ALJABAR MATRIKS pertemuan 9 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

1. ALJABAR MATRIKSpertemuan 9 Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom

2. RuangNol (Kernel) Definisi : MisalkanL : V→W adalahtransformasi linier. RuangNol (Kernel) dari L , dilambangkandenganker(L) , didefinisikanolehker(L) = Jangkauan (Image) Definisi : MisalkanL : V→W adalahtransformasi linier dan misalkan S adalahruangbagian dari V. Jangkauan (range) dari S , dilambangkandengan L(S) , didefinisikanoleh L(S) = untuksemua v є S Jsngkauandarikeseluruhanruangvektor L(V) disebutpeta(range) dari L Contoh : L(S) = {S((x,y,x)’) = (2x-y , y+z)’ | x,y,zϵ R} Ker(L) = { (x,y,x)’ = ( 2x-y = 0 , y+z) = 0 |x,y,zϵ R}

3. Teorema JikaL : V→W adalahsuatutransformasi linier dan S adalahruangbagian dari V , maka ker(L) adalahruangbagian dari V L(S) adalahruangbagian dari W Bukti : Untukmembuktikan (1) kitaharusmemperlihatkanbahwaker(L) tertutupdibawahperkalianskalar dan penjumlahanvektor. Jika v ϵker(L) danαsuatuskalar , maka L(αv) = αL(v) = α0w = 0w Olehkarenaitu , αv ϵker(L) Jika v1,v2 ϵker(L) maka L(v1+v2) = L(v1)+L(v2) = 0w + 0w = 0w Olehkarenaitu , v1 + v2 ϵker(L) sehinggaker(L) adalahsuaturuangbagiandari V

4. LanjutanBukti : Buktidari (2) adalahserupa . Jika w ϵ L(S) , maka w = L(v) untuksuatu v ϵ S. untukskalarαsembarang. αw = αL(v) = L(αv) Karenaαv ϵ S, maka αw ϵ L(S) sehingga L(S) tertutupdibawahperkalianskalar. Jika w1, w2 ϵ L(S) makaterdapat v1,v2 ϵ S sehingga L(v1) = w1 dan L(v2) = w2. Jadi , w1 + w2 = L(v1) + L(v2) = L(v1+v2) Sehingga L(S) tertutupdibawahpenjumlahan.

5. Adakalanya kernel darisuatupemetaan linier disebutnull space dan dimensi dari kernel dinamakan nullity dari pemetaan linier, sedangkandimensidari image suatupemetaan linier dinamakan rank dari pemetaan linier. Sehingga didapat dim(U) = nullity(α) + rank(α). Contoh : Misalkanpemetaan linier α : R3 -> R2 dengan((x,y,z)’) = (x + z; 2x - y + z)’ untuk setiap (x,y,z)’ ϵ R3. Kerneldariαadalahpenyelesaiandaripersamaanvektorα((x, y, z)’) = (x+z; 2x - y +z)’ = (0 , 0)’ ataupenyelesaianpersamaanhomogen yang mempunyaipenyelesaian x = x , y = x , z = -x , x ϵ R. Jadiker(α) = {x(1,1,-1)’ | x ϵ R} = {(1,1,-1)’} . Terlihatbahwanullity(α) = 1. Sedangkan L(α) = {(x + z; 2x - y + z)’| x , y , z ϵR} = {x(1 ,2)’ + y(0, 1)’ + z(1, 1)’| x,y, z ϵ R} = {(1, 2)’ , (0, 1)’ , (1,1)’} ={(1, 2)’ + (1,1)’ , 2(1, 2)’ - (0 , 1)’ + (1 , 1)’ } = {(2,3)’ , (3, 4)’}. Terlihat bahwa rank(α) = 2. Sehinggadidapat dim(R3) = nullity(α) + rank(α) = 1 + 2 = 3.

6. Keserupaan(1) Misalkan L adalahtransformasi linier yang memetakan R2 kedalamdirinyasendiriygdidefinisikanoleh L(x) = (2x1 , x1+x2)T Karena L(e1) = (2,1)Tdan L(e2) = (0,1)T Makalambangmatriksdari L relatifterhadap [e1,e2] adalah Jikakitamenggunakan basis yang berbedauntuk R2 , lambangmatriksdari L akanberubah. Sebagaicontohjikakitamenggunakan u1 = (1,1)T dan u2 = (-1,1)T untuksebuah basis , makauntukmenentukanlambangmatriksdari L relatifterhadap [u1,u2] kitaharusmenentukan L(u1),L(u2) danmenuliskanvektorinisebagaikombinasi linier dari u1 dan u2. Kita dapatmenggunakanmatriks A untukmenentukan L(u1) , L(u2) L(u1) = A(u1) = L(u2) = A(u2) = Untukmengubahvektor – vektorinidalam u1 dan u2 , kitamenggunakanmatrikstransisiuntukmengubahbaristerurut [e1,e2] menjadi [u1,u2]. Berikutkitahitungmatrikstransisidari [u1,u2] menjadi [e1,e2] secarasederhanadapatdilihatdibahwaini : Makamatrikstransisidari [u1,u2] menjadi [e1,e2].adalah

7. Keserupaan(2) Untukmenentukankoordinat – koordinatdari L(u1) , L(u2) relatifterhadap [u1,u2] , kitakalikanvektor – vektorinidengan U-1 Jadi , L(u1) = 2u1 + 0u2 L(u2) = -u1 + u2 Sehinggalambangmatriksdari L relatifterhadap [u1,u2] adalah Bagaimanahubunganantara A dan B? Perhatikanbahwakolom – kolom B adalahdan Maka Jadijika B adalahlambangmatriksdari L relatifterhadap [u1,u2] A adalahlambangmatriksdari L relatifterhadap [e1,e2] U adalahmatrikstransisiuntukperubahan basis dari [u1,u2] ke [e1,e2] makaadalahfungsimatriks yang bisadigunakanuntukmencari B jika B adalahserupadengan A

8. Keserupaan(3) Jadimaknadarikeserupaandapatdilihatdarigambarberikutini : Definisi : Misalkan A dan B adalahmatriks – matriks n x n , B dikatakanserupa (similar) dengan A jikaterdapatmatrikstaksingular S sehingga B = S-1AS.

9. Keserupaan(4) Contoh : Misalkan D adalah operator diferensialpada P3 . Carilahmatriks B yang melambangkan D relatifterhadap [1,x,x2] danmatriks A yang melambangkan D relatifterhadap [1,2x,4x2 - 2] Jawab : D(1) = 0 . 1 + 0 . x + 0 . x2 D(x) = 1 . 1 + 0 . x + 0 . x2Makamatriks B = D(x2) = 0 . 1 + 2 . x + 0 . x2 Denganmenerapkan D pada 1 , 2x , dan 4x2 – 2 makakitaperoleh : D(1) = 0 . 1 + 0 . 2x + 0 . (4x2-2) D(2x) = 2 . 1 + 0 . 2x + 0 . (4x2 -2) Makamatriks A = D(4x2-2) = 0 . 1 + 4 . 2x + 0 . (4x2-2) Matrikstransisi S yang berhubungandenganperubahan basis dari [1,2x,4x2 - 2] ke [1,x,x2] daninversnyadiberikanoleh dan Dengan data yang didapatkandiatasbolehandabuktikanapakah A = S-1BS.

10. Tugas • Joint dalamkelompok (3 orang) – kelompokditentukanolehdosen • Buatlahsoal (Boleh Goggling) mengenaipertemuanhariinilengkapdengansolusidalammenjawabsoaltersebut (WAJIB 2 soal!!) • Syaratpenilaian : • Tepat 2 soal (10 point) • Solusi + Jawabandarisoaldiatas (40 point) – nilai maximum untuksolusi & jawabanygbenar • Tidakadakerjasamaantarkelompok (10 point) • Tingkat kerumitansoaltinggi (40 point)