Nerovnice v podílovém tvaru

1. Název projektu: Moderní škola Nerovnice v podílovém tvaru Martin Krajíc 22.3.2013 matematika 1. ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání Nejprve si tuto metodu rozebereme pro číselné výrazy: • podíl dvou čísel (zapsaných ve tvaru zlomku) je větší než nula, jestliže jsou obě čísla kladná nebo obě záporná. • podíl dvou čísel je větší nebo roven nule, jestliže je čitatel nezáporný a jmenovatel kladný nebo čitatel nekladný a jmenovatel záporný (jmenovatel se nesmí rovnat nule) ˃ 0 ≥ 0 ≥ 0

3. Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání • podíl dvou čísel (zapsaných ve tvaru zlomku) je menší než nula, jestliže je čitatel kladný a jmenovatel záporný nebo naopak. • podíl dvou čísel je menší nebo roven nule, jestliže je čitatel nezáporný a jmenovatel záporný nebo čitatel nekladný a jmenovatel kladný (jmenovatel se nesmí rovnat nule) ˂ 0 ≤ 0 ≤ 0

4. Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání Stejně jako u čísel to platí i u proměnných. ˃ 0 jestliže a ˃ 0 a zároveň b ˃ 0 nebo a ˂ 0 a zároveň b ˂ 0 ≥ 0 jestliže a ≥ 0 a zároveň b ˃ 0 nebo a ≤ 0 a zároveň b ˂ 0 ˂ 0 jestliže a ˃ 0 a zároveň b ˂ 0 nebo a ˂ 0 a zároveň b ˃ 0 ≤ 0 jestliže a ≥ 0 a zároveň b ˂ 0 nebo a ≤ 0 a zároveň b ˃ 0 Poznámka: místo nebo budeme používat „v“, místo a zároveň použijeme „˄“

5. Nerovnice v podílovém tvaru – řešení metodou rozepsání Podíl dvou výrazů je menší nebo roven nule, jestliže je čitatel nezáporný a jmenovatel záporný nebo čitatel nekladný a jmenovatel kladný. Př: Řešte nerovnici v R: ≤ 0 x – 5 ≥ 0 ˄ 2x + 6 ˂ 0 v x – 5 ≤ 0 ˄ 2x + 6 ˃ 0 x ≥ 5 ˄ x ˂ -3 x ≤ 5 ˄ x ˃ -3 x ɛ Ø x ɛ (-3, 5˃ x ɛ (-3, 5˃ Rozdělíme na dvě soustavy dvou nerovnic. Každou soustavu řešíme zvlášť. Výsledek je sjednocením dílčích výsledků.

6. Nerovnice v podílovém tvaru – řešení pomocí tabulky Tato metoda se využívá většinou v případech, kdy máme součin a podíl více výrazů. • Určíme podmínky: jmenovatel se nesmí rovnat nule. • Nalezneme nulové body: jednotlivé výrazy položíme rovny nule. • Vyznačíme nulové body na číselnou osu a rozdělíme si ji na dílčí intervaly. • Vytvoříme tabulku, ve které v prvním řádku jsou intervaly a čísla na rozhraní intervalů a v prvním sloupci jednotlivé výrazy. • Doplníme tabulku: vezmeme libovolné číslo z prvního intervalu a dosadíme ho za x do jednotlivých výrazů. Do tabulky píšeme, zda nám vyšlo kladné nebo záporné číslo. Takto postupujeme u všech intervalů. Na závěr provedeme součin a podíl jednotlivých sloupců. • Podle zadání zapíšeme výsledné intervaly. Pokud je v zadání, že má být součin výrazů kladný, bereme kladné výsledky a naopak.

7. Nerovnice v podílovém tvaru – řešení pomocí tabulky Př: Řešte nerovnici v R: ≤ 0 nulové body: x – 2 = 0 3x + 9 = 0 x – 8 = 0 x = 2 x = -3 x = 8 číselná osa: (-∞, -3) (-3, 2) (2, 8) (8, ∞) -3 2 8

8. Nerovnice v podílovém tvaru – řešení pomocí tabulky tabulka: výsledek: v zadání máme dáno, že součin a podíl má být menší nebo roven nule. Proto výsledkem je sjednocení intervalů, které jsou záporné nebo rovny nule. x ɛ (-∞, -3˃ U ˂2, 8) jmenovatel nesmí být nula, proto to v tomto sloupci nemá řešení

9. Nerovnice v součinovém tvaru – příklady Př: Řešte nerovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): 1) ≤ 0 a) Z = (-∞, -5) U (6, ∞) b) N = ˂-9, 2) 2) ˃ 0 a) U = (-11, -3) U (7, ∞) b) A = (-3, 7) 3) ≤ 0 a) L = (-5, -1˃ U ˂0, 10) b) S = (-1, 0) Lech Przeczek: „Údělem …. je tiše závidět vyšším číslům.“

10. Nerovnice v součinovém tvaru – správné řešení NUL Lech Przeczek: „Údělem ………. je tiše závidět vyšším číslům.“

11. Nerovnice v součinovém tvaru – použité zdroje Použité zdroje: OZOGÁN, Michal. Citáty slavných. [online]. [cit. 2013-03-22]. Dostupné z: http://citaty.fabulator.cz/autor/lech-przeczek