1 / 18

PEMROGRAMAN LINEAR

PEMROGRAMAN LINEAR. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS. Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Udayana 2012. KELOMPOK 1. PRESENTASI OLEH. LUH PUTU ARI DEWIYANTI 1008405001 1 NI PUTU NIA IRFAGUTAMI 1008405002 EVI NOVIANTARI 1008405003 I GUSTI NGR MAHAYOGA 1008405004

cecile
Download Presentation

PEMROGRAMAN LINEAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PEMROGRAMANLINEAR KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Udayana 2012

  2. KELOMPOK 1 PRESENTASI OLEH LUH PUTU ARI DEWIYANTI 10084050011 NI PUTU NIA IRFAGUTAMI 1008405002 EVI NOVIANTARI 1008405003 I GUSTI NGR MAHAYOGA 1008405004 I GEDE AGUS JIWADIANA 1008405009 IMADE KESUMAYASA 1008405011 A.a.i.a CANDRA ISWARI 1008405053 HANY DEVITA 1008405059

  3. METODE SIMPLEKS KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Kasus khusus pada metode simpleks: Alternatifpenyelesaian Penyelesaiantakterbatas Soaltidakfisibel Kemerosotan (Degenerasi) Variabelpenyusuntakbersyarat

  4. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS ALTERNATIF PENYELESAIAN Ketikafungsitujuansejajardengansatubatasan yang mengikat (yaitu, satubatasan yang dipenuhidalambentukpersamaanolehpemecahan optimal), fungsitujuanakanmemilikinilai optimal yang sama di lebihdarisatutitik. Alternatifpenyelesaianberartiadanya 2 penyelesaianataulebih yang menghasilkannilai optimal yang sama. Adanyaalternatifpenyelesaiandalammetodesimpleksdapatdilihatpada table optimalnya. Perhatikanelemenpadabariscj – zjyang bernilai 0 pada table optimal. Nilai 0 padabariscj – zjselalubersesuaiandengan variable basis. Jikack – zk= 0 dalam table optimal, sedangkan variable padakolomtersebut (= xk) bukanlah variable basis, makahalinimenunjukkanadanya alternative penyelesaian. Alternatifpenyelesaiandidapatdengan “memaksa” variablexkmenjadi basis (meskipunsebenarnyatabelnyasudahmaksimal).

  5. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS ALTERNATIF PENYELESAIAN EXAMPLE Maksimumkan f(x1, x2)= 3x1 + x2 Kendala x1+ 2x2 ≤ 20 3x1+ x2 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentukstandar: Maksimumkan f(x1, x2, x3, x4) = 3x1 + x2 + 0x3 + 0x4 Kendala x1 + 2x2 + x3= 20 3x1 + x2 + x4= 20 x1, x2,x3,x4= 0 Tampakbahwatabelsudah optimal denganpenyelesaian optimal x1 = 4 danx2 = 8. Perhatikanbahwapadatabel diatasjugamengandung alternative penyelesaiankarenax3bukanmerupakan variable basis, tapic3 – z3 = 0. Jikakemudian table direvisilagidengancaramemaksakanx3untukmenjadi basis, makaakandiperolehkembali table optimal padatabeldiatas. Tampakbahwapada table optimalnya, c2 – z2 = 0 meskipunx2bukan variable basis. Inimenunjukkanadanyaalternatifpenyelesaian yang bisadiperolehdenganmemaksax2untukmenjadi basis.

  6. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PENYELESAIAN TAK TERBATAS Penyelesaiantakterbatasberartif(x)bisadiperbesar (ataudiperkecil) sampaititiktakberhingga. Setelahmendapatkancalon basis, langkahberikutnyaadalahmengujiapakahadaelemenaik (elemendalamkotakvertikal) yang > 0. Jikaadamakalangkahberikutnyaadalahmenghitungnilaidanmenentukan variable yang haruskeluardari basis. Akan tetapiapabilasemuaaik ≤ 0, makaberartipenyelesaiannyatakterbatas (bisadikatakanjugabahwasoaltidakmemilikipenyelesaian).

  7. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PENYELESAIAN TAK TERBATAS EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2) = 2x1 + 3x2 Kendala x1– 2x2 ≤ 4 x1+ x2≥ 3 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentukstandar: Maksimumkan f(x1 … x5) = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 – Mx5 Kendala x1– 2x2 + x3 =4 x1+ x2 - x4+ x5= 3 x1, x2,x3, x4,x5 ≥ 0 Padaiterasikedua, c4-z4= 3 > 0. Karenasatu-satunya yang masihbernilaipositif, makax4menjadicalon basis. Akan tetapia14 =-2 < 0 dana24 = -1 <0 sehingganilaitidakdapatdicari. Iniberartibahwasoalmemilikipenyelesaiantakterbatas

  8. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PENYELESAIAN TAK TERBATAS EXAMPLE 2 Minimumkan f(x1, x2) = -x1-2x2 Kendala -x1+x2≤ 2 -2x1+x2≤ 1 x1, x2 ≥0 SOLUTION Bentukstandar: Minimumkan f(x1 … x5) = -x1-2x2+0x3+0x4 Kendala -x1+x2+x3 = 2 -2x1+x2+x4= 1 x1… x4 ≥ 0 Padaiterasikedua, c4 - z4 = 3 > 0. Karenasatu-satunya yang masihbernilainegatif, makax4menjadicalon basis. Akan tetapia14 = -1 < 0 dana24 = -1< 0 sehingganilaitidakdapatdicari. Iniberartibahwasoalmemilikipenyelesaiantakterbatas

  9. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Soal tidak fisibel Soaltakfisibelberartisoaltidakmemilikidaerahfisibel (tidakmemilikititik yang memenuhisemuakendala) Dalammetodesimpleks, variable semuberfungsisebagaikatalisator agar munculmatriksidentitassehingga proses simpleksdapatdilakukan. Padaiterasipertama, variable semuakandipakaisebagai variable basis. Untukmempercepatkeluarnya variable semudari variable basis, makapadafungsisasarannyadiberikoefisien M (untukkasusmeminimumkan) atau –M (untukkasusmemaksimumkan). Akan tetapiadakalanya variable semutetapmerupakan variable basis pada table optimalnya. Hal inimenunjukkanbahwasoalnyatidakfisibel. Pengecekansoal yang tidakfisibeldapatdilihatpadanilaiCj – Zj. SetelahtidakadaCj–Zj > 0(untukkasusmemaksimumkan) atauCj-Zj < 0 (untukkasusmeminimumkan), maka proses dilanjutkandenganmenelitiapakahada variable semu yang masihbernilaipositif. Jikatidakada, makapenyelesaian optimal didapatkan. Akan tetapi, jikaada variable semu yang masihbernilaipositifberartisoalnyatidakfisibel.

  10. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Soal tidak fisibel EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2) = 4x1+ 3x2 Kendala x1+x2≤ 3 2x1– x2≤ 3 x1≥ 4 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentukstandar: Maksimumkan f(x1 … x6)= 4x1+3x2+0x3+0x4+0x5-Mx6 Kendala x1+x2+x3= 3 2x1-x2+x4= 3 x1 –x5+ x6= 4 x1… x6 ≥ 0 Padaiterasiterakhir, semuaCj–Zj≤ 0. Inimenunjukkanbahwa table sudah optimal. Akan tetapix6 yang merupakan variable semumasihtetapmenjadi variable basis. Iniberartibahwasoalnyatidakfisibelsehinggatidakmemilikipenyelesaian optimal.

  11. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Soal tidak fisibel EXAMPLE 2 Minimumkan f(x1, x2) = 2y1+4y2 Kendala 2y1-3y2≥ 2 -y1+y2 ≥ 2 y1, y2 ≥ 0 SOLUTION Bentukstandar: Minimumkan f(x1 … x6)= 2y1+4y2+0y3+0y4+My5+My6 Kendala 2y1 - 3y2 - y3 + My5 = 2 -y1+y2 - y4 + My6 = 3 y1… y6 ≥0 Dapatdilihatbahwapadaiterasipertama, variable Y6keluardari variable basis kemudianpadaiterasi ke-2 variabelY6kembalimenjadi variable basis. Karenakedua variable semuY5danY6menjadi variable basis dantidakdapatmencapaipenyelesaian optimum, makasoaltidakfisibel.

  12. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS KEMEROSOTAN (DEGENERASI) Kasusdegenerasiterjadiapabilasatuatau variable basis berharganolsehinggaiterasi yang dilakukanselanjutnyabisamenjadisuatuloop yang akankembalipadabentuksebelumnya. Kejadianinidisebutcycling ataucircling. Namunadakalanyapadaiterasiberikutnyadegenerasiinimenghilang. Kasussepertiinidisebutdegenerasitemporer.

  13. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS KEMEROSOTAN (DEGENERASI) EXAMPLE Maksimumkan f(x1, x2) = 5x1 + 3x2 Kendala 4x1 +2x2≤ 12 4x1+ x2 ≤ 10 x1+ x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentukstandar: Maksimumkan f(x1 … x5) = 5x1+3x2+0x3+0x4+0x5 Kendala 4x1+2x2+x3 = 12 4x1+x2+x4= 10 x1+x2+x5=4 x1… x5 ≥ 0 Table 2merupakankelanjutaniterasijikax5keluardari basis. Perhatikanbahwameskipunjumlahiterasihinggamencapai optimal padaTabel1danTabel2tidaksama, namunkeduanyamenghasilkanpenyelesaian optimal yang samayaitux1 = 2 danx2 = 2 Padaiterasi ke-2 terdapat 2 buahnilai minimum yang sama-samabernilai 2. Untukitudipilihsalahsatunya (x3ataux5) secarasembarang. Perhatikanbahwa table 1merupakankelanjutaniterasijikax3keluardari basis

  14. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS KEMEROSOTAN (DEGENERASI) SOLUTION Bentukstandar: Maksimumkan z = 3x1+2x2+0x3+0x4+0x5 Kendala 4x1+3x2+x3=12 4x1+x2+x4=8 4x1-x2+x5=8 x1…x5≥ 0 EXAMPLE DEGENERASI TEMPORER Maksimumkan z = 3x1 + 2x2 Kendala 4x1+ 3x2 ≤ 12 4x1+ x2 ≤ 8 4x1- x2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0

  15. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS VARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT Dalambentukstandar program linier diisyaratkanbahwasemua variable penyusunharus≥0. Apabilaada variable penyusun yang bernilaibebas (bolehnegatif), makasebelummasukke proses simpleks, masalahtersebutharusterlebihdahuluditransformasisehinggasemua variable penyusun ≥ 0. Caranyaadalahdenganmenyatakan variable yang bernilaibebastersebutsebagaiselisih 2 variabelbaru yang keduanya ≥ 0.

  16. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS VARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2, x3) = 3x1+2x2+x3 Kendala 2x1+5x2+x3≤ 12 6x1+8x2≤ 22 x2, x3 ≥ 0 Perhatikanbahwa yang diisyaratkan ≥ hanyalahx2danx3saja, sedangkanx1bernilaisembarang. Untukmenjadikankebentukstandar program linier, makax1dinyatakansebagaiselisih 2 variabelbarux4danx5. x1=x4-x5 Kemudiansubstitusikanke model SOLUTION Bentukstandar: Maksimumkan f(x2, x3, x4, x5)= 2x2+x3+3x4-3x5+0x6+0x7 Kendala 5x2+x3+2x4-2x5+x6= 12 8x2+6x4-6x5+x7= 22 x2…x7≥ 0 Sehingga soal menjadi: Maksimumkan f(x2, x3, x4, x5)= 3(x4-x5)+2x2+x3 Kendala 2(x4-x5)+5x2+x3 ≤ 12 6(x4-x5)+8x2 ≤ 22 x2, x3, x4, x5 ≥ 0 Penyelesaian optimal x2 = 0, x3 = 28/6 = 14/3, x4 = 22/6 = 11/3, x5 = x6 = x7 = 0. Jikadikembalikankesoalaslinya, maka x1 = 11/3, x2 = 0 dan x3 = 14/3. Perhatikan di sinibahwa x1 yang bernilaisembarangtidakberartiharusbernilainegatif. Akan tetapijugatidakbolehdiasumsikan ≥ 0 sehingga proses simpleksjugatidakdapatlangsungdigunakan.

  17. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS VARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT EXAMPLE 2 Maksimumkan z = -2x1 + x2 Kendala x1+x2≤ 4 x1 - x2 ≤ 6 x1≥ 0 Perhatikanbahwa yang diisyaratkan ≥ 0 hanyalahx1saja, sedangkanx2 bernilaisembarang. Untukmenjadikankebentukstandar program linier, makax2dinyatakansebagaiselisih 2 variabelbarux5danx6 x2= x5 – x6 SOLUTION Bentukstandar: Maksimumkan z = -2x1 + x5 - x6 + 0x3 + 0x4 Kendala x1+ x5 - x6 + x3 = 4 x1– x5 + x6 + x4 = 6 x1, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 Didapatsolusi optimum x1= 5, x6 = 1, x3= x4 = x5= 0. Jikadikembalikankesoalaslinyamakaakandidapatx1 = 5 danx2= -1(di mana x2 = x5 –x6).

  18. PEMROGRAMANLINEAR KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Udayana 2012

More Related