LA CIRCONFERENZA

1. LA CIRCONFERENZA

2. ARGOMENTI TRATTATI • Le equazioni della circonferenza • Questioni basilari • Questioni relative alle rette tangenti • Curve deducibili dalla circonferenza • Disposizione di due circonferenze nel piano • Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

3. LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano  aventi da C distanza uguale ad r.Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della circonferenza, o rappresentazione analitica.Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P dellaC , le coordinate P(x;y), si ha: •Moltiplicando i due membri dell’equazione normale per una costante arbitraria k  0 si ha: kx2 + ky2 + kax + kby + kc = 0 equazione generale .

4. • Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè  = 0 e  =0 , l’equazione normale diventa: • Osservazioni sulle equazioni normale e generale: • 1. manca in esse il termine rettangolare in xy; • 2.i coefficienti dei due quadrati x2 e y2sono uguali (uguali a 1 nella normale); • premesso che dall’equazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambii membri per k  0, se è nota l’equazione normale x2 + y2 + ax + by + c = 0 , allora, dal sistema (2), si determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:

5. 4. non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c,l’equazione normale rappresenti unacirconferenza. Dall’espressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi: l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario ); 2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere) di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C; l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale. 5. circonferenze particolari:

6. Considerazioni sul caso ‘c = 0’. Se c = 0 , il grafico della curva passa per l’origine perché l’equazione diventa x2 + y2 + ax + by = 0 , quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il punto O(0 ; 0) .

7. QUESTIONI BASILARI • Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane centro e raggio. • a. x2 + y2 = 4 ; a = 0; b = 0; c = - 4 ; a2/4 + b2/4 – c = 4  si, l’equazione data rappresenta una circonferenza reale di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0) e di raggio r = 2. b. x2 + y2 + 9 = 0 ; a = 0; b = 0; c = 9; a2/4 + b2/4 – c = - 9  no, l’equazione data non rappresenta una circonferenza reale, bensì immaginaria. • c. x2 + 2y2 + x + 3y - 5 = 0 ; non è l’equazione di una circonferenza perché i coefficienti dei termini di secondo grado, x2 e y2, sono diversi (si tratta di un’ellisse).

8. 2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione 3x2 + 3y2 – 6(k-1)x + 27 = 0 rappresenta una circonferenza.

9. 3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una circonferenza. Facendo riferimento all’equazione normale, determinare l’equaz. di una circ. significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti. 3.a Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1. 3.b Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).

10. 3.c Scrivi l’equazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5). 3.d Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0 .

11. 3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione x2 + y2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0

12. QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI • Analizziamo questi due problemi: • determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate; • determinare l’equazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione. • Rette tangenti ad una conica condotte da un punto PQuesti problemi si possono sempre trattare in generale con il metodo deldiscriminante nullo, ma esistono anche con altri accorgimenti che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i calcoli. • In particolare per la circonferenza conviene applicare • a) il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla circonferenza • b) il metodo della distanza retta-centro uguale al raggio, se il punto P non appartiene alla circonf.

13. Le formule di sdoppiamento Data l’equazione di una conica C , espressa in forma normale e un punto P(xP ; yP) appartenente alla C, sostituendo alle variabili x e y dell’equazione della C le seguenti espressioni, si ottiene l’equazione della retta tangente alla C nel punto P:

14. ESEMPI • Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0 ,condotte dal punto P(5 ; 5). Verifico se P appartiene alla circonf.: • 25 + 25 – 10 – 30 – 10 = 0  P appartiene alla circ. • Metodo del Discriminante nullo Metodo ‘a’

15. 2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x = 0 , condotte dal punto P(9/4 ; 0). Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2  0  P non appartiene alla circonf., quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza. Metodo del Discriminante nullo

16. Metodo ‘ b’ • Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;0) ; r = 1. • Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0. • Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

17. 2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione Esempi 1. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di equazione y = – x + 1 .

18. Traccio il grafico. Dall’equazione x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0 si ricavano le coordinate del centro C(3; 2).

19. 2. Determina l’equazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1 . Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:

20. CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA Esplicitando l’equazione di secondo grado x2 + y2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, che sono rappresentate graficamente da altrettante semicirconf.

21. Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

22. DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO Due circonferenze di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 possono presentare nel piano le seguenti disposizioni: Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T. Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue: Osserva che se a = a’ e b = b’ non si ottiene l’equazione della retta ‘ asse radicale ’; in questo caso le due circonferenze sono concentriche.

23. Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra l’equazione della retta ‘ asse radicale ‘ e l’equazione di una delle due circonferenze: • Tali sistemi ammettono • due soluzioni se le circonferenze sono secanti; • una soluzione se le circonferenze sono tangenti; • nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti. • Osservazioni: • se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel loro punto di tangenza T; • se si conosce l’equazione dell’asse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze. • l’asse radicale è perpendicolare alla retta passante per i centri delle due circonferenze.

24. Esempi 1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x2 + y2 + 2x - 16y + 13 = 0 . 2. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 3x + 2 = 0 .

25. 3. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 12 = 0 .

26. Esercizi Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze assegnate.

27. DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO CIRCONFERENZA – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le circonferenze nel caso (2). Esempi

28. Le limitazioni 0 < x  4 e y  0 individuano l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le rette tangenti e per le rette passanti per A(4;0) e per O(0;0). • Retta per O: è la retta generatrice y = x , alla quale non corrisponde alcun valore di k. • Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4 . • Rette tangenti:

30. La limitazione y  0 individua l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti per A(-2;0) e per B(2;0). • Retta per A: - 2 + k – 2 = 0 ; k = 4 . • Retta per B: 2 + k – 2 = 0 ; k = 0 . • Retta tangente in T: