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CIRCONFERENZA

CIRCONFERENZA. TEORIA PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI. CIRCONFERENZA .- E' L'INSIEME INFINITO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO DETTO CENTRO DELLA CIRCONFERENZA. Freccia o sagitta. N. Q. . Corda PQ. Retta secante. M. P. . Raggio. A. B. Arco BQ. Centro. Diametro.

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CIRCONFERENZA

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Presentation Transcript

  1. CIRCONFERENZA TEORIA PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI

  2. CIRCONFERENZA.- E' L'INSIEME INFINITO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO DETTO CENTRO DELLA CIRCONFERENZA

  3. Freccia o sagitta N Q  Corda PQ Retta secante M P  Raggio A B Arco BQ Centro Diametro ( ) AB T  Retta tangente Punto di tangenza ELEMENTI DI UNA CIRCONFERENZA 

  4. L R PROPRIETA' FONDAMENTALI 01.- Il raggio che ha un estremo sul punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente.

  5. P N M R Q 02.- Il raggio o il diametro perpendicolari a una corda la bisecano (la dividono in due segmenti congruenti).

  6. A B C D 03.-Corde parallele determinano archi congruenti compresi fra le parallele.

  7. A C Corde congruenti Archi congruenti B D Le corde sono equidistanti dal centro 04.- A corde congruenti in una stessa circonferenza corrispondono archi congruenti.

  8. R r POSIZIONI RELATIVE DI DUE CIRCONFERENZE 01.- CIRCONFERENZE CONCENTRICHE.- Hanno lo stesso centro. d = distanza fra i centri ; d : pari a zero

  9. R r R r Distanza fra i centri (d) 02.- CIRCONFERENZE ESTERNE.- Non hanno punti in comune. d > R + r

  10. Punto di tangenza R r R r Distancza fra i centri (d) 03.- CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza. d = R + r

  11. Punto di tangenza R r R d 04.- CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza. d = R - r d: Distanza fra i centri

  12. R r Distanza fra i centri (d) 05.- CIRCONFERENZE SECANTI.- Hanno due punti comuni che sono i punti d'intersezione. ( R – r ) < d < ( R + r )

  13. R r Distanza fra i centri(d) 06.- CIRCONFERENZE ORTOGONALI.- I raggi sono perpendicolari nel punto d'intersezione. d2 = R2 + r2

  14. R r d 06.- CIRCONFERENZE INTERNE.- Non hanno punti comuni. d < R - r d: Distanza fra i centri

  15. A R  P  R B PROPIETA' DELLE TANGENTI 1.- Da un punto esterno a una circonferenza si possono disegnare due rette tangenti che determinano due segmenti congruenti. Nel punto di tangenza, il raggio risulta perpendicolare alla tangente. AP = PB

  16. A B R r r R D C 2.- TANGENTI ESTERNE COMUNI.- segImenti AB e CD sono congruenti AB = CD

  17. A D R r r R B C 3.- TANGENTI INTERNE COMUNI.- I segmenti AB e CD sono congruenti. AB = CD

  18. Raggio inscritto b Raggio circoscritto a r R R c TEOREMA DI PONCELET.- In tutti i triangoli rettangoli, la somma dei cateti è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa più il doppio del raggio inscritto. Poichè l'ipotenusa è uguale al doppio del raggio della circonferenza circoscritta, allora la somma dei cateti è uguale al doppio della somma del raggio inscritto e di quello circoscritto. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

  19. b Quadrilatero circoscritto c a d TEOREMA DI PITOT.- In tutti i quadrilateri circoscritti a una circonferenza, accade che la somma delle lunghezze dei lati opposti è uguale. a + c = b + d

  20. ANGOLI NELLA CIRCONFERENZA

  21. A r  C r B  = AB 1.- MISURA DELL'ANGOLO AL CENTRO.- E' uguale alla misura dell'arco che gli si oppone.

  22. D A  C B 2.- MISURA DELL'ANGOLO INTERNO.- E' uguale alla semisomma delle misure degli archi opposti

  23. A B  C 3.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( INSCRITTO ).- E' la metà della misura dell'arco opposto.

  24. A C  B 4.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( SEMI-INSCRITTO ).- E' uguale alla metà dell'arco opposto.

  25. 1.- MISURA DELL'ANGOLO ESCRITTO.- E' uguale alla metà della misura dell'arco ABC. A  B C

  26. A C  O B  + AB = 180° 6.-ANGOLI ESTERNI.- Si distinguono tre casi : a.- Misura dell'angolo formato da due rette tangenti la circonferenza.- E' uguale alla semidifferenza delle misure degli archi opposti.

  27. B C  O D A b.-Angolo formato da due rette secanti.- E' uguale alla semidifferenza della misura degli archi opposti.

  28. B  O C A c.- Misura dell'angolo formato da una retta tangente e da una secante.- E' uguale alla semidifferenza della misura dei due archi opposti.

  29. PROBLEMI RISOLTI

  30. Dal punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano la tangente PQ e la secante PRS. Se RS misura 140º e l'angolo QPS misura 50º, calcola la misura dell'angolo PSQ. Si disegna la corda SQ Q P 50° 70º+x R X S Problema Nº 01 RISOLUZIONE Per l'angolo escritto PQS PSQ = x Sostituendo: 2X Nel triangololo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Risolvendo l'equazione: 140° X = 30°

  31. Da un punto “P” esterno a una circonferenza si hanno le due rette tangenti PQ y PR. Sull'arco maggiore QR si pone un punto “S”, si traccia la RH perpendicolare alla corda QS. Se l'angolo HRS=20º, quanto misura l'angolo QPR? Q H QR = 140° S 70° X P 20° R Problema Nº 02 RISOLUZIONE Nel triangolo rettangolo RHS PSQ = x L'angolo S = 70º Per l'angolo inscritto si ha Si tratta di proprietà che porta a: 140° 140° + X = 180° Risolvendo: X = 40°

  32. Da un punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano le secanti PBA e PCD tali che le corde AC e BD siano perpendicolari fra loro; calcola la misura dell'angolo APD quando l'arco AD misura 130º. Misura dell'angolo interno A BC = 50° B Misura dell'angolo esterno x P C D Problema Nº 03 RISOLUZIONE APD = x 130° 50° Risolvendo: X = 40°

  33. In una circunferenza, il cui diametro AB si prolunga fino al punto “P”, dal quale si disegna una retta secante PMN tale che la lunghezza di PM sia uguale al raggio. L'arco AN misura 54º. Qual è la misura dell'angoloAPN? N M x x A P o B Problema Nº 04 RISOLUZIONE Si disegna ioil raggio OM: APN = x Dati: OM(raggio) = PM Allora il triangolo PMO è isoscele 54° L'angolo al centro è uguale all'arco x Misura dell'angolo esterno Risolvendo: X = 18°

  34. In un triangolo ABC si inscrive una circonferenza. Essa è tangente i lati AB, BC e AC nei punti “P”, “Q” e “R”. Se l'angolo ABC è di 70º, quanto misura l'angoloPRQ? B 70° + PQ = 180° PQ = 110° 70° Q P x C A R Problema Nº 05 RISOLUZIONE Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: PRQ = x 110° Misura dell'angola inscritto: Risolvendo: X = 55°

  35. A 70° X P B Risoluzione Problema Nº 06 Calcola la misura dell'angolo “X”.

  36. A C 70° X P B AB=140º RISOLUZIONE 140º Misura dell'angolo inscritto: Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: X = 40º Risolvendo: 140º + x = 180º

  37. A P X 130º B Risoluzione Problema Nº 07 Calcolare la misura dell'angolo “x”

  38. A X P 130º C B AB = 260º ACB = 100º 260º + ACB = 360º ACB + x = 100º RISOLUZIONE 260º Misura dell'angolo inscritto: Nella circonferenza: Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: X = 80º

  39. B 2 A C 5 5 Risoluzione Problema Nº 08 Calcula il perímetro del triangolo ABC.

  40. B a b 2 A C 5 5 (1) (2) RISOLUZIONE Teorema di Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Allora il perimetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 (2p) = 14 + 10 Sostituendo la (1) nella (2)

  41. Dal punto “P” esterno alla circonferenza si disegna la tangente PQ e la secante PRS in modo che gli archi SQ e SR siano congruenti. Se l'arco QR misura 80º, qual è l'ampiezza dell'angolo QPR . Q a P X R S Risoluzione a Problema Nº 09 Disegno 80º

  42. Q a P X 80º R S a Risoluzione Nella circonferenza: 2a + 80º = 360º a = 140º Misura dell'angolo esterno: X = 30º

  43. In un quadrilatero ABCD con angoli Q = S = 90º si disegna la diagonale PR. I raggi inscritti dei triangoli PQR e PRS misurano 3cm e 2cm rispettivamente. Se il perimetro del quadrilatero PQRS è 22cm, qual è la lunghezza di PR Q 3 R P 2 Risoluzione S Problema Nº 10 Disegno

  44. Q a b 3 R P 2 c d S + 22 = 2PR + 10 Risoluzione Dato: a + b + c + d = 22cm Teorema di Poncelet: PQRa + b = PR+2(3) PSRc + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm

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