Circonferenza e cerchio

1. Circonferenza e cerchio

2. Definizione di circonferenza • Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro della circonferenza

3. Definizione di cerchio • Si definisce cerchio la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

4. Raggio • Si definisce raggio di una circonferenza il segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza

5. Corda e diametro • Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza • Si definisce diametro una corda che passa per il centro della circonferenza • È facile vedere che : • d =2r

6. Arco di circonferenza • Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti • Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti • I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d

7. Settore circolare • Prendiamo un cerchio e un suo arco BC • Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dell’arco con il centro • Otteniamo cosi una porzione di cerchio • Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento a?

8. Segmento circolare • Consideriamo un cerchio ed una sua corda a • La corda divide il cerchio in due parti • Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti • Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

9. Corona circolare • Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 • fra le due circonferenze si trova una porzione di piano • Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze concentriche

10. POSIZIONE di una retta e una circonferenza (geogebra) • Posizione reciproca fra due circonferenze (geogebra)

11. Per 1 punto passano infinite circonferenze • Per 2 punti passano infinite circonferenze • Per 3 punti passa una sola circonferenza il centro è il circocentro del triangolo che ha per vertici i tre punti (geogebra)

12. Arco e angolo al centro • Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro a • Tale angolo prende il nome di angolo al centro • Si dice che l’arco AB sottende un angolo a e l’angolo a è sotteso da un arco AB • Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco? • Cosa succede all’angolo a? • Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

13. Angoli al centro e alla circonferenza • Proprietà degli angoli al centro e alla circonferenza

14. Rapporto fra circonferenza e diametro • Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica • Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali • Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2 • Nel nostro caso abbiamo che: C p p 3,14… d

15. Formule C = p x 2r C = p x d Ma d = 2 x r allora Formule inverse Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Circonferenza uguale a p greco per il diametro C C d p r 2 p

16. problemi • Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cm • c = p x d • c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm • Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio • r = c/2p • r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm • Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm • c = 2 x p x r • c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm • Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro • d = c/ p • d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm

17. Arco e angolo al centro • Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro a • Tale angolo prende il nome di angolo al centro • Si dice che l’arco AB sottende un angolo a e l’angolo a è sotteso da un arco AB • Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco? • Cosa succede all’angolo a? • Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

18. Calcolo della lunghezza dell’arco C l = 360° a • Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenza • Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro • Da cui ottengo il modo di calcolarmi l • Sapendo che c = p x 2r C a x = l 360° p x 2r x a = l 360°

19. Formule Inverse l x 360° l x 360° a c = = a c x l 360° x l 360° d = a = p x a d p x x x l 360° l 360° a r = = r 2 p x a 2 p x

20. Area del cerchio • Consideriamo i seguenti poligoni regolari • Un poligono a 6 lati • Un poligono a 10 lati • Un poligono a 24 lati • La formula per calcolare l’area di questi poligoni è sempre la stessa: • A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste) • 2P = n x l (n = numero dei lati l lato) • Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in rosso è mostrato il raggio • Asserviamo cosa succede al poligono all’aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscritta

21. Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nell’ultima essa diventa trascurabile

22. Conclusioni A = (2P x a) : 2 Nella formula diventa diventa r c = 2p r segue A = (2pr x r) : 2 Formula della lunghezza di una circonferenza infine L’area del cerchio è data dal prodotto di p greco per il raggio al quadrato A = p r2

23. Il raggio di un cerchio è uguale alla radice quadrata dell’area fratto p greco Formula inversa A r p

24. problemi c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm A = 3,14 x (10 cm )2= 314 cm2 • Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchio • c = 2 p r A = p r2 • Un cerchio ha l’area di 1256 cm2 trovare raggio, diametro e circonferenza del cerchio • r = √ (A/p) • r = √ (1256 cm2 /3,14) = √ 400 cm = 20 cm • d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm • c = p d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm • La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 p cm, una è i 7/5 dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi 60 p cm x 5 c1 c1 +c2 = 60 p cm c2 = 7/5 c1 c1 + 7/5 c1 = 60 cm 12 12 c1 60 p cm 5 c1 + 7 c1 c1 = 25p cm 5 = 60 p cm 5 C2 = 35 p cm d1 = 25p cm/p r1 = 12,5 cm A1 = (12,5 cm)2p = 152,5 p cm2

25. Settore circolare • Prendiamo un cerchio e un suo arco BC • Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dell’arco con il centro • Otteniamo cosi una porzione di cerchio • Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento a?

26. Calcolo dell’area settore circolare As Ac = a 360° • L’area del settore circolare è proporzionale al valore dell’angolo al centro • Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio • Questo rapporto e quello precedente saranno uguali • Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l’area de settore circolare • La cui soluzione mi darà l’area del settore circolare Ac x a As = 360° p r2x a As = 360°

27. Segmento circolare • Consideriamo un cerchio ed una sua corda a • La corda divide il cerchio in due parti • Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti • Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

28. Caso 1 il segmento non contiene il centro Asc = As - At • In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO • L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

29. Caso 2 il segmento contiene il centro Asc = As + At • In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO • L’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce all’angolo convesso

30. Formule Inverse As x 360° As x 360° Ac a = = a Ac As x 360° As x 360° r = a = p x a r2 p x

31. Area della corona circolare • L’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del cerchio minore Acc = pr22 – pr12 Acc = p(r22 – r12)