Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________

1. Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lez. 5 – Le proprietà dello stimatore OLS

2. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE Svilupperemo ora il modello classico di regressione lineare Distingueremo le assunzioni sulla variabile indipendente e le assunzioni sui residui. Assunzioni sulla variabile indipendente X è: IA non stocastica IB presenta valori fissi in campioni ripetuti IC è tale che la sua varianza: = costante per

3. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE NB: Come scopriremo più avanti, il MCRL presenta alcune caratteristiche che lo rendono poco adatto al trattamento dei dati di natura economica. In particolare, essendo stato sviluppato nel campo delle scienze fisiche (in cui è possibile ripetere gli esperimenti a "parità di condizioni") sconta la presenza di dati sperimentali e non di osservazioni della realtà. Dovremo adeguarlo al nostro caso. Ciononostante è una utilissima base di partenza. Consideriamo il problema dal punto di vista della popolazione

4. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE Il fatto che X sia non stocastica non implica che anche Y lo sia Infatti εi continua ad essere un disturbo stocastico La presenza di un limite alla varianza per n→∞ garantisce che il modello sia sempre trattabile (non esploda) poiché cresce “alla stessa velocità” di n (vedremo meglio quando studieremo le implicazioni della presenza di un trend)

5. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE Assunzioni sui residui IIA: IIB IIC IID

6. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE in media, la linea di regressione sia corretta Y X X1 X2 X3

7. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE varianza costante dei disturbi (omoschedasticità) PDF di εi Y X1 X2 X3 X

8. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE varianza non costante dei disturbi (eteroschedasticità) PDF di εi Y X1 X2 X3 X

9. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE Lo scatter (X, residui) spesso produce una nuvola a “ventaglio” Residui X

10. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE IIC Corr. Negativa Corr. Positiva Assenza Corr.

11. IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE Esempio di correlazione seriale positiva nei residui Residui t

12. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Le proprietà degli stimatori sono raggruppabili in due categorie: 1. Small sample properties; 2. Large sample properties Ricordiamo la definizione di stimatore?

13. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Correttezza Definizioni correlate Errore campionario: Abbiamo incontrato esempi di stimatori distorti. Ad es. tende a sottostimare bisogna correggere per n - 1

14. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Correttezza: Uno stimatore corretto è centrato sul valore “vero” della popolazione

15. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Esempio di stimatore distorto

16. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Efficienza Varianza minima Anche quando uno stimatore è non distorto esiste sempre la probabilità di avere una realizzazione campionaria molto lontana dalla media vera della popolazione. Tale probabilità sarà tanto più bassa quanto più lo stimatore è efficiente. N.B. La proprietà di efficienza è definita su uno stimatore rispetto a tutti gli altri. Lo stimatore corretto che presenta varianza minima è Best Unbiased Estimator

17. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Lo stimatore con distribuzione campionaria A non presenta varianza minima B A 

18. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Esercizio 5.1 (Thomas) Una variabile casuale X ha media μ = 70 e varianza Per stimare μ estraiamo un campione casuale di dimensione n = 20 3 stimatori sono proposti: 1. 2. 3.

19. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS • Dimostrare che a, b e c sono distorti • Calcolare la distorsione • Calcolare la varianza. Quale stimatore presenta var inferiore? i.

20. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS ii. Bias nel caso dello stimatore a: Bias nel caso dello stimatore b: Bias nel caso dello stimatore c: (bias maggiore)

21. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS iii.

22. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Proviamo ora a studiare le proprietà degli stimatori OLS quando le assunzioni del modello classico sono rispettate. Si parta dalla constatazione che: In quanto

23. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Possiamo anche scrivere è la parte deterministica dove

24. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Linearità Il modello che stiamo studiando è lineare in Y lineare in Y In quanto i termini sono costanti (X non è stocastica) Lo stesso si può dimostrare per

25. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Correttezza: lo stimatore OLS è corretto Punto di partenza

26. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Dalla forma:

27. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Efficienza: lo stimatore OLS presenta varianza minima Uno stimatore è efficiente quando presenta la varianza minima tra tutti gli stimatori (ci si riferisce alla classe degli stimatori lineari ) Come possiamo studiare la varianza di un generico stimatore lineare e non distorto?

28. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Avremo i. linearità correttezza ii. iii. non stocasticità

29. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS avremo inoltre Dal modello in quanto Sostituendo nella iii. Per aversi correttezza dovrà essere e

30. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS

31. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Per le assunzioni del modello classico

32. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Quando avremo minima varianza? Dobbiamo: subordinatamente ai vincoli:

33. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Considerando assieme le prime due, abbiamo: (indipendenti da ai)

34. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Il valore di ai ottimale lo si ottiene dalla terza condizione del primo ordine, moltiplicata per xi Poiché ai è uguale a wi, abbiamo trovato che gli stimatori OLS presentano varianza minima. Teorema di Gauss – Markov Per il modello di regressione lineare, sotto le assunzioni (IIA – IID), gli stimatori OLS hanno la varianza più piccola tra tutti gli stimatori lineari e corretti (unbiased). Lo stimatore OLS è BLUE.

35. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS La distribuzione campionaria degli stimatori OLS Quale sarà la distribuzione campionaria degli stimatori OLS? Sappiamo che: Ne deriva che: è la somma di una cost. e di una VC distribuita normalmente Quindi:

36. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Ora, poiché sono funzioni lineari di Y, ne deriviamo che, in infiniti campioni

37. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS ? e Come sono fatti Per quanto riguarda sappiamo che Da cui si ricava Standard error di

38. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Senza dimostrazione diamo anche: Standard error di

39. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Nelle regressioni si usa il test – t di significatività statistica per verificare l’esistenza di effetti lineari di una variabile indipendente sulla variabile dipendente è il coefficiente di regressione campionaria, SE(βj) è lo standard error della distribuzione campionaria di βj

40. PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS Test su due code Test su una coda Come mai si usa la t e non la Z standardizzata? NB: La varianza della popolazione è sconosciuta; si approssima con la varianza (corretta) campionaria…