Faut-il brûler la logique classique?

1. Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales

2. C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de l’implication matérielle • (1) • (2) ad impossibile sequitur quodlibet • Ex: si « l’eau bout à 100° » est vraie, alors il est vrai que « si Charlemagne fut empereur, alors l’eau bout à 100° » • Distinguer une « implication stricte » d’une implication matérielle?

3. Implication stricte • P implique strictement Q si et seulement s’il est impossible que P soit vrai sans que Q le soit • Fait intervenir la notion de modalité

4. … une idée pas neuve • Aristote, Premiers Analytiques • cf. discussion sur l’aporie de Diodore Kronos (J. Vuillemin, 1984)

5. Aporie de Diodore - 1 • A – le passé est irrévocable, • B – si q suit nécessairement de p, alors s’il n’est pas possible que q, il n’est pas possible que p • C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, • D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne se réalisera pas, • E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais

6. A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors s’il n’est pas possible que q, il n’est pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais Pp MPp L(p  q)(Mq Mp) (Mp  p Fp) p PFp p Fp PFp Aporie de Diodore - 1

7. Intérêt des logiques modales Introduire : • le temps dans la logique (logique temporelle) sous l’aspect d’opérateurs tels que P et F (passé et futur), • les considérations de contingence et de nécessité (logique aléthique), • celles de permission et d’obligation (logique déontique) • les notions de savoir et de croyance (logiques épistémiques et doxastiques).

8. opérateurs • logique aléthique : le nécessaire est le dual du possible • logique déontique : l’obligatoire est le dual du permis • logique de la prouvabilité : le prouvable est le dual du « consistant avec » ◊p □p

9. Premières approches : Lewis et Langford, 1932 • Présentation à la Hilbert

10. L’approche syntaxique (2) • Interprétation « naturelle »: □p = « il est nécessaire que p » • La logique modale (propositionnelle) est une extension du calcul propositionnel : • Toute logique modale doit contenir comme théorèmes au minimum toutes les tautologies du CP, • Comme il existe une procédure pour les déterminer (décidabilité), on peut admettre que chaque tautologie du CP est prise comme axiome

11. L’approche syntaxique (3) + axiomes « propres », permettant de manipuler « □ » Axiomes CP : toute formule ayant la forme d’une tautologie Axiome K : □()  (□ □) Règles : modus ponens : |—  |—  |—  nécessitation : |—  |— □

12. Sémantique de la logique modale • Sémantique dite « de Kripke » • Deux notions-clés : • Monde possible • Relation d’accessibilité

13. La théorie des mondes possibles

14. Semantic frame • Un « frame » F est un couple (W, ) où: • W : un ensemble non vide (de « mondes possibles ») •  une relation binaire sur W • Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V) où: • F est un « frame » • V est une application de {p1, p2, …, pn}  W dans {0,1} (à chaque lettre propositionnelle et chaque monde possible: une valeur de vérité)

15. Sémantique (3) • Si dans le modèle M, V(p, w) = 1 (p: une lettre propositionnelle, w: un monde), on écrit: VM,w(p) = 1 ou: |=M,w p ou encore w |=M p • On étend V à toute formule au moyen de: • VM,w() = 1 ssi VM,w() = VM,w() = 1 • VM,w() = 0 ssi VM,w() = VM,w() = 0 • VM,w() = 1 ssi VM,w() = 0 • VM,w() = 1 ssi pour tout w’ tel que ww’, VM,w’() = 1

16. Liens entre propriétés de  et formules vraies dans une logique modale • Supposons que nous prenions comme axiome supplémentaire, la formule : □   • Quelle est sa signification en termes de « frame » ou de « relation d’accessibilité »?

17. Si  est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0, alors  est vraie dans ce monde actuel • Autrement dit: w0 fait partie de ces mondes accessibles à partir de lui-même • w0  w0 • Autrement dit:  est réflexive

18. Propriétés de  et formules vraies • Idem pour: □  □□ • Si  est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0, alors c’est le cas également de □ • Pour que □ soit vraie dans tout monde w accessible à w0, il faut que  soit vraie dans tout monde accessible à tout monde w accessible à w0. • Donc la formule exprime le fait que si  est vraie dans tout monde accessible à w0, alors elle est encore vraie dans tout monde accessible à tout monde accessible à w0.

19. ceci est assuré si:  est transitive

20. Qu’en est-il de: ◊□   ?

21. S’il existe un monde possible accessible au monde actuel où □ est vraie, alors  est vraie dans le monde actuel • Soit w1 ce monde, dire que □ est vraie dans w1, c’est dire que  estvraie dans tout monde possible accessible à w1 • Si on veut que toujours en ce cas,  soit vraie dans w0, il suffit que w0 soit toujours accessible à w1 • Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0 Donc que  soit symétrique

22. Caractérisation (2) • □  (axiome T) caractérise les frames réflexifs • □  □□ (axiome 4) caractérise les frames transitifs • ◊□   (axiome B) caractérise les frames symétriques • ◊  □◊ (axiome 5) caractérise les frames euclidiens

23. Différentes logiques • On a vu K (pas de propriété particulière de ) (logique modale minimale) • K + □   : logique T • T + □  □□ : logique S4 • S4 + ◊  □◊ : logique S5 • si on ajoute   □ : collapsus (retour à CP)

24. Logique épistémique (1) |—  |— K toute vérité (logique) est connue…! (omniscience) • Axiome K : si x sait que A  B alors s’il sait A, il sait B (« distribution ») • Connaissance : x sait que    • Modus ponens

25. Logique épistémique (2) • 4 : KiKiKi • Axiome de l’introspection positive • 5 : KiKi Ki • Axiome de l’introspection négative • B : KiKi ???

26. 8- La logique et les processus Logique linéaire

27. Le calcul des séquents (Gentzen, 1934)comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste • Prouver: (A  B)  ((B  C)  (A  C))

28. démonstration A  B, B  C, A, B | B, CA  B, B  C, A, B, C | C A  B, B  C, A | A, C A  B, B  C, A, B | C A  B, B  C, A | C A  B, B  C | A  C A  B | (B  C)  (A  C) | (A  B)  ((B  C)  (A  C))

29. Règles logiques axiome : [ D] : A,  |- , B [ G] :  |- , AB,  |-   |- , ABA  B,  |-  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- ,  A A,  |-  A,  |- , A coupure :  |- , AA,  |- ’ ,  |- , ’

30. Règles structurelles Affaiblissement : à gauche :  |-  à droite :  |-  , A |-  |- A,  Contraction : à gauche : , A, A |-  à droite :  |- A, A,  , A |-  |- A,  Permutation à gauche : , A, B,  |-  à droite :  |- ’, A, B,  , B, A,  |-  |- ’, B, A, 

31. Gentzen - suite • Hauptsatz : • Le système sans coupure permet de prouver les mêmes séquents que le système avec coupure ! • Alors… • La règle de coupure ne sert à rien? • Si!

32. Calcul intuitionniste • dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite • empêche tiers exclu et double négation • Isomorphisme de Curry-Howard • types = formules • -termes = preuves • réduction = élimination de la coupure

33. Pourquoi casser les symétries? En logique classique,  |- A, ’|- B, ’ , ’ |- A  B, , ’ et  |- A, |- B,   |- A  B,  sont équivalentes (à cause des règles de contraction et d’affaiblissement)

34. Pourquoi casser les symétries? Mais si on supprime ces règles?

35. Pourquoi casser les symétries? • La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive [ G] , A, B |-  [ D]  |- A, ’|- B, ’ , A  B |- , ’ |- A  B, , ’ [& G]1 , A |-  [& D]  |- A, |- B,  , A & B |-  |- A & B,  [& G]2 , B |-  , A & B |- 

36. Logique linéaire – 2partie disjonctive [ G]  |- A, B,  [ D] , A |- ’, B |- ’  |- A  B, , ’, A  B |- , ’ [ D]1  |- A,  [ G] , A |- , B|-   |- A  B, , A  B |-  [ D]2  |- B,   |- A  B,  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- , A A,  |-  NB : A –o B  A B

37. Logique linéaire - 3 • Retrouver la logique classique? A  B  !A –o B • Le rôle des exponentielles : réintroduire localement les règles structurelles , A |-  [intro !] , !A, !A |-  [contraction] , !A |-  , !A |-   |-  [affaiblissement] , !A |- 

38. Le menu…. • Prix : 16 € • Entrée : au choix jambon ou salade • Plat de résistance : entrecôte • Accompagnement : frites à volonté • Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

39. Le menu…. • Prix : 16 € • Entrée : au choix jambon ou salade • Plat de résistance : entrecôte • Accompagnement : frites à volonté • Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

40. La formule… 16 € --o (jambon & salade)  (entrecôte !frites)  (fromage & (pomme  pêche))

41. Autre exemple • Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles • Marie est à Londres • John est à Londres En principe: Marie peut prendre l’avion pour Bruxelles John peut prendre l’avion pour Bruxelles Donc : Marie et John peuvent prendre l’avion pour Bruxelles

42. En réalité… Soit les prémisses : x (Londres(x) –o Brux(x)) pour tout individu x, s’il est à Londres, il peut aller à Bruxelles mais cette formule est utilisable une seule fois Londres(Marie) Londres(John) Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie)et Brux(John)

43. déduction x (Londres(x) –o Brux(x)) Londres(Marie) –o Brux(Marie) Londres(Marie) Brux(Marie) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie)  Brux(Marie) Londres(John)  Londres(John) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(Marie)  Londres(John) Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(John)  Londres(Marie)

44. Plus sérieux… !(e (electron(e) –o z position(e, z))) !(e (electron(e) –o z’ vitesse(e, z’))) Impossible de prouver : !(e (electron(e) –o z position(e, z)  z’ vitesse(e, z’)))

45. déduction !(e (electron(e) –o z position(e, z))) electron(i) electron(i) –o z position(i, z) z position(i, z) Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z’ vitesse(e, z’)

46. Prouver c’est aussi planifier • cf. une action produit un changement dans le monde • utilise des ressources • se réalise par combinaison d’actions plus élémentaires

47. c a poser c sur la table

48. poser c sur la table c a

49. poser c sur la table c a

50. c poser c sur la table a