III

16. Distribucióndelamediaenelmuestreo • La media muestral es un estimador natural de la media poblacional m. Es centrado y su varianza es s2/n, donde s es la desviación típica de X. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

17. Distribucióndelamediaenelmuestreo Por el TCL, sabemos que para cualquier distribución de X, con tal que n sea suficientemente grande Depto. Estadística, Universidad Carlos III

18. Distribucióndelamediaenelmuestreo • Distribucióndeunaproporciónenelmuestreo. Llamamos p a la proporción poblacional de elementos que presentan cierta característica. La v.a. X que toma valor 1 si el elemento presenta la característica y 0 si no, sigue distribución de Bernoulli de parámetro p. Si n>30 y np(1-p)>5, podemos aplicar la aproximación del TCL Depto. Estadística, Universidad Carlos III

19. Varianza en el muestreo • La varianza muestral es un estimador sesgado de la varianza poblacional • Alternativamente tenemos la cuasivarianza muestral que es insesgado Depto. Estadística, Universidad Carlos III

20. Poblaciones normales • Distribución de la varianza. Si la muestra procede de una población normal, Tenemos entonces Var[S2] = 2(n-1)s4/n2 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

21. Poblaciones normales • Distribución de la media con varianza desconocida. Si la muestra procede de una población normal y la varianza es desconocida, podemos reemplazarla por la (cuasi)varianza muestral y obtenemos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

22. Poblaciones normales • Cocientedevarianzas.Sitenemosdosmuestras independientes procedentes de distribuciones normales de tal modo que la muestra de X tiene tamaño n y la de Y tamaño m, entonces la distribución del cociente de sus varianzas muestrales cumple Depto. Estadística, Universidad Carlos III

23. Descripción breve del tema • Introducción y conceptos básicos • Propiedades de los estimadores • Sesgo, Varianza, Error Cuadrático Medio y Consistencia • Distribución de un estimador en el muestreo • Distribución de la media en el muestreo • Distribución de la varianza en el muestreo • Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales • Método de Máxima Verosimilitud • Propiedades de los EMVs • Inferencia a partir de los EMVs • Introducción a los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Depto. Estadística, Universidad Carlos III

24. Método de Máxima Verosimilitud Partimos de una muestra aleatoria simple X1,X2, ...,Xn que procede de una distribución conocida dependiente de un parámetro (o parámetros) y queremos estimar el valor de estos parámetros. La estimación de dichos parámetros será el valor que maximiza la función de verosimilitud (función de densidad o de probabilidad conjunta) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

25. Método de Máxima Verosimilitud Los datos procedentes de las n observaciones son (x1,x2,...,xn) = x. El parámetro que deseamos estimar es q. • Si partimos de una variable aleatoria Xdiscreta, la función de verosimilitud será la probabilidad conjunta de la muestra, Depto. Estadística, Universidad Carlos III

26. Método de Máxima Verosimilitud • Si partimos de una variable aleatoria Xcontinua, la función de verosimilitud será la función de densidad conjunta de la muestra, • La función soporte es el logaritmo de la función de verosimilitud, L(q |x) = ln l(q |x) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

27. Método de Máxima Verosimilitud Nuestro objetivo es buscar el parámetro q que maximiza la probabilidad de aparición de los valores observados x Depto. Estadística, Universidad Carlos III

28. Descripción breve del tema • Introducción y conceptos básicos • Propiedades de los estimadores • Sesgo, Varianza, Error Cuadrático Medio y Consistencia • Distribución de un estimador en el muestreo • Distribución de la media en el muestreo • Distribución de la varianza en el muestreo • Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales • Método de Máxima Verosimilitud • Propiedades de los EMVs • Inferencia a partir de los EMVs • Introducción a los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Depto. Estadística, Universidad Carlos III

29. Propiedades de los EMVs Bajo ciertas condiciones generales (rango de la variable conocido y no depende de ningún parámetro) los EMVs son: • Asintóticamente centrados • Asintóticamente normales Depto. Estadística, Universidad Carlos III

30. Propiedades de los EMVs • Asintóticamente de varianza mínima • Invariantes frente a transformaciones biunívocas. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

31. Descripción breve del tema • Introducción y conceptos básicos • Propiedades de los estimadores • Sesgo, Varianza, Error Cuadrático Medio y Consistencia • Distribución de un estimador en el muestreo • Distribución de la media en el muestreo • Distribución de la varianza en el muestreo • Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales • Método de Máxima Verosimilitud • Propiedades de los EMVs • Inferencia a partir de los EMVs • Introducción a los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Depto. Estadística, Universidad Carlos III

32. Inferencia a partir de los EMVs • Intervalos de confianza. Conocemos la distribución aproximada de un EMV. Supuesta una muestra aleatoria simple X1,X2, ...,Xn podemos construir un intervalo que contenga el verdadero valor del parámetro con una probabilidad fija 1-a. Para los datos x1,x2,...,xn dicho intervalo se convierte en un IC con nivel de confianza 1-a Depto. Estadística, Universidad Carlos III

33. Intervalos de Confianza • Asintóticamente la distribución de un EMV es Normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

34. Intervalos de Confianza Finalmente obtenemos Donde la amplitud del intervalo depende de la varianza del EMV, y en consecuencia del tamaño de la muestra. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

35. Inferencia a partir de los EMVs • Contrastes de Hipótesis. El conocimiento de la distribución asintótica de los EMVs nos puede servir para contrastar la veracidad de ciertas hipótesis (conjeturas) sobre el parámetro q Depto. Estadística, Universidad Carlos III