CATEDRATICO: M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES TEMA:

1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA CATEDRATICO: M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES TEMA: LINEAS DE ESPERA ALUMNO: CARLOS ENRIQUE JIMENEZ GOMEZ FECHA: 21/SEP/2011

2. ¡¡¡LINEAS DE ESPERA!!! • 2.1 DEFINICIONES, CARACTERISTICAS Y SUPOSICIONES. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

3. TEORIA DE COLAS • Una cola es una línea de espera • La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares • El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada • Existen muchos sistemas de colas distintos • Algunos modelos son muy especiales • Otros se ajustan a modelos más generales • Otros se pueden tratar a través de la simulación

4. 2.2 TERMINOLOGIA Y NOTACION Estos son algunos conceptos que se utilizan en los modelos de líneas de espera: • DISCIPLINA DE SERVICIO: La disciplina de servicio se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes de la cola para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: • PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir, también conocida como FIFO: first in firstout) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que haya llegado de primero.   • UEPS (Ultimo en Entrar Primero en Salir, también conocida como LIFO: last in firstout) también se conoce como pila, consiste en atender primero al cliente que ha llegado de último. • SOA (Servicio en Orden Aleatorio, también se conoce como SIRO o RSS: randomselection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.  • PRIORIDAD en el servicio: Los clientes se atienden de primero de acuerdo a alguna prioridad especificada. Si se forma alguna cola con prioridad, seguirá alguna disciplina de servicio. • Procesamiento equilibrado o igualitario, también llamado ProcessorSharing: Sirve a todos los clientes por igual. La capacidad del sistema se comparte entre los clientes y todos experimentan el mismo retraso.

5. TERMINOLOGIA Y NOTACION No se permite el faltante. Suposiciones: • 1. La demanda tiene que ser constante. • 2. Los costos son constantes (no se permite descuento en adquisiciones voluminosas). • 3. Los proveedores entregaran con puntualidad los pedidos en el periodo comprendido. • 4. El lote mínimo es igual al inventario máximo.

6. 2.3 PROCESO DE NACIMIENTO O MUERTE • La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema.

7. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: • SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….). • SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….). • SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

8. 2.4 MODELOS DE POISSON • Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas • Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas.

9. Su forma algebraica es: • Donde: • P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo •  : tasa media de llegadas • e = 2,7182818…

10. GRAFICA: DISTRIBUCION DE POISSON P 0 Llegadas por unidad de tiempo

11. 2.4.1 UN SERVIDOR Ejemplo : (Un supermercado ) Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora y considerando M/M/1, evalúe el sistema. 

12. Solución:  Interpretación de resultados: El cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola). Sistema de colas Cola Servidor Llegadas Salidas

13. 2.4.2 MULTIPLES SERVIDORES Ejemplo: Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras o fotocopiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántas copiadoras se deben instalar?.

14. Solución:  ¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para pagar, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto. Sistema de colas Salidas Servidor Cola Llegadas Salidas Servidor Salidas Servidor

15. 2.5 ANALISIS DE COSTOS • El análisis de costo es simplemente, el proceso de identificación de los recursos necesarios para llevar a cabo la labor o proyecto del voluntario. El análisis de costo determina la calidad y cantidad de recursos necesarios. Entre otros factores, analiza el costo del proyecto en términos de dinero. Con frecuencia, los voluntarios suponen que cuentan con los recursos necesarios y que el costo es tan bajo que no es necesario realizar el análisis. Sin embargo puede ocurrir que, una vez que el proyecto esté marchando los voluntarios se den cuenta de que los utensilios, el equipo, los materiales y la mano de obra especializada que se requiere para completarlo no están disponibles. • El análisis de costo no sólo ayuda a determinar el costo del proyecto y su mantenimiento sino que también sirve para determinar si vale o no la pena llevarlo a cabo.

16. COSTOS DE UN SISTEMAS DE COLAS • Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar • Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido • Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad • Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado • Es más fácil de estimar • El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo