M.E.F. – PRINCIPII DE BAZA

1. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice M.E.F. – PRINCIPII DE BAZA • Probleme de fizica aplicata intalnite curent in ingineria civila: • distributia eforturilor unitare si a deformatiilor specifice in • solide elastice • - distributia si campului termic • - curgerea prin medii poroase (infiltratii) • Toate aceste probleme pot fi rezolvate prin doua abordari: • abordarea diferentialasauabordarea variationala

2. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice ABORDAREA DIFERENTIALA • Ecuatiile diferentiale ce definesc problema sunt cunoscute (date) • Functia necunoscuta – u = scalar sau vector Sistemul de ecuatii diferentiale cu derivate partiale Conditii de margine impuse

3. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice ABORDAREA VARIATIONALA Functia necunoscuta u este cea care minimizeaza o functionala E (scalar) cu F si G “operatori” Daca E este definita prin sistemul de ecuatii diferentiale A(u) = 0 si de conditiile de margine B(u) = 0, conditia de minim este exprimata prin E = 0

4. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Solutia aproximativa cautata pentru functia u cu: Ni(x,y,z) - functii de aproximare (functii de forma) ai - parametri independenti. • functionala E va fi exprimata numai in functie de parametrii ai • conditia de minim va fi satisfacuta • daca si numai daca

5. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice (e) (De) (D ) () A(u) = 0 B(u) = 0 MEF se bazeaza pe abordarea variationala, urmand principiile de baza ale metodei Rayleigh-Ritz, cu deosebirea ca domeniul pe care este analizat fenomenul este descompus (prin linii sau suprafete imaginare) in m subdomenii numite elemente finite.

6. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice • Functiile de aproximare (functiile de forma) sunt alese astfel incat sa defineasca in mod unic functia necunoscuta u pe fiecare subdomeniu (element finit) De; functiile de aproximare pot fi definite mult mai usor datorita geometriei simple si a proprietatilor unice ale sub-domeniului (elementului). • Parametrii aisunt alesi (atribuiti) astfel incat sa corespunda cu valorile functiei necunoscute u din nodurile discretizarii; astfel, parametrii primesc semnificatia fizica a valorilor nodale uiale functie necunoscute:

7. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Se demonstreaza ca daca E este quadratica (functia u si derivatele sale apar cel mult la puterea a 2-a), functionala Ee se reduce la forma standard unde este matricea de rigiditate globala, corespunzatoare domeniului D; vectorul incarcarii u vectorul valorilor nodale ale functie necunoscute (necunoscutele primare); contine toate valorile nodale ale discretizarii.

8. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Minimizarea functionalei E in raport cu functia necunoscuta u

9. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice • Concluzii • Advantajele aproximarii prin elemente finite: • domeniul continuu este divizat intr-un numar finit de de subdomenii (elemente); comportarea fiecarui element este definita printr-un numar de parametri ce corespund valorilor nodale ale problemei; • obtinerea solutiei pentru un sistem fizic complex, ca ansamblu al componentelor sale, urmareste intocmai pasii si regulile aplicate la Metoda Rigiditatii (DSM).

10. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice • Comparatie cu metoda Rayleyh-Ritz: • In cazul metodei Rayleyh-Ritz functiile de aproximare au expresii valabile pe tot domeniul, conducand la sisteme de ecuatii simultane cu matrici ale coeficientilor complete. In cazul MEF, functia necunoscuta este definita local, valoarea nodala influentand numai elementele conectate (respectiv vice-versa); astfel, matricea coeficientilor devine o matrice-banda, dezvoltata in lungul diagonalei principale. • Domenii complexe, fara restrictii privind forma geometrica si omogenitatea, pot fi asamblate din elemente relativ simple. • Parametrii nedeterminati ai metodei Rayleyh-Ritz (numere) sunt inlocuiti cu valori nodale cu semnificatie fizica (important pentru interpretarea inginereasca). • Metoda poate fi implementata relativ usor in programe de calcul automat, datorita procedurii standard de definire a caracteristicilor elementelor.

11. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Evaluarea campului eforturilor unitare pentru structuri (masive) supuse la incarcari masice, concentrate, distribuite si a unui sistem de legaturi. DISTRIBUTIA EFORTURILOR UNITARE SI A DEFORMATIILOR SPECIFICE IN MEDIUL LINEAR-ELASTIC Starea de eforturi Starea de deformatii Echilibrul Navier

12. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Relatiile deplasare – deformatie specifica unde u, v, w sunt componentele deplasarii in lungul axelor sistemului de coordonate 3D Cartesian.

13. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Relatiile deplasare – deformatie specifica in forma matriceala: vectorul componentelor deplasarii matrice a operatorilor diferentiali

14. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Pentru solide elastice (cu comportare linear-elastica a materialului), legea lui Hook generalizata Considerand cazul particular bidimensional (2D) in conditii de efort plan Relatiile lui Hook

15. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Rezulta matricea de elasticitate • Functia neunoscuta u din A(u) = 0 este vectorul deplasarii d = d(x, y, z) • Ecuatiile Navier si legea lui Hook reprezinta sistemul de ecuatii diferentiale A(u) = 0. • - Conditiile de margine B(u) = 0 sunt exprimate de incarcarile si legaturile aplicate pe contur.

16. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice ABORDAREA VARIATIONLA Energia potentiala totala de deformatie • - primii 3 termeni (in prima paranteza) reprezinta energia de deformatie U datorata eforturilor unitare induse, a eforturilor unitare initiale 0 si a deformatiilor specifice initiale 0; • ultimii 3 termeni (in cea de-a doua paranteza) reprezinta energia potentiala W a incarcarilor exterioare datorate fortelor masice f, incarcarilor distribuite p si a celor concentrate Rc. • V este volumul domeniului (structurii) si G granita pe care se aplica conditiile de margine.

17. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice ECUATIILE IN ELEMENTE FINITE Structura este separata prin discretizare intr-un numar de elemente finite. Pe fiecare element, functia deplasare este definita prin inermediul functiilor de aproximare, pe baza deplasarilor nodale, in forma generala: Exemplu Aproximare 2D, solid patrulater, 2 GL/nod (numai deplasari) Interpolare lineara → functiile de aproximare Ni(x,y) sunt lineare, deci polinoame de ordinul I.

18. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice vectorul componentelor deplasarii deplasarile nodului i

19. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Campuldeplasarilorpesprafataelementuluidevine: Nod 1 Nod 2 Nod 3 Nod 4

20. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Functiile de aproximaredevin:

21. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Propertatile functiilor de aproximare

22. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Functiile Ni (x,y,z) au fost alese astfel incat, prin inlocuirea coordonatelor, sa rezulte valorile nodale exacte ale deplasarilor (ui pentru coordonatele nodului i s.a.m.d.), in timp ce pentru coordonatele oricarui alt nod j functia se anuleaza : Suma functiilor de aproximare (pentruelemente finite cu nnoduri) este 1

23. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Necunoscutele secundare ale problemei Cunoscand deplasarile in orice punct in interiorul elementului, deformatiile specifice rezulta unde B – matricea derivatelor functiilor de aproximare.

24. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice

25. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Eforturile unitare – pentru un material linear-elastic (se considera deformatii specifice si eforturi unitare initiale nule) Energia potentiala de deformatie pe element– prin substitutia relatiilor anterioare in expresia functionalei • Constatari: • functionala depinde numai de valorile deplasarilor nodale e; • integralele sunt exprimate in functie de functiile cunoscute N, B si de valorile • cunoscute E, 0, 0, f, p.

26. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Notatii: Energia potentiala totala pe element rezulta: Energia potentiala totala a structurii se obtine prin sumarea contributiilor fiecarui element finit din discretizare si a fortelor exterioare concentrate in noduri (altele decat cele actionand la nivelul elementului):

27. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Considerand vectorul  ca vector al tuturor deplasarilor nodale din discretizare: Notatii: Energia potentiala totala a structurii devine

28. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Ecuatii de echilibru structural Conditia de minimizare a energiei potentiale totale in raport cu deplasarea: Ceea ce conduce la:K  = R • K se identifica cu matricea de rigiditate a structurii (matricea de rigiditate globala) si, drept urmare, k este matricea de rigiditate elementala; • R reprezinta vectorul fortelor nodale, iar vectorul r reprezinta fortele nodale datorate fortelor masice rf, eforturilor initiale r0, fortelor distribuite rp, deformatiilor initiale r0 actionand pe fiecare element.

29. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice CONCLUZIE Aproximarea solutiei prin elemente finite se reduce la o problema de minimizare a energiei potentiale totale de deformatie E, definita in raport cu un numar finit de deplasari nodale. Procedeul conduce la formularea unui set de ecuatii algebrice, ce poate fi rezolvat dupa impunerea conditiilor de margine. Campul deplasarilor, deformatiilor specifice si al eforturilor unitare (necunoscute secundare): d = N e e= Be e = E B  - E 0 + 0

30. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice P P P P P P P P P P P P P ph P P ph P P ph ph 7 8 6 3 5 4 2 1

31. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice CONDITII DE MARGINE In analize structurale, conditiile de margine se exprima sub forma legaturilor structurii la un mediu considerat infinit rigid (grade de libertate GL suprimate sau impuse). Matricea K din sistemul global de ecuatii este singulara, astfel incat un numar minim GL trebuie sa anuleze posibilitatea de deplasare ca solid-rigid. GL blocate (cu valoare nula) Procedeul este echivalent cu eliminarea (stergerea) din sistemul global de ecuatii a ecuatiilor (liniilor si coloanelor) corespunzatoare nodului i.

32. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Deplasari impuse (GL atribuite cu valoare ne-nula) Sistemul de ecuatii global se partitioneaza: Indicii u and n au semnificatiile u = necunoscut ; n = cunoscut u – deplasari nodale ce trebuie calculate n – deplasari nodale impuse. Sistemul de ecuatii se rescrie sub forma Iar prima ecuatie devine:

33. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice • Artificiu practic: • coeficientul matriceal diagonal (din K) corespunzator GL in cauza se multiplica cu un numar foarte mare; • in acelasi timp, termenul liber al ecuatiei este inlocuit prin multiplicarea deplasarii cunoscute cu acelasi numar. Efectul este de inlocuire a ecuatiei i cu ceea ce indica faptul ca deplasarea pe directia GL respectiv este (aproape) egala cu cea impusa. * Echivalent cu conectarea unui resort foarte rigid in nodul i pe directia GL, simultan cu aplicarea unei forte concentrate foarte mari pe directia GL.

34. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice H2 D2 C H1 7 8 6 D1 3 5 4 2 1 D2 C 6 D1 5 2 1 INFILTRATII IN REGIM PERMANENT • Problema consta in determinarea: • distributiei potentialului hidraulic; • gradientilor hidraulici; • debitului infiltrat.

35. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice - vx, vyvz componentele vitezei de infiltratie; - kipermeabilitate. Prin inlocuirea in ecuatia de continuitate, expresiile fenomenului de infiltratie conduc la forma generala:

36. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice • Conditii de margine: • potential hidraulic impus pe limita H ; • debit specific (flux) impus pe q In abordarea variationala, functionala asociata este (primul termen reprezinta energia hidraulica disipata in fenomenul de infiltratie, iar al doilea energia asociata conditiilor de margine). Potentialul hidraulic H(x, y, z) este exprimat pe baza functiilor de aproximare, pe baza valorilor nodale Hi

37. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Gradientul hidraulic asociat elementului finit: Din legea Darcy, debitul specific in functie Functionala la nivelul elementului finit Prima integrala reprezinta matricea de infiltratie a elementului, in timp ce a doua repezinta vectorul conditiilor de margine:

38. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Pentru intregul domeniu de infiltratie: Conditia de minim (stationar) conduce la sistemul de ecuatii algebrice Conditiile de margine (valori impuse ale potentialului hidraulic), se adauga ecuatiei j .

39. METODA ELEMENTELOR FINITE – L3Catedra de Constructii Hidrotehnice Gradientii hidraulici si debitul (necunoscutele secundare) sunt evaluate prin revenire la nivelul elementului Debitul infiltrat prin fata (latura) unui element este Debitul total infiltrat printr-o sectiune transversala sau suprafata laterala rezulta prin adunarea contributiilor elementale care formeaza acea sectiune (sau suprafata laterala)