Signali i sustavi

1. Signali i sustavi Z - transformacija

2. Z- transformacija • Linearni, vremenski diskretan sustav je opisan jednadžbom diferencija: an y(k + n) + ... + a0y(k) = bn u(k + n) + ... + b0u(k). • Za pobudu oblika u(k) = Uzk partikularno rješenje je yp(k) = Yzk. • Uvrštenjem dobivamo: y(k) = UH(z)zk, H(z) - transfer funkcija.

3. Z- transformacija Odziv y(k) se može dobiti i konvolucijskom sumacijom ako je poznat jedinični odziv h(k): Za u(k)= Uzk: Izjednačavanjem rješenja slijedi:

4. Z- transformacija Frekvencijsku karakteristiku dobijemo za z = ejw Prepoznajemo Fourierov red, pa vrijedi: Fourierovatransformacija niza {h(k)}. H(ejw) = F{h(k)}, Z- transformacija niza {x(k)}.

5. Z- transformacija Za opći kompleksni brojz = rejw: Fourierova transformacija niza {x(k)r-k}. Inverziju dobijemo na temelju izraza za Fourierove koeficijente: Opći izraz za inverznu Z transformaciju.

6. Za kauzalne signale tada jednostrana Z transformacija konvergira apsolutno za svaki z sa svojstvom|z| = z > r . Konvergencija Z- transformacije jednostrana Z transf. Ako niz {x(k)} zadovoljava slijedeće uvjete: x(k)<, za sve k postoje pozitivni brojevi A, ri K takvi da vrijedi x(k)Ark, za sve k > K

7. Z- transformacija - primjeri

8. Z- transformacija - svojstva Linearnost Z{ax(k) + by(k)} = aX(z) + bY(z). Pomak unaprijed za nkoraka: za n = 1: Z{x(k + 1)} = z X(z) - zx(0).

9. Z- transformacija - svojstva Kašnjenje za nkoraka: zan = 1: Z{x(k - 1)} = z-1 X(z) + x(-1).

10. Z- transformacija - svojstva Konvolucijska sumacija kauzalnih nizova:

11. Z- transformacija - svojstva Multiplikacija s ak y(k) = a k x(k): Multiplikacija sa e jw k (frekvencijski pomak) y(k) = x(k) ejw k:

12. Z- transformacija - svojstva Multiplikacija s k: Multiplikacija s kn:

13. Inverzna Z- transformacija 1. razvoj u red Y(z) = y(0) + y(1)z-1+ y(2)z-2+ ... razvoj u McLaurentov red oko točke z -1 = 0 Primjer: y(k) = 2 d (k) + 0.5 d (k - 1) + 1.25 d (k - 2) + 0.875 d (k - 3) + ... y(k) = 1 + (-0.5)k, za k ³ 0

14. Inverzna Z- transformacija 2. rastavljanje racionalane funkcije na parcijalne razlomke

15. Inverzna Z- transformacija 2. rastavljanje racionalane funkcije na parcijalne razlomke - primjer u domeni koraka izlazi

16. Inverzna Z- transformacija 3. integralom po zatvorenoj krivulji radiusa većeg od radiusa apsolutne konvergencije

17. Rješenje jednadžbi diferencija upotrebom Z- transformacije a2y(k + 2) + a1y(k + 1) + a0y(k) = b1u(k + 1) + b0u(k) a2[z2Y(z) - z2y(0) - zy(1)] + a1[zY(z) - zy(0)] + a0Y(z) == b1[zU(z) - zu(0)] + b0U(z) [a2z2+ a1z+ a0]Y(z) == [b1z+ b0]U(z) - b1zu(0) + a2z2 (0) + a1zy(1) + a0zy(0) uz početne uvjete jednake nuli

18. Rješenje jednadžbi diferencija upotrebom Z- transformacije H(z) - transfer funkcija vremenski diskretnog sustava. Za pobudu jediničnim uzorkom u(k) = d (k), U(z) = 1, dobivamo: Y(z) = H(z). Transfer funkcija je Z- transformat odziva na pobudu{d (k)} uz početne uvjete jednake nuli.

19. Pobuđeni mirni sustav drugog reda y(k + 2) + y(k + 1) + 0.21y(k) = (-1)k transformacijom uzy(1) = y(0) = 0: