Presenta: Marcos Campos.

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ATITALAQUIAIngeniería QuímicaCálculo DiferencialAplicaciones de las derivadas Presenta: Marcos Campos.

2. LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

3. m=0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) m>0 m<0 m<0 En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa. m=0

9. Máximo relativo

10. Máximo relativo

11. Mínimo relativo

12. Mínimo relativo

13. Punto de inflexión

14. Punto de inflexión

15. Problemas de máximos y mínimos A= l*a a l P=2a+ 2l

17. Problemas de máximos y mínimos: 2

19. Problemas de máximos y mínimos

20. Ejercicio No. 1 – Química – ( Resolución página 43 ) La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante P*V=K , donde P es la presión, V el volumen y K una constante. Si la presión de un gas está dada por la expresión: P(t) = 30 + 2t con P en cm de Hg , t en seg ; y el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razón de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.

21. Ejercicio No. 6 – Química - ( Resolución página 48 ) Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante de Q = 100 litros /minuto. Suponiendo que la presión del gas es constante , halla la velocidad con que está aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.

22. Ejercicio No.13 – Contaminación – ( Resolución página 58 ) Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono CO2 en el aire , en partes por millón (ppm) , en una ciudad , está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que está dado por la relación siguiente: p(t) = 3. 1 + 0.1 t² en miles de habitantes. ¿ Con qué rapidez crees que estará variando la concentración de CO2 en esa ciudad dentro de 3 años?

23. Ejercicio No.6 - Cálculo – (Resol. Pag. 132) Una empresa tiene capacidad de producir como máximo 15, 000 unidades al mes de cierto producto. El costo total de producción Ct en miles de dólares por mes responde a la expresión donde q es el número de unidades producidas en miles de unidades por mes. Determina la producción mensual de la empresa que minimiza el costo total de producción y calcula ese costo.

24. Ejercicio No. 8 – Química – (Resol. Pag. 133) La masa m de agua que a 0°C ocupa un volumen de 1 litro, ocupará a T °C un volumen V en litros dado por la expresión: Recordando que la densidad ρ de una sustancia homogénea es ρ =m/V Encuentra la temperatura T para la cual la densidad ρ del agua es máxima Bosqueja V(t) para 0 ≤ T ≤ 10.

25. Ejercicio No.23 -Dimensionado de envase – (Resol. Pag. 154) Se desean fabricar envases cilíndricos de hojalata para lubricante de volumen V dado. No se desperdicia material al cortar la hoja que constituye la pared cilíndrica , pero las bases se recortan de trozos cuadrados como indica la figura , desperdiciándose los recortes. a) Halla la relación entre la altura y el diámetro de la base para que el gasto de material incluído el desperdicio , sea mínimo . b) Aplica los resultados para el caso V = 1 lt. c) ¿Cuál es el porcentaje de material desperdiciado respecto al total usado?