Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela

1. Wykład 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela PG – Katedra Systemów Mikroelektronicznych ZASTOSOWANIE PROCESORÓW SYGNAŁOWYCH Marek Wroński

2. Zastosowania DFT

3. Szereg Fouriera

4. Postać zespolona

5. Postać czasowa zespolonego szeregu Fouriera

6. Przekształcenie Fouriera

7. Dyskretna postać transformaty Fouriera: DFT i IDFT

8. Szybka transformata Fouriera - FFT

9. 4 punktowa FFT (podział czasowy)

10. 8 punktowa FFT

11. 8 punktowa FFT (podział częstotliwościowy)

12. Wady obliczania FFT • ·  prowadzi do obliczenia wszystkich próbek transformaty DFT, podczas gdyczasem potrzebny jest jedynie niewielki ich podzbiór, np. te próbki, które odpowiadają częstotliwościom DTMF i ewentua1nie ich drugim harmonicznym[1]; algorytmy FFT mają więc w tym zastosowaniu nadmierną złożoność obliczeniową, • ·  wymaga zgromadzenia pełnego bloku N próbek przed rozpoczęciem transformacji sygnału, co uniemożliwia realizację algorytmu analizy sygnału on line, tzn. próbka po próbce. • wymaga wyznaczania lub pamiętania wartości współczynników WN:

13. FFT dla sygnałów rzeczywistych Widmo Fouriera X(k), k=0,1,2,...N-1, sygnału rzeczywistego x(n) jest symetryczne wzgl. k=N/2

14. Tworzymy sygnał zespolony: Dwa N-punktowe sygnały rzeczywiste, jedno N -punktowe FFT Odzyskujemy widma X1 i X2:

15. N-punktowy sygnał rzeczywisty, N/2-punktowe FFT Wg. podziału w dziedzinie czasu widmo X(k) może być odtworzone wg. widma X2n(k) jego próbek parzystych i widma X2n+1(k) jego próbek nieparzystych na podstawie wzoru: Tworzymy:

16. Dwuwymiarowa DFT

17. Transformacja kosinusowa stosowana jest w standardach kompresji obrazów nieruchomych JPEG i ruchomych MPEG oraz w algorytmie kompresji dźwięku MPEG audio. Zdefiniowana jest poprzez równanie baz kosinusowych: Wyznaczenie DCT metodą FFT Sumując oddzielnie parzyste i nieparzyste próbki sygnału x(n) i oznaczając: następnie łącząc połówki sum otrzymamy:

18. Algorytm Goertzela Korzystając z zależności: można przez to pomnożyć prawą stronę równania DFT co da Wyrażenie to jest dyskretnym splotem ciągu x(n) o skończonej długości Ni ciągu (WN-k)n, n= 1,2,...,N także o długości N próbek. Wprowadzając oznaczenie: Ciąg yk(n) może być traktowany jako odpowiedź układu (filtru cyfrowego) o odpowiedzi impulsowej (WN-k)n+1 na pobudzenie ciągiem wejściowym x(n). Próbka X(k) jest N-tąpróbką ciągu wyjściowego, tzn. próbką o indeksie n=N-1.

19. Graf realizujący algorytm Goertzela W celu zmniejszenia liczby mnożeń omawiany algorytm można przekształcić zgodnie ze wzorem:

20. Zalety algorytmu Goertzela Aby zrealizować pętle sprzężenia zwrotnego tego układu, wystarczy wykonać tylko jedno mnożenie i dwa sumowania rzeczywiste. Ponieważ interesuje nas jedynie wyznaczenie próbki yk (N-1), więc mnożenie przez zespolony współczynnik WN-knie musi być wykonywane w każdym kroku, lecz jedynie w ostatnim (N-1) kroku. Tak więc obliczenia związane z realizacją pętli sprzężenia zwrotnego wymagają wykonania N -1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2(N-1) sumowań liczb rzeczywistych, a obliczenie yk (N -1) jest związane z 2 dodatkowymi mnożeniami oraz 1 sumowaniem liczb rzeczywistych. Łącznie należy więc wykonać N+1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2N-1sumowań liczb rzeczywistych.

21. Energia sygnału (kwadrat amplitudy prążka)

22. W celu unikania przecieków DFT jest pożądane aby częstotliwości wszystkich tonów podlegających detekcji odpowiadały częstotliwością próbek DFT, tj. k(fs/N). Więc Wybór N alg. Goertzela dla DTMF

23. Zagadnienie okna w DFT

24. Przeciek DFT i widmo fali sinusoidalnej dla niecałkowitej liczby okresów w oknie

25. Odpowiedzi częstotliwościowe DFT dla pobudzenia sinusoidalnego Wartości prążków: (szerokość głównego fs/N)

26. Powielenia widmowe

27. Zwiększenie czułości wykrywania sygnałów

28. Wygładzanie nieciągłości

29. Okna wygładzające końcowe nieciągłości