L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA NELL’ERA DELLA GLOBALIZZAZIONE:

1. L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA NELL’ERA DELLA GLOBALIZZAZIONE: IL CURRICOLO VERTICALE DI MATEMATICA Anna Maria Benini Perugia 25 maggio 2011

2. Nodi da approfondire per l’attivazione di proposte didattiche Contemperare • matematica come oggetto di conoscenza e matematica come atteggiamento e strumento per la conoscenza • Matematica come oggetto di studio, come linguaggio per descrivere, definire, spiegare, argomentare, dimostrare, come strumento di lettura e interpretazione del reale

3. Mediare un rapporto equilibrato fra i vari aspetti dell’apprendimento della matematica: algoritmico, concettuale, di strategie, di comunicazione e di gestione delle rappresentazioni • Creazione di ambienti funzionali all’apprendimento, attività di tipo laboratoriale

4. Uso degli strumenti matematici La capacità d’uso degli strumenti matematici è potenziata da diversi punti di vista: • Saper usare in modo appropriato il linguaggio matematico • Saper eseguire semplici calcoli, riconoscere operazioni e procedimenti • Saper formalizzare mediante simboli opportuni, saper interpretare un formalismo in un contesto • Fare ed esprimere deduzioni riconoscendo i collegamenti logici • Saper rappresentare matematicamente diverse situazioni problematiche, saper “leggere” diverse forme di rappresentazione

5. Ruolo degli strumenti di calcolo Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e manipolare oggetti matematici. L'insegnamento della matematica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali strumenti e per comprenderne il valore metodologico. Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno, favorirà l’uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre discipline

6. Raggruppamenti di processi cognitivi (Spunti da OCSE-PISA) • Riproduzione: esecuzione di calcoli, procedure di routine, applicazione di algoritmi standard, abilità tecniche,.. • Connessione: interpretazione, collegamenti, mobilitazione di competenze della riproduzione per la risoluzione di problemi familiari ma non di routine,… • Riflessione: pianificazione di strategie, giustificazione di scelte, argomentazioni

7. Idee e piste di lavoro • Operare per gruppi disciplinari (orizzontali o, ove possibile, verticali) • Analizzare quesiti proposti (prove di classe o prove standardizzate) per comprendere bene i processi sottesi • Riproporre alla classe i quesiti ( INVALSI, PISA e/o elaborate dal docente) con lo scopo di discutere con gli alunni e farsi spiegare il motivo delle varie scelte (attivazione di processi metacognitivi, fondamentali per il miglioramento degli apprendimenti).

8. individuare gli ambiti tematici in cui gli studenti hanno conseguito i risultati migliori • individuare gli ambiti tematici in cui si rileva il numero più elevato di risposte errate e/o omesse • definire proprietà e obiettivi valutativi degli ambiti individuati • formulare ipotesi sulle possibili cause

9. EsempiRisultati di una verifica (A. Orlandoni) Analisi prova nel quadro di riferimentoOCSE-PISA • Tipo di quesito: risposta aperta articolata • Competenza: connessioni • Area di contenuto: incertezza • Contesto: scolastico • Livello di difficoltà: 5

10. STIMOLO

11. Domanda 1: RISULTATI DI UNA VERIFICA In base a questo grafico, l’insegnante sostiene che, nella verifica, il Gruppo B è andato meglio del Gruppo A. Gli studenti del Gruppo A non sono d’accordo con l’insegnante. Essi cercano di convincere l’insegnante che il Gruppo B non è necessariamente andato meglio. Con l’aiuto del grafico, suggerisci agli studenti del Gruppo A una spiegazione matematica che potrebbero usare. .

12. Indicazioni per la correzione Punteggio pieno (codice 1)LTATI DI UNA VERIFICA: INDICAZIONI PER LA CORREZIONE D1 Suggerisce una spiegazione valida. Spiegazioni valide potrebbero riguardare il numero di studenti che hanno superato la verifica, l’influenza negativa sulla media dell’unico studente che va molto male, oppure il numero di studenti con punteggi molto alti. : • Più studenti del Gruppo A hanno superato la verifica rispetto a quelli del Gruppo B. • Se si ignorano gli studenti meno bravi del Gruppo A, gli studenti del Gruppo A vanno meglio di quelli del Gruppo B. • Più studenti del Gruppo A rispetto agli studenti del Gruppo B hanno ottenuto un punteggio di 80 o superiore.

13. RISULTATI DI UNA VERIFICA: INDICAZIONI PER LA CORREZIONE D1 Nessun punteggio Altre risposte (Codice 0) Non risponde (Codice 9) Risposte prive di spiegazione matematica o con spiegazioni matematiche errate, oppure risposte che descrivono semplicemente alcune differenze ma non sono argomenti validi da giustificare che il Gruppo B potrebbe non essere andato meglio. Ad esempio: • Normalmente gli studenti del gruppo A vanno meglio degli studenti del Gruppo B in scienze. I risultati di questa verifica sono solo una coincidenza. • Perché la differenza tra i punteggi più alti e quelli più bassi è minore per il gruppo B rispetto al Gruppo A. • Il Gruppo A ha migliori risultati nell’intervallo di punteggio 80-89 e in quello 50-59. • Il Gruppo A ha un maggiore intervallo interquartile rispetto al Gruppo B.

14. Analisi prova rispetto ai risultati % Risposte corrette: PISA 2003 Italia 15,3% OCSE 31,3% Omissioni Italia 54,7% Omissioni OCSE 34%

15. Analisi della domanda • Si tratta di • Leggere e interpretare correttamente la consegna • Leggere correttamente un grafico • Utilizzare informazioni date in formato diverso (numerico e grafico) • Scrivere un’argomentazione valida e coerente

16. Analisi risposte errate (da Stefania Pozio) • Sbagliano a leggere il grafico • Danno riposte del tipo “Potrebbero dire che nel punteggio 50-59 e 80-89 loro hanno fato meglio” (errore più frequente: 26,7%); • Fanno calcoli complessi (medie,….) arrivando spesso a dimostrare il contrario o che i due gruppi sono alla pari (20%) • Il gruppo B è andato meglio: nonostante fosse chiesto loro di trovare motivazioni per il contrario cercano motivazioni a sostegno di questa ipotesi (19%) • Altro circa il 14%

17. Intervista da S. Pozio(Ististuti tecnici) Spesso gli studenti invece di capire bene lo scopo della domanda e di stabilire di conseguenza un piano di risoluzione, cominciano a fare calcoli utilizzando i numeri presenti nella prova in modo assolutamente casuale. Alessandro: Si potrebbero fare dei calcoli, secondo me, non so se sono giusti.. prendere tutti i massimi punteggi…cioè 69…79…no, no…mi sono un po’ confuso…no perché io prima ho pensato di fare tutti i massimi e vedere quanto viene…perché io ho visto che qui è l’unico che sta da questa parte… cioè 9, mentre gli altri sono 49, 59, 69, 79, 89 però se io vado a fare i calcoli massimi di questi qui viene che il gruppo B ha il punteggio massimo…. cioè se io faccio 49 + 59 + 69 + 79 + 89 e mi viene 345…mentre se io faccio il calcolo del gruppo A… 9 + 59 + 69 + 79 + 89 e mi viene 305…e quindi… secondo me questo è il calcolo matematico, secondo me…tutti i massimi valori che sono indicati nella tabella…e fare la somma di questi qui…quindi lo devo scrivere….(Scrive) “La spiegazione matematica che il gruppo A potrebbe prendere in considerazione è quella di sommare i massimi punteggi che sono riportati nella tabella”

18. Riconsideriamo la situazione problematica come occasione didattica per approfondimenti a livelli diversi • A partire dal grafico si possono porre molte domande: • E’ possibile ricavare le tabelle di partenza? Come? • Qual è la probabilità che uno studente si trovi nel gruppo A? e nel gruppo B? • Qual è il gruppo più omogeneo? Qual è il gruppo migliore? Perché? • Quanti alunni per gruppo hanno meritato la sufficienza? • …. • ….

19. EsempiCaramelle colorate (A. Orlandoni) Analisi prova nel quadro di riferimento OCSE-PISA • Tipo di quesito: a scelta multipla • Competenza: riproduzione • Area di contenuto: incertezza • Contesto: personale • Livello di difficoltà: 4 Perché livello 4 e riproduzione?

20. STIMOLO

21. Domanda 1: CARAMELLE COLORATE Qual è la probabilità che Roberto prenda una caramella di colore rosso? A 10% B 20% C 25% D 50%

22. INDICAZIONI PER LA CORREZIONE Punteggio pieno Codice 1: B - 20% Nessun punteggio Codice 0: Altre risposte Codice 9: Non risponde

23. Analisi prova rispetto ai risultati % Risposte corrette: PISA 2003 Italia 33,7% OCSE 49,7% Omissioni Italia 3,1% Omissioni OCSE 1,8%

24. Analisi della domanda Si tratta di passare dalle frequenze alla probabilità quindi di conoscere (inconsciamente o consciamente) la definizione frequentista ma praticamente mai a scuola si parte dalla statistica per introdurre la probabilità (solo definizione classica) Il numero di risposte corrette deve fare riflettere sul fatto che “l’intuizione” ha senz’altro aiutato

25. Analisi risposte errate (da Stefania Pozio) • Argomento che non rientra nelle prassi didattiche • Molti studenti si sono concentrati sull’altezza relativa delle colonne e in questo modo hanno dato le risposte più disparate .

26. Interviste da S. Pozio(Ististuti tecnici) Antonio: … Secondo me il 50 per cento perché sono maggiori… ha più probabilità di prendere quelle rosse… Intervistatore: E quindi secondo te è 50% perché la colonna è più alta? Antonio: Sì, ha più probabilità di prendere queste. Francesco: Eh sì non mi ricordo il calcolo …. . Quella che mi sembra più ovvia diciamo io direi il 25... Beh il 10 mi sembra un po’ troppo poco visto che... Sì…ci stanno certi ancora più bassi….20... Sono indeciso tra il 20 e il 25. Intervistatore: E il 50 perché lo escludi? Francesco: Beh mi sembra troppo grande... Ci sta pure il marrone e gli arancioni che sono sempre 5….. Quindi... Diciamo... 25%.... Eh, non mi ricordo il calcolo (ride). Carolina: i rossi sono maggiori.. e poi ci sono altri…(conta le altre colonnine del grafico) uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette diversi tipi di caramelle.. ed essendo in maggioranza…. ma, diciamo, non assoluta perché ci sono altre buona parte di caramelle.. Intervistatore: ..ma perché dici 20 e non 25 o non 50 o 10…come hai escluso le altre tre risposte….in base a quale ragionamento Carolina: sinceramente non lo so, credo soltanto che sia la più logica.

27. LIVELLO 4 Gli studenti di 4° livello sono in grado di servirsi in modo efficace di modelli dati applicandoli a situazioni concrete complesse anche tenendo conto di vincoli che richiedano di formulare assunzioni. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e di integrare fra loro rappresentazioni differenti, anche di tipo simbolico, e di metterle in relazione diretta con aspetti di vita reale. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di utilizzare abilità ben sviluppate e di ragionare in maniera flessibile, con una certa capacità di scoperta, limitatamente ai contesti considerati. Essi riescono a formulare e comunicare spiegazioni e argomentazioni basandosi sulle proprie interpretazioni, argomentazioni e azioni.

28. 15,8% 69,9% 5,2% 8,5% NON risp. 0,6% Capacità di leggere e interpretare un grafico, derivandone la probabilità di un evento Prova nazionale - I Grado17 giugno 2008

29. La prova nazionale di III media È analogo al quesito PISA anche se qui entrano in gioco le frazioni anziché le percentuali Spesso nella prova d'esame il quesito di statistica è da un lato separato da quello di probabilità (in genere si fa o statistica o probabilità, lamentava un insegnante) e, raramente, si richiede ai ragazzi di assegnare un valore di probabilità a partire da una valutazione statistica, privilegiando l'approccio classico alla probabilità.

30. Riconsideriamo la situazione problematica come occasione didattica

31. indici centrali: media, moda mediana: che significato hanno? Quando ha senso utilizzarli? • dalla statistica alla probabilità: come e perche’ e sotto che condizioni si può passare? • ….

32. Tratto daProva Ocse 2000 - Matematica (Prof. G. Grassi) Idea chiave:Spazio e forma

33. Risposta: DPercentuale risposte esatte: Italia 54,8%Ocse: 55,3%

34. Le risposte • Un ragazzo non ha trovato alcuna figura corrispondente alla descrizione • Alcuni non hanno scelto D perchè non hanno riconosciuto l’angolo retto poichè i cateti non erano nella classica posizione orizzontale e verticale • Pochi ragazzi hanno segnato la risposta E (il triangolo era evidentemente non rettangolo) • Tra le risposte errate quella scelta dal maggior numero di ragazzi è stata la A ____________________________________________ • COSA E’ LECITO LEGGERE IN UN DISEGNO? • COME VIENE GESTITA LA CONVERSIONE TRA REGISTRO VERBALE E REGISTRO GRAFICO? • ASPETTI PERCETTIVI E OGGETTI MATEMATICI

35. Come è proseguito il lavoro ……(1) QUESITO Descrivi la figura disegnata qui di seguito:

36. Come è proseguito il lavoro ……(2) Si voleva indagare: • La capacità di argomentare le risposte, giustificando le proprie scelte, anche con il ricorso a strumenti di misura (riga graduata, squadra, goniometro) • La conoscenza di un lessico specifico (mediana, altezza …)

37. Docente: Soverini

39. Lo studente deve individuare la regola che genera la sequenza di figure • 2n + 2

40. Osservazioni di carattere generale - Pochissime le omissioni: gli alunni della primaria sono in controtendenza rispetto ad altre fasce di età? - I colleghi della primaria in generale ritengono i quesiti coerenti con il percorso didattico

41. .... torniamo al quesito D3 • Risposte errate tra il 20% e il 40% con una punta di 72% • La risposta errata più frequente è la A, che corrisponde alla figura 4 della sequenza

42. Suggerimenti: • Lavorare maggiormente con le sequenze numeriche • Favorire la generalizzazione richiedendo di esplicitare i processi cognitivi (spiega a parole il tuo ragionamento...) • Richiedere un “salto” (quanti quadrati avrà la figura 15? E la figura 50?)

44. Risposte errate tra il 40% e il 60% • Le risposta errata D, la più frequente, presuppone il calcolo 100 cm – 20 cm = 80 cm • Esempio di quesito non standard, legato ad aspetti concreti, non ancora sufficientemente integrato nella prassi didattica

45. Scarsa familiarità con questo genere di problemi Superficialità nella lettura del testo Applicazione acritica di algoritmi “Smontare” in classe quesiti analoghi, discutendone collettivamente Parafrasi del testo, schematizzazione, esplicitare per iscritto i propri ragionamenti … Attività pratiche, di manipolazione

47. RISOLVERE PROBLEMI CON L’USO DI STRUMENTI MATEMATICI DIFFICOLTA’ RISCONTRATE: • LETTURA FRETTOLOSA DEL TESTO E SCARSA • RIFLESSIONE SUL SIGNIFICATO DEI DATI • SCARSA DIMESTICHEZZA NEL FORMALIZZARE • DATI E SCHEMATIZZARE PROBLEMI • CALCOLO IN TEMPI BREVI ED ESECUZIONE DI • UNA STIMA APPROSSIMATA DEL RISULTATO • SCARSO SENSO PRATICO

48. Lettura frettolosa del testo • Scarso senso pratico • Errori di calcolo risposte corrette ITALIA E-R 39,7 % 43,8%

49. CHE COSA SI PUO’ FARE ? • LAVORARE SULLA COMPRENSIONE DEL TESTO ANCHE • ATTRAVERSO RAPPRESENTAZIONI DIVERSE DEL PROBLEMA IN • ESAME (GRAFICA, SCHEMATICA, SIMBOLICA, NUMERICA, ECC.) • MIGLIORARE IL CALCOLO ATTRAVERSO IL CONCETTO DI STIMA • E APPROSSIMAZIONE • AFFRONTARE PROBLEMI CALATI NELLA QUOTIDIANITA’ – • MIGLIORARE IL SENSO PRATICO ANCHE SENZA ESPLICITARE • TUTTO IL PROCEDIMENTO • INSISTERE SULLA SCELTA DELLE OPERAZIONI, SOLITAMENTE • CONSIDERATO UN PREREQUISITO

50. CONOSCERE E PADRONEGGIARE DIVERSE FORME DI RAPPRESENTAZIONE DIFFICOLTA’ RISCONTRATE: • PASSAGGIO DA UN CODICE LINGUISTICO AD UN ALTRO • INTERPRETAZIONE DEI DATI ATTRAVERSO UNO SCHEMA E LETTURA DI UNA TABELLA • MANCANZA DI VISIONE GEOMETRICA OVVERO DIFFICOLTA’ A RAGIONARE SU FIGURE GEOMETRICHE RAPPRESENTATE IN MODO NON CONVENZIONALE