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INTEGRAL DEFINIDA. PACFGS * TEMA 134. INTEGRAL DEFINIDA. Si f es una función continua y no negativa en un intervalo [a, b], se llama integral definida de f entre a y b el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b.
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INTEGRAL DEFINIDA PACFGS * TEMA 134 Matemáticas Acceso a CFGS
INTEGRAL DEFINIDA • Si f es una función continua y no negativa en un intervalo [a, b], se llama integral definida de f entre a y b el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b. • Se representa por: • b • ∫ f(x) dx • a • Si f es una función continua y negativa en un intervalo [a, b], entonces representa el opuesto del área descrita anteriormente. • Si f cambia de signo entre a y b se divide el intervalo [a, b] en intervalos en los que f sea de signo constante, y se aplica en cada uno de ellos la definición que corresponda y se define: • b m n b • ∫ f(x) dx = | ∫ f(x) dx | + | ∫ f(x) dx | + … + | ∫ f(x) dx | • a a m q • Siendo m, n, …, q los puntos en los que f cambia de signo, f(x)=0 Matemáticas Acceso a CFGS
Ejemplo • Sea la función f(x) = x.(x – 2).(x + 1) • Calcular el área originada entre la función y el eje de abscisas. • Solución • Operando tenemos: • f(x)=x3 – x2 – 2.x • Una primitiva de f(x) sería: • F(x)=(1/4).x4 – (1/3).x3 – x2 • Las abscisas x = – 1, x = 0 y x = 2 nos dividen la zona a calcular en dos partes: [– 1, 0] y [0, 2] • 2 0 2 • ∫ f(x) dx = | ∫ (x3 – x2 – 2.x) dx | + | ∫ (x3 – x2 – 2.x) dx | = • – 1 – 1 0 • = | F(0) – F(– 1)| + |F(2) – F(0)| = |0 – (1/4 + 1/3 – 1)| + |(4 – 8/3 – 4) – 0| = • = |5/12| + |-8/3| = 5/12 + 32/12 = 37/12 A+ A– Matemáticas Acceso a CFGS
Regla de BARROW • Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y supongamos obtenida una primitiva y = F(x) de dicha función. El área que alberga y=f(x) con el eje de abscisas y las coordenadas x= a , x=b, es : • Área = F(b) - F(a) • Es decir: • b b • ∫ f(x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ] • a a • 5 3 4 5 4 4 • Ejemplo: ∫ 4 .x dx = F(5) - F(2) = [ x ] = 5 - 2 = • 2 2 • = 625 - 16 = 609 unidades cuadradas. Matemáticas Acceso a CFGS
Ejemplo • Sea la función f(x) = sen x • Calcular el área originada entre la función y el eje de abscisas, en el intervalo [–π,π]. • Solución • Tenemos que f(x)=sen x • Una primitiva de f(x) sería: • F(x)= – cos x • Las abscisas x = –π, x = 0 y x =–π nos dividen la zona a calcular en dos partes: [–π, 0] y [0, π] • π 0 π • ∫ f(x) dx = | ∫ sen x dx | + | ∫ sen x | = • –π–π 0 • = | F(0) – F(– π)| + |F(π) – F(0)| = |(– 1) – (1)| + |(1) – (– 1)| = • = |–2| + |2| = 2 + 2 = 4 A+ A– Matemáticas Acceso a CFGS
PROPIEDADES DE LA I. DEFINIDA • 1.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y a < c < b • b c b • ∫ f(x) dx = ∫ f(x) + ∫ f(x) • a a c • 2.-Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] • b b b • ∫ [ f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx • a a a • 3.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y ‘k’ un nº real. • b b • ∫ k. f(x) dx = k . ∫ f(x) dx • a a Matemáticas Acceso a CFGS
Ejemplo 1 • 3 2 3 • ∫ 2x dx = ∫ 2x dx + ∫ 2x dx F(x) = x2 • 1 1 2 • F(3) – F(1) = (F(2) – F(1)) + (F(3) – F(2)) • 9 – 1 = (4 – 1) + (9 – 4) 8 = 3 + 5 • Ejemplo 2 • 3 3 3 • ∫ (2x – 1) dx = ∫ 2x dx – ∫ dx F(x) = x2 , G(x) = – x • 1 1 1 • (F+G)(3) – (F+G)(1) = (F(3) – F(1)) + (G(3) – G(1)) • (9 – 3) – (1 – 1) = (9 – 1) + (– 3 – (–1)) 6 – 0 = 8 + (– 2) 6 = 6 • Ejemplo 3 • 1 1 • ∫ 2. ex dx = 2. ∫ ex dx F(x) = 2.ex , G(x) = ex • 0 0 • F(1) – F(0) = 2.(G(1) – G(0)) • (2.e – 2) = 2.(e – 1) 2.e – 2 = 2.e – 2 Matemáticas Acceso a CFGS
