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LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES

LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES. Si c es un punto de extremo local de f, entonces. f ’(c) = 0. TEOREMA. PUNTOS CRITICOS. Definición:. Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.

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LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES

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Presentation Transcript

  1. LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES

  2. Si c es un punto de extremo local de f, entonces f ’(c) = 0 TEOREMA

  3. PUNTOS CRITICOS Definición: Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0. Ejemplo: Determinar el punto crítico de:

  4. 4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto. Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b] 1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c 3. Calcular f(a) y f(b) Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:

  5. Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces: > Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a, b] TEOREMA

  6. Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces:  Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces f es estrictamente DECRECIENTE en [a, b] TEOREMA

  7. Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

  8. Criterio de la primera derivada • Si c es un punto crítico de f y f es • derivable alrededor de c, entonces: • Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c, • entonces c es un punto de MÁXIMO local de f • ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c, • entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

  9. Ejemplo: Determinar los valores extremos locales de:

  10. Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es > cóncava hacia + en x = c arriba TEOREMA

  11. Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: < Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia - en x = c abajo TEOREMA

  12. La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si: 1 f es continua en c 2 La gráfica tiene tangente en el punto 3 La concavidad cambia de sentido en c Punto de inflexión

  13. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXION i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es: • Si f es continua • Si f ’’ cambia de signo

  14. Ejemplo: Determinar: a) Intervalos de concavidad. b) Puntos de inflexión c) Trazar la gráfica de f Para:

  15. Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local Criterio de la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en el cual: f ’(c) = 0, entonces,

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