TEOREMA LUI PITAGORA

1. TEOREMA LUI PITAGORA Prof. Dumitrescu Luminita MANGEMENT EDUCATIV PREUNIVERSITAR PERFORMANT SERIA 2009-2010 UNIVERSITATEA PITESTI

2. ARIA CURRICULARĂ:MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE DISCIPLINA: MATEMATICĂ CLASA : A VII - A TIMPUL NECESAR: 3 ORE ACTIVITĂŢILE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE: 1.Se vor completa si consolida cunoştinţele referitoare la teoremele care se aplica in rezolvarea triunghiului dreptunghic; 2. Se vor rezolva probleme utilizând teorema lui Pitagora si reciproca ei; 3. Rezolvarea de aplicaţii individuale si de grup; 4. Identificarea de probleme care se pot rezolva cu ajutorul teoremei lui Pitagora; 5.Găsirea de probleme din viata reala rezolvabile cu ajutorul teoremelor învăţate; 6.Utilizarea facilitaţilor TIC pentru aprofundarea cunoştinţelor .

3. TEOREMA LUI PITAGORA ESTE PARTE COMPONENTĂ A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHIC. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESAREPENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ TEOREMA CATETEIŞI TEOREMA ÎNĂLŢIMII ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE.ACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GREC PITAGORA. Pitagora(c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a fost originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului,care punea la baza întregii realităţi obiective şi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi atribuie descoperirea teoremei geometrice şi a tablei de înmulţire, care îi poartă numele.Din studiul numerelor, pitagorienii au conceput numerele figurative, numereleperfecte, numerele amiabile, au definit numere pare şi impare, au studiat media aritmetică, geometrică şi armonică, au descoperit iraţionalitatea – utilizând teorema ce-i poartă numele, cunoşteaucele cinci poliedre regulate, tabla înmulţirii, sistemul zecimal. Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora. Teorema fac parte din categoria teoremelor la care s-au înregistrat în decursul timpului recordul demonstraţiilor (se presupune peste 400). Pentru mai multe detalii despre Pitagora: http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora

4. COMPETENŢE SPECIFICE • să utilizeze proprietăţi calitative si metrice ale figurilor geometrice in rezolvarea unor probleme ; • să utilizeze elemente de organizare a datelor in rezolvarea unor probleme date ; • să investigheze valoarea de adevăr a unor enunţuri; • să selecteze informaţii relevante, in mulţimea datelor de care dispune; • să determine, folosind metode adecvate, lungimi de segmente ; • să identifice si sa restructureze etapele unui rationament matematic ; • să prezinte in mod coerent soluţia unei probleme; • sa argumenteze logic in cadrul unui grup sau individual idei si metode matematice; • să manifeste interes pentru folosirea tehnologiei informaţiei in studiul matematicii .

5. OBIECTIVE OPERAŢIONALE • să ştie ce este triunghiul dreptunghic ; • să identifice catetele si ipotenuza unui triunghi dreptunghic; • să identifice triunghiuri dreptunghice pe figurile geometrice învăţate şi să scrie relaţiile corespunzătoare între elementele lor ; • să cunoască şi să utilizeze corect teorema lui Pitagora şi reciproca în rezolvarea problemelor; • să identifice situaţii practice care pot fi rezolvate cu ajutorul acestei teoreme .

6. REACTUALIZAREA CUNOŞTINŢELOR ANTERIOARE TEOREMA ÎNĂLŢIMII Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii dusă din vârful unghiului drept este media geometrica a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuza. C TEOREMA CATETEI Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrica a lungimii ipotenuzei si a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuza. D A B

7. TEOREMA LUI PITAGORA Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei. C Demonstraţie:Fie triunghiul dreptunghic ABC (m(A)=90°). Construim perpendiculara din A pe latura opusă BC şi fie D piciorul acestei perpendiculare. D Aplicăm teorema catetei, de două ori, pentru fiecare din catetele sale şi obţinem: AC2=CD·CB (1) AB2=DB·BC (2) A B Adunăm relaţiile (1) şi (2). Vom obţine: AC2+AB2=CD·CB+DB·BC AC2+AB2=BC·(CD+DB) AC2+AB2=BC2 PENTRU ALTE DEMONSTRAŢII:http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html

8. NUMERE PITAGORICE

9. RECIPROCA TEOREMEI LUI PITAGORA Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia ,atunci triunghiul este dreptunghic. C EXEMPLU: În triunghiul ABC avem : 26 24 este dreptunghic . B A 10

10. DESFĂŞURAREA ACTIVITĂŢILOR Elevii împărţiţi în patru grupe, vor completa fişele de lucru şi primi ca sarcina realizarea unei prezentări îi PowerPoint despre: viaţa şi activitatea lui Pitagora,aplicaţii ale teoremei lui Pitagora, demonstraţii ale teoremei şi aplicaţii ale teoremei reciproce. În prima oră: • Se vor reactualiza cunoştinţele • Se rezolvă rebusul tematic • Se prezintă unitatea de învăţare • Se completează diagrama KWL • Elevii vor primi ca sarcină realizarea unei prezentări în PowerPoint, pe care o vor prezenta în ultima oră a unităţii de învăţare. • Elevii se vor documenta de pe internet pentru realizarea prezentărilor • Elevii primesc fişe de lucru cu probleme în care trebuie să recunoască triunghiul dreptunghic şi să folosească teorema lui Pitagora. • Tema pentru acasă: probleme din manual şi documentare pe internet În a doua oră: • Verificare temă şi cunoştinţe teoretice • Testare online folosind: http://www.calificativ.ro/trivia-quizzes/quiz-Teorema_lui_Pitagora-qid899-cid33.html • Se intră pe : www.cs.utt.ro/~edoandes/TESTE/TPitagora/quizmaker.htmlşi se rezolvă pe grupe aplicaţii ale teoremei lui Pitagora. Se discută apoi rezolvările. • Tema pentru acasă: probleme din culegere şi documentate prezentare În a treia oră: • Test evaluare sumativă – http://www.psihoteste.ro/wp/?page_id=1612 • Prezentare de fiecare grupa a realizărilor în PowerPoint.

11. EVALUARE • DIAGRAMA KWL – pentru verificarea noţiunilor asimilate de elev • REBUS TEMATIC – pentru verificarea cunoştinţelor elevului referitoare la triunghi dreptunghic • TESTE – pentru oferirea de feed-back către profesor • TEMA PENTRU ACASĂ – pentru consolidarea cunoştinţelor • FIŞE DE OBSERVAŢII – pentru cunoaşterea modului de implicare,abilităţile şi comunicare • VERIFICAREA APLICAŢIEI ELVULUI – pentru autoevaluarea formativă a elevului • TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ – confirmă dobândirea de către elev a cunoştinţelor predate, pune în evidenţă lipsurile elevului. • APLICAŢIA ELEVULUI – pentru utilizarea abilităţilor TIC dobândite

12. PROBLEME PROPUSE 1. Fie ΔDEF dreptunghic, m(<D)=90°, DG înălţime în triunghi. Dacă DG=4 cm, GE=2 cm, aflaţi: FG, FE,FD,DE. 2. Fie ΔMNP dreptunghic, m(<M)=90°, MR înălţime în triunghi. Dacă MN=6 cm , MP= 8 cm, aflaţi: NP, MR, RN, PR. 3.Fie triunghi ABC dreptunghic în A: a) Dacă lungimile catetelor AB şi ACsunt 12 cm, respectiv 5 cm, determinaţilungimea ipotenuzei BC. b) Dacă cateta AC=15 cm, iar ipotenuzaBC= 25 cm, determinaţi lungimeacatetei AB.

13. REBUS 1) Poligonul cu trei laturi se numeşte…. 2) Unghiul cu măsura egală cu 90 grade se mai numeşte şi… 3) Suma lor formează perimetrul:…. 4) Laturile din triunghiul dreptunghic ce formează unghiul drept sunt se numesc…. 5) Triunghiul în care se poate aplica Teorema lui Pitagora….. 6) Cea mai lungă dintre laturile triunghiului dreptunghic….. 7) Perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă… 8) Adevăr matematic care se demonstrează… 9) Porţiune dintr-o dreaptă mărginită de două puncte… 10) Egalitatea a două rapoarte… 11) Puterea a doua a unui număr… 12)Mărime sinonimă cu depărtarea, ce are ca unitate de măsură metrul… 13)Drepte care formează un unghi de 90 grade… 14) Transformă concluzia în ipoteză şi invers… Diagrama KWL : Se completează la sfârşitul fiecărei lecţii

14. FIŞĂ DE LUCRU 1. Într-un triunghi dreptunghic, lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză sunt de 9 cm şi 4 cm. Calculează lungimea înălţimii dusă din vârful unghiului drept şi lungimile catetelor. 2. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are lungimea de 30 cm şi proiecţia uneia din catete pe ipotenuză este de 6 cm. Determină lungimea înălţimii duse pe ipotenuză şi lungimile catetelor. 3. Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm şi respectiv 8 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului. 4. În triunghiul ABC, cu măsura unghiului A de 90 grade , AD perpendicular pe BC, notăm BD=x, CD=y,BC=a, AB=c, AC=b, AD=h. Cunoscând x / y = 9 / 16 şi a=25 cm, aflaţi x, y, b, c, h. 5. În triunghiul ABC dreptunghic în A, se duc înălţimea AD (Daparţine lui BC) şi mediana AM,(M aparţine lui BC). Ştiind că AM=20 cm şi m( <DAM)=30 grade , să se calculeze înălţimea AD şi laturile triunghiului ABC. 6. Un romb ABCD are AC=6 cm şi BD=8 cm. a. Calculaţi perimetrul rombului b. Determinaţi distanţa de la O la AB 7. În triunghiul MPQ , se ştie că MP=30 cm, MQ=40 cm, PQ=50 cm şi MN perpendicular pe PQ, Calculează NP, NQ şi MN. 8. În trapezul dreptunghic ABCD, AB paralelă cu CD, măsura unghiului A= 90 grade , AB=25 cm iar înălţimea AD=1cm. Să se calculeze latura BC ştiind că diagonala BD este bisectoarea unghiului ABC. 9. În triunghiul ABC , m( <A)=75 grade , m( <B)=60 grade , BC=36 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului, aria sa şi lungimile înălţimilor duse din punctele A şi B. Notă: Fiecare elev alege trei probleme şi le rezolvă, în funcţie de gradul de dificultate, ştiind că problemele 1, 2 şi 3 sunt pentru nota 6, problemele 4, 5, 6 şi 7 sunt pentru nota 8 iar problemele 8 şi 9 sunt pentru nota 10.

15. TEST EVALUARE 1.Se da triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A de 90 grade si AD perpendiculară pe BC. Sa se completeze tabelul: 2. Fie triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul M de 90 grade si MR înălţime. Sa se completeze tabelul: 3. Fie triunghiul dreptunghic DEF cu unghiul D de 90 grade si DG înălţime. Sa se completeze tabelul:

16. TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ C D Partea I (45 p) Completaţi : 1.Fie triunghiul dreptunghic din figura alăturată. a)Sinusul unghiului B este egal cu…………………….. b)Proiecţia catetei AB pe ipotenuză este ……………… c)Tangenta unghiului C este egala cu…………………… d)Proiecţia catetei AC pe ipotenuză este ……………… e)Înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este…............... 2. Fie ∆ABC triunghi dreptunghic cu m(<A)= 90 grade cu AB = 6 cm şi AC = 8 cm. a) Lungimea ipotenuzei este…….. cm b) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este ……… cm c) Proiecţia catetei AB pe ipotenuză este ………………. cm d) Perimetrul triunghiului ABC este ............................cm e) Aria triunghiului ABC este.................... A B Partea a II - a (45 p) Treceţi rezolvări complete! 3. Verificaţi dacă ∆MNP este dreptunghic şi în caz afirmativ precizaţi unghiul drept. a) Fie ∆MNP cu lungimile laturilor: MN = 5 cm, MP = 13 cm, NP = 12 cm. Aflaţi aria ∆MNP b) Fie ∆MNP cu lungimile laturilor: MN = 7 cm, MP = 21 cm, NP = 16cm. Aflaţi aria ∆MNP 4. Rezolvaţi triunghiul dreptunghic MNP în care m(<M)=90° , m(<N)=30° şi NP=8 cm. 5. Fie trapezul isoscel ABCD cu bazele AB= 6 cm şi CD= 14 cm iar m(<C)=45. a) Calculaţi lungimile înălţimii şi diagonalelor trapezului. b) Calculaţi aria şi perimetrul trapezului. Barem de notare: Notă: Timp efectiv de lucru 50 de minute; Se acordă 10 puncte din oficiu.