Cálculo Diferencial e Integral Integral

1. Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET Departamento de Estatística – DEST Programa de Educação Tutorial - PET Cálculo Diferencial e IntegralIntegral Primitivas Integral definida e cálculo de área Técnicas de integração Cálculo de volumes

2. Primitivas • Dizemos que uma função é uma primitiva de se .(primitiva é a função inversa da derivada) Exemplos , pois , pois , pois

3. Primitiva de A primitiva de é dada pela fórmula: Sabendo a primitiva de e as propriedades das integrais que veremos a seguir podemos resolver facilmente a integral de uma função polinomial. Propriedades , sendo uma constante

4. Exemplos Exercícios • Calcule as integrais indefinidas indicadas.

5. Integral definida e cálculo de área • Seja uma função contínua definida no intervalo . A integral definida desta função é denotada como: • Se é uma função estritamente positiva, o cálculo da integral definida no intervalo é a área limitada superiormente pela função e inferiormente pelo eixo nos intervalos .

6. Resolvendo uma integral definida • Seja , a integral definida Exemplos • Calcule a área sob o gráfico de , . Solução A área será será igual a , visto que no intervalo é estritamente positivo.

7. Calcule e interprete o resultado obtido. Solução O número é o simétrico da medida da área indicada na figura abaixo. (lembrando que a medida de uma área é um número sempre não negativo.) De um modo geral, se em , , em que é a área da região situada entre o eixo e o gráfico de no intervalo .

8. Calcule e interprete o resultado Solução Como em e em , De um modo geral, se em , e em , então,

9. Calcule as áreas da região compreendida entre as curvas e . Solução Nos pontos de interseção das curvas, temos: ou A área pode ser calculada assim ou, equivalentemente: Temos então :

10. Exercícios • Calcule a área sob o gráfico de entre e • e • e • e • e • e • Calcule a área da região limitada pelas curvas: • e • e • e • e • e

11. Técnicas de integração Método da substituição • Nos exemplos a seguir veremos a resolução de integrais pelo método da substituição. Exemplos

12. Solução a) b) c)

13. d) e) Exercícios • Calcule as integrais indefinidas indicadas:

14. Calcule:

15. Integração por partes • Se e são funções diferenciáveis, então: Exemplo

16. Solução Exercícios • Calcule: a) d) b) e) c)

17. Cálculo de volumes • Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do gráfico de em torno do eixo dos , sendo em . O cálculo do volume do sólido é dado por:

18. No caso de um cone circular de raio e altura , podemos ter: No caso de uma esfera de raio , podemos ter:

19. Exercícios • Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta , em torno do eixo dos , sendo e . • Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de , , em torno do eixo dos . • A curva , , ao ser girada em torno do eixo dos determina um sólido de volume . Calcule .