Il teorema di Pitagora nel suo sviluppo storico

1. Il teorema di Pitagoranel suo sviluppo storico Veronica Gavagna Università di Salerno

2. Posso affermare, senza tema di smentita, che la legge di Pitagora esprime una verità eterna. Ancor prima che il sole splendesse nel firmamento, ancor prima che ci fosse aria da respirare, il quadrato dell’ipotenusa era uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Malba Tahan, Una perla pericolosa, in L’uomo che sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani, 1996. In letteratura…

3. In letteratura… Esaminando i libri di geometria, si chiese se davvero valeva la pena saper leggere; di quei testi conservò una lunga frase che tirava fuori nei momenti di malumore: “In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è il lato opposto all’angolo retto”. Frase che in seguito avrebbe causato stupore tra gli abitanti di El Idilio, che la accoglievano come uno scioglilingua assurdo o un’abiura inoppugnabile. L.Sepulveda, Il vecchio che leggeva romanzi d’amore, Guanda 1993.

4. Se il mondo rinuncia all’arte di ricordare … Che cosa vale la pena di tenere a mente, di mettere nel proprio teatro della memoria? Quel che ci mettevamo fino a poco tempo fa? Per esempio le tabelline, il teorema di Pitagora, il Cinque Maggio, i Dieci Comandamenti, la data di Waterloo, le declinazioni latine, i numeri telefonici… Marino Niola (La Repubblica 7 marzo 2011)

5. Il caso Scafroglia… Lo sapevate?? Il quadrato costruito sull’ipotenusa è il doppio di quello sui cateti… ma la qualità è scadente e dopo un anno lo butti! È così! È capitato a mia sorella! Fidatevi! Corrado Guzzanti, Il caso Scafroglia 2002

6. Fra i matematici… http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ 92 dimostrazioni del Teorema di Pitagora Elisha Scott Loomis, The Pythagorean proposition (ristampa, 1968) 397 dimostrazioni

7. Molte etichette Ponte degli asini (in Francia) Dulcarnon (“proprietario di due corna”) Teorema del mulino a vento Teorema della giovane sposa Teorema della sedia della sposa Teorema dell’ipotenusa

8. Il teorema di Pitagoraè di Pitagora ? Pitagora (Samo 575 a.C.– Metaponto 495 a.C) Acusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti pratici della dottrina Matematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete

9. Il teorema di Pitagoraè di Pitagora ? • Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I sec. a.C. di un’attività scientifica (e matematica in particolare) di Pitagora • Unica eccezione parrebbe il distico di Apollodoro Come quando Pitagora scoprì la famosa figura Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi

10. Come quando Pitagora scoprì la famosa figuraPer la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi Plutarco (I-II sec.) Diogene Laerzio (II-III sec.) identificano Apollodoro con Apollodoro il Calcolatore (IV sec. a.C.) ma è arbitrario Vitruvio (I sec. a.C.) cita il sacrificio a proposito della terna 3,4,5

11. Proclo Diadoco (V sec.)In primum Euclidis Elementorum libri commentarii Se si crede a coloro che vogliono indagare gli avvenimenti antichi, si potrà anche trovare qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e che assicura che egli abbia sacrificato un bue dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia meravigliato di coloro che per primi hanno riconosciuto la verità del teorema, ammiro ancora di più l’autore degli Elementi non solamente per la dimostrazione che ha provato definitivamente il teorema, ma anche per la generalizzazione che ne ha dato nel libro VI…

12. Il teorema di Pitagoraè di Pitagora ? • Proclo è scettico sull’attribuzione a Pitagora del teorema • Attribuisce esplicitamente la dimostrazione a Euclide Le fonti sembrano attestare a Pitagora o ai pitagorici una qualche scoperta matematica, ma non sono concordi su quale potesse essere.

13. Il teorema di Pitagoraè di Pitagora ? • Il teorema di Pitagora quasi certamente NON è di Pitagora • L’attribuzione a Pitagora tuttavia si consolida e si conserva anche nelle edizioni rinascimentali degli Elementi

14. Federico CommandinoDe gli Elementi d’Euclide libri quindidici (1575) Questo theorema è attribuito à Pythagora, & dicono che quando egli l’hebbe trovato sacrificò un bue. Ma quello che scrive Euclide nel sesto è molto piu universale, perche dimostra che ne triangoli rettangoli la figura che si fa dal lato sottoposto all’angolo retto è uguale alle figure fatte da i lati, che l’angolo retto contengono, simili & similmente descritte.

15. Cristoforo Clavio S.J.Recensio degli Elementi (1574)

16. Possiamo congetturareun’attribuzione? Prima di tutto dobbiamo distinguere fra teorema e regola

17. Civiltà babilonese • Tavoletta Yale 7289 • Tavoletta Plimpton 322 • Tavoletta di Susa • Tavoletta Tell Dhibayi

18. Tavoletta YBC 72891900 a.C. – 1600 a.C.

19. Sul lato del quadrato (in forma decimale) 30 Sulla diagonale 1,414213 (~ √2) 42,42639 = 30 * 1,414213 Tavoletta YBC 72891900 a.C. – 1600 a.C.

20. Tavoletta Plimpton 322Columbia University

21. Tavoletta di Susa Determinare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo isoscele di lato e base noti Tavoletta di Tell Dhibayi Determinare l’area di un rettangolo di cui sono noti l’area e la diagonale

22. Tavoletta BM 85 196~ 1700 a.C. Una trave lunga 0;30 GAR è appoggiata a un muro. La sua altezza da terra è 0;60 GAR più bassa di quanto sarebbe se fosse appoggiata verticalmente al muro. Quanto dista la base della trave dal muro?

23. Sulbasutra 1500 a.c - 200 a.C. I Sulbasutra raccolgono varie regole di misurazione Baudhayana Sulbasutra (800 a.C.) La fune che è stesa lungo la diagonale di un quadrato produce un’area doppia del quadrato originale

24. Chou Pei Suan Ching (Il libro dello gnomone e delle orbite circolari) Teorema Kou ku (Gou Gu) Matematica cinese

25. Chiu Chang Shuan Shu (I nove capitoli di arte matematica) 206 a.C. -220 d.C. – 246 problemi Un bambù alto 32 cubiti si è spezzato a causa del vento. La sua estremità superiore tocca il terreno ad una distanza di 16 cubiti dalla base del fusto.Dimmi, o matematico, a quale altezza si trova la frattura? Il problema del bambù spezzato

26. Pier Maria CalandriAritmetica (1491)

27. Pier Maria CalandriAritmetica (1491)

28. Pier Maria CalandriAritmetica

29. Il caso del triangolo rettangolo isoscele si “vede” immediatamente La dimostrazione del teorema

30. Socrate. Coloro che se intendono chiamano questa linea diagonale sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l’area doppia. Ragazzo – Certamente, o Socrate Il Menone di Platone

31. Una dimostrazione visuale generale? Il quadrato azzurro a destra è veramente un quadrato? Mondrian, Composizione con rosso, blu e giallo (1930)

32. I rischi delle dimostrazioni visuali

33. La dimostrazione di Euclide Elementi, I.47

34. La dimostrazione del teorema sembra un po’ artificiale: esistono dimostrazioni più semplici ma non usano risultati così elementari. Perché il “teorema di Pitagora” viene collocato alla fine del primo libro degli Elementi?

35. La quadraturadelle figure rettilinee Nei primi due libri degli Elementi, Euclide affronta il problema della quadratura delle figure rettilinee. L’ultima proposizione del libro II recita II.14Costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea data Il teorema di Pitagora (I.47) è uno dei pilastri su cui poggia II.14

36. Il problema della quadraturadelle figure rettilinee Possibili strategie

37. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html Byrne’s edition (1847)

38. Byrne’s edition

39. In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è maggiore dei due quadrati costruiti sui lati che contengono il quadrato GeneralizzazioniProposizione II.12 degli Elementi

40. GeneralizzazioniProposizione II.13 degli Elementi

41. GeneralizzazioniProposizione VI.31 degli Elementi

42. La proposizione VI.31 (th. di Pitagora esteso) vale anche se costruiamo dei semicerchi sui lati Le lunuledi Ippocrate di Chio (IV sec. a.C.)

43. Rosso = giallo + Giallo Rosso = triangolo + segmento + Segmento Triangolo = lunula + Lunula Le lunuledi Ippocrate di Chio (IV sec. a.C.)

44. GeneralizzazioniIl Teorema di Pappo (Collezioni matematiche, IV libro)

45. Riferimenti bibliografici A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006 B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321 Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze, Polistampa 2001 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20