10. Me chanika tekutín

1. 10. Mechanika tekutín Plyny a kvapaliny označujeme spoločným názvom tekutiny. Na rozdiel od pevných látok nie sú častice tekutiny viazané na rovnovážne polohy, ale môžu sa navzájom voľne posúvať, t.j. môžu tiecť. Toto je spôsobené tým, že účinky síl súdržnosti, ktoré pôsobia medzi časticami tekutiny, sú oveľa menšie ako v pevných látkach, preto mô- žu byť narušované ich tepelným pohybom. Keďže sú častice tekutiny vzájomne po- sunuteľné, nemôžu trvalo odolávať dotyčnicovým napätiam produkovaným v tekuti- ne silami meniacimi tvar tekutiny. Ak takéto sily na tekutinu pôsobia, jej častice sa dajú do vzájomného pohybu, ktorý trvá dovtedy, kým dotyčnicové napätia nevymiz- nú a tekutina je opäť v rovnovážnom stave. V rovnovážnom stave tekutiny, kedy sú častice tekutiny navzájom v pokoji, sú teda dotyčnicové napätia nulové. Tekutiny však môžu pôsobiť silou kolmou na ich povrch. Neschopnosť tekutín odolávať dotyčnicovým napätiam spôsobuje, že nemajú vlastný tvar, t.j. prispôsobujú sa tvaru nádoby. Tu je však rozdiel medzi kvapalinami a plyn- mi. Kým kvapalina môže v nádobe vytvoriť voľnú hladinu, plyny vyplnia celý objem nádoby. Ďalší rozdiel medzi kvapalinami a plynmi je, že kým kvapaliny pôsobením vonkajších síl len málo menia svoj objem, t.j. sú prakticky nestlačiteľné, objem ply- nov sa pod účinkom vonkajších síl môže značne meniť.

2. Normálové a dotyčnicové napätia Vieme, že ak na tuhé teleso pôsobia vonkajšie sily, mení svoj tvar – deformuje sa. Pri zmene tvaru sa stavebné častice telesa vychýlia zo svojich pôvodných rovnováž- nych polôh, v dôsledku čoho vzniknú medzi nimi sily, ktoré majú tendenciu tento rovnovážny stav obnoviť. Tieto sily kompenzujú účinok vonkajších síl, ktoré defor-

3. máciu spôsobili, a neexistujú len na povrchu telesa, kde pôsobia vonkajšie sily, ale v celom objeme telesa. Uvažujme v tuhom telese, napr. v gumennom hranole, malú oblasť vymedzenú guľo- vou plochou. Keď pôsobíme kolmo na podstavy hranola rovnako veľkými a opačne orientovanými silami, každá o veľkosti F, zmení sa tvar tejto gule na trojosý elipsoid. Na každú elementárnu plôšku dS na ploche, ktorá elipsoid vymedzuje, pôsobí časť celkovej sily dF, ktorú môžeme rozložiť na zložku k plôške dS kolmú a na zlož- ku k plôške dS dotyčnicovú. Potom normálové napätie a dotyčnicové napä- tie definujeme takto Normálové napätia majú charakter ťahu alebo tlaku. Dotyčnicové napätia spôsobujú zmenu geometrického tvaru častí namáhaného telesa, napr. prechod gule v elipsoid, alebo kocky v kolmý alebo kosý hranol. Je to zrejmé z nášho príkladu: keby na po- vrch guľovej oblasti v gumennom hranole pôsobili len rovnako veľké normálové na- pätia, či už ťahové alebo tlakové, mala by táto oblasť aj naďalej tvar gule, len s iným polomerom. Aby sa guľa zmenila na elipsoid, musia na jej povrchu pôsobiť rôzne veľké normálové napätia, t.j. musia tam existovať dotyčnicové napätia, čo je zrejmé aj z toho, že elementárne sily dF majú šikmý smer vzhľadom na elementárne plôšky dS.

4. Hustota a tlak v tekutinách Objemová hustota a tlak sú základnými charakteristikami tekutín. Hustotu v určitom bode tekutiny nájdeme tak, že zistíme hmotnosť malého elementu zvoleného okolo tohto bodu a nájdeme pomer týchto veličín (1) Teoreticky hustota je limitou pomeru (1) pre . V praxi tekutiny sú ho- mogénne, t.j. majú vša- de rovnakú hustotu, (2) takže tekutina objemu V a hmotnosti m má hustotu

5. Tlak p v ľubovoľnom bode tekutiny je daný pomerom (3) kde je veľkosť sily pôsobiacej kolmo na malú plôšku opísanú okolo toh- to bodu. Teoreticky je tlak v ľubovoľnom bode tekutiny limitou pomeru (3) pre . Ak je sila kolmá na plochu S a je rovnaká v každom bode tejto plochy, potom tlak na plochu S je (4) kde F je veľkosť tejto sily. 1 atmosféra=1 atm=101325 Pa=760 torr ... priemerný tlak na hladine mora 1 torr ... tlak 1 mm ortuťového stĺpca Hydrostatický tlak Keďže v tekutine v stave rovnováhy nie sú dotyčnicové napätia, môže tekutina pôso- biť na steny nádoby, alebo na akúkoľvek myslenú plôšku v nej len kolmou silou. Po- tom tlak produkovaný za týchto podmienok touto silou podľa vzorca (3) nazývame hydrostatický tlak. V tekutinách v stave rovnováhy hovoríme len o tlakoch, lebo ťa-

6. ťahové normálové napätia v nej nemôžu existovať, keďže tekutina nekladie nijaký odpor oddialeniu jej častí. Ako je teda zrejmé, tlak je skalárna veličina, t.j. nemá smerové vlastnosti. Potvrdili to aj experimenty, ktoré ukázali, že tlak definovaný rovnicou (3) v určitom bode teku- tiny, ktorá je v pokoji, je rovnaký nezávisle od toho, ako je plôška orientovaná. Pomenovanie ‘hydrostatický tlak’ pochádza zo skutočnosti, že tento tlak je produko- vaný tekutinami, ktoré sú v pokoji. Je to napr. tlak vody v jazere, ktorý stúpa s hĺb- kou, alebo tlak vzduchu, ktorý klesá s výškou. V týchto prípadoch je príčinou hydro- statického tlaku tiažové pole Zeme, ktoré pôsobí na celý objem tekutiny. Okrem silo- vých polí, ktoré pôsobia na celý ob- jem tekutiny, môže byť hydrostatic- ký tlak vyprodukovaný aj tlakmi k tekutine vonkajšími, ako je napr. at- mosférický tlak pôsobiaci na vodu v jazerách. Nájdime teraz vyjadrenie pre hydro- statický tlak v kvapaline v hĺbke h pod jej povrchom, pričom použijeme obrázok. Tam sme za kvapalinu zvo- lili vodu, na ktorú pôsobí svojím

7. tlakom vzduch. Vo vode sme vybrali objem tvaru valca s horizontálnymi podstavami o ploche S , ktoré sú v hĺbkach a . Sila pôsobiaca na dolnú podstavu od vo- dy pod ňou je , sila pôsobiaca na hornú podstavu od vody nad ňou je . Tiažová sila pôsobí na valec v jeho ťažisku. Valec a ostatná voda sú v static- kej rovnováhe, takže vektorový súčet síl pôsobiacich na valec musí byť rovný nule, t.j. musí platiť (5) kde sme využili, že všetky tri sily majú len jednu, a to zvislú zložku, ktorá je kladná, keď je sila orientovaná nahor a záporná, keď je sila orientovaná nadol, a jej absolútna hodnota je rovná veľkosti príslušnej sily. Ďalej vieme, že platí Keď tieto rovnosti dosadíme do rovnice (5), dostaneme vzťah (6) Na základe (6) môžeme potom nájsť vyjadrenie pre tlak v kvapaline v hĺbke h pod jej povrchom, ak tam dosadíme , , kde h je kladné číslo, , kde je atmosférický tlak na hladine kvapaliny a (7)

8. Vyjadrenie pre tlak vzduchu vo výške d nad hladinou mora, ak predpokladáme, že hustota vzduchu je konštantná, dostaneme tiež zo (6), ak tam dosadíme , , a (8) Pri odvodení (8) si musíte predstaviť, že vyberieme vo vzduchu rovnaký valec ako vo vode na obrázku na slide 6, avšak teraz horná podstava má súradnicu a dol- ná podstava má súradnicu . To spôsobí, že sily a si vymenia úlohy a rovnica (5) prejde na tvar odkiaľ po dosadení vyjadrení dostaneme vzťah ktorý je totožný zo (6), a teda naše odvodenie (8) bolo korektné. Z odvodených rovníc (6), (7), (8) je jasne vidieť, že tlak v bode tekutiny, ktorá je v statickej rovnováhe, závisí len od hĺbky, resp. výšky, tohto bodu a nezávisí od nijakej horizontálnej charakteristiky tekutiny alebo nádoby, ktorá ju obsahuje.

9. Pascalov zákon Je to zákon, ktorým sa riadi hydrostatický tlak. Jeho znenie je: Zmena tlaku pôsobia- ca na uzavretý objem nestlačiteľnej tekutiny sa prenesie nezmenšená do každej časti tekutiny a na steny nádoby, ktorá ju obsahuje. Iné znenie tohto zákona je: Ak pôsobí na tekutinu vonkajší tlak iba v jednom smere, potom vo vnútri tekutiny pôsobí v kaž- dom jej mieste rovnako veľký tlak, a to vo všetkých smeroch. Platnosť Pascalovho zákona môžeme demonštro- vať na zariadení na obrázku. Kvapalina je uzav- retá piestom vo valcovej nádobe, pričom na piest je naložená záťaž. Táto záťaž, piest a atmosféric- ký vzduch produkujú vonkajší tlak na kva- palinu. Podľa rovnice (7) bude potom tlak v ľu- bovoľnom bode P v hĺbke h v kvapaline daný rovnicou kde je hustota kvapaliny. Keď teraz pridáme viac závaží na piest, vonkajší tlak vzrastie na hodnotu a tlak v hĺbke h bude

10. Odčítaním oboch posledných rovníc od seba dostaneme výraz Tento výsledok hovorí, že zmena tlaku v určitom bode kvapaliny spôsobená zmenou vonkajšieho tlaku na kvapalinu nezávisí od hĺbky, v ktorej sa tento bod nachádza, t.j. je rovnaká pre ľubovoľný bod v kvapaline a rovná zmene vonkajšieho tlaku. A to je presne to, čo hovorí Pascalov zákon. Na Pascalovom zákone je založený stroj, ktorý nazývame hydraulická páka. Princíp tohto zariadenia je na obrázku. Nech na piest o ploche pôsobí kolmo nadol vonkajšia sila . V dôsledku toho ne- stlačiteľná kvapalina, uzavretá v nádobe piestami pôsobí na väčší piest, ktorý má plochu , silou , ktorá je orien- tovaná kolmo na piest a nahor. Pokiaľ pô- sobí sila , oba piesty sa budú pohybo- vať – menší nadol a väčší nahor. Ak chce- me, aby sa piesty nepohybovali a mali rov- nakú výšku nad dnom nádoby, t.j. aby bol

11. celý systém v rovnováhe, musíme na väčší piest pôsobiť silou rovnako veľkou a opač- ne orientovanou, ako , lebo vtedy budú tlaky na oba piesty produkované týmito silami rovnaké. Reprezentujme tieto tlaky hodnotou . Potom tejto hodnote bu- rovná zmena tlaku v kvapaline produkovaná silami a . Bude teda platiť (9) Z poslednej rovnice je okamžite jasné, že sila bude mať väčšiu veľkosť ako sila . Nech sila je predstavovaná tiažou záťaže, ktorú sme umiestnili na väčší piest, čím sme celé zariadenie dostali do stavu rovnováhy. Pôsobme teraz na menší piest konštantnou silou , ktorá je väčšia, ako sila, pri ktorej sú oba piesty v rovnová- he. V dôsledku toho nech sa tento piest posunie o vzdialenosť nadol, a väčší piest sa posunie o vzdialenosť nahor. Pritom objem kvapaliny, o ktorý sa posu- nie menší piest je rovnaký, ako objem kvapaliny, o ktorý sa posunie väčší piest, t.j. platí (10) Z rovnice (10) okamžite vyplýva, že vzdialenosť, o ktorú sa posunie väčší piest, je menšia ako vzdialenosť, o ktorú sa posunie menší piest. Berúc do úvahy posledné

12. dve rovnice a fakt, že vektory posunutia a majú rovnaký smer a orientá- ciu, ako im príslušné sily a , dostaneme tak pre prácu vykonanú silou , ktorá je tiež konštantná, Táto rovnica hovorí, že práca vykonaná vonkajšou silou na menšom pieste pri jeho posunutí nadol je rovná práci, ktorú vykoná sila produkovaná kvapalinou pri posunutí väčšieho piesta so záťažou nahor. Pomocou hydraulickej páky teda môžeme pretransformovať pôsobenie menšej sily na určitej vzdialenosti na pôsobenie väčšej sily na menšej vzdialenosti. Toto sa využíva napr. pri dvíhaní vozidiel – pumpujeme menšou silou na väčšej vzdialenosti, čím dosiahneme zdvihnutie ťažkého auta, aj keď na menšej vzdialenosti. Archimedov zákon Ponorme do vody mikroténový sáčok, ktorý má zanedbateľnú hmotnosť, naplnený vo- dou. Zistíme, že sáčok ani neklesá, ani nestúpa. To znamená, že tiažová sila pôsobia- ca na vodu v sáčku je vykompenzovaná inou silou na ňu pôsobiacou v smere zvisle nahor. Túto silu voláme vztlaková sila. Vztlaková sila pôsobí na telesá ponorené v te- kutine preto, lebo v nej so stúpajúcou hĺbkou stúpa tlak. To znamená, že tlak pôsobia-

13. ci na hornom konci sáčka je menší ako tlak pôsobiaci na jeho dolnom konci. Vzhľadom na to, že platí rovnica (3), sú potom aj sily pôsobiace na hornom konci sáčka menšie ako sily pôsobiace na jeho dolnom konci, ako to ukazuje aj obrázok. Vztlaková sila je vektorovým súčtom týchto síl – súčet horizontálnych zložiek všetkých síl je nula, takže sú- čet ich vertikálnych zložiek dá celkovú silu orientovanú nahor – vztlakovú silu . Keďže sáčok s vodou je v sta- tickej rovnováhe, musí byť vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na vodu v sáčku rovný nule. Pretože na vodu v sáčku pôsobia len dve si- ly - tiažová v smere zvisle nadol a vztlaková v smere zvisle nahor, musí platiť (11) kde je hmotnosť vody (kvapaliny) v sáčku. Keby sme sáčok s vodou nahradili kameňom toho istého objemu a tvaru, pôsobila by naňho voda tými istými silami ako na sáčok s vodou, a teda aj tá istá vztlaková sila. Keďže kameň má väčšiu hustotu ako voda, vztlaková sila (11) nebude stačiť na vykompenzovanie tiažovej sily a kameň padne na dno. Naopak drevo má menšiu hustotu ako voda. Preto vztlaková sila (11) by v prípade dreveného objektu ponoreného vo vode bola väčšia ako tiažová sila naň- ho pôsobiaca, takže drevený objekt by vyplával na povrch vody, pričom jeho ponore-

14. ná časť by mala taký objem, na ktorý, keby bol vyplnený vodou, by pôsobila tiažová sila rovnako veľká ako je tiažová sila pôsobiaca na celý drevený objekt. Je to preto, lebo na základe rovnice (11) pôsobí na drevo vztlaková sila rovná tiaži takého istého objemu vody ako je objem ponorenej časti dreva. Drevený objekt by teda bol za tých- to podmienok v statickej rovnováhe, hovoríme, že sa vo vode vznáša. Teraz teda mô- žeme formulovať Archimedov zákon: Keď je teleso úplne alebo čiastočne ponorené do tekutiny, pôsobí naňho vztlaková si- la spôsobená okolitou tekutinou. Táto sila má smer zvisle nahor a jej veľkosť je rovná tiaži tekutiny, ktorá má taký istý objem, ako je objem ponorenej časti telesa. Prúdenie ideálnej tekutiny • Prúdenie reálnych tekutín je veľmi komplikované a doposiaľ nie plne pochopené. • Skôr ako sa budeme ním zaoberať, odvodíme rovnicu kontinuity a Bernoulliho rovni- • cu, ktoré platia presne len pre ideálne tekutiny. Ideálne tekutiny sa vyznačujú týmito • vlastnosťami: • Prúdenie ideálnej tekutiny je stacionárne, t.j. rýchlosť prúdiacej tekutiny v jej ľu- • bovoľnom bode sa nemení ani veľkosťou, ani smerom. • Ideálna tekutina je nestlačiteľná, t.j. jej hustota, a teda objem, sa nemenia ani • za pôsobenia vonkajších síl. • V ideálnych tekutinách neexistuje vnútorné trenie – viskozita, t.j. ani pri prú- • dení v nich neexistujú dotyčnicové napätia.

15. Z neexistencie dotyčnicových napätí v ideálnej tekutine v stave pokoja vyplýva, že ich modul pružnosti v šmyku G je rovný nule. To ukazuje názorne tento príklad: Keďže častice ideálnej kvapaliny nie sú k se- be viazané nijakými silami, stačí na naklone- nie prepážok do šikmej polohy ľubovoľne malá sila. V Hookovom zákone pre šmyko- vé deformácie môžeme preto položiť tangenciálne napätie . Potom pri nenulovej deformá- cii môže byť tento zákon v tejto situácii splnený, len keď modul pružnosti v šmyku . Viskozita je meradlom odporu tekutiny tiecť. Napr. med má väčšiu viskozitu ako vo- da. Viskozita tekutiny je analógiou trenia medzi pevnými látkami. Oba javy sú me- chanizmami, prostredníctvom ktorých sa kinetická energia transformuje na teplo. Vieme tiež, že pri pohybe telesa vo viskóznej tekutine pôsobí naňho sila odporu, kto- rej príčinou je viskozita. 4. Prúdenie ideálnej tekutiny je nerotačné. To znamená, že častica tekutiny sa môže pohybovať po kruhovej dráhe, ale nemôže rotovať okolo osi prechádzajúcej jej ťa-

16. žiskom. Pri prúdení ideálnej tekutiny jej každá častica opisuje dráhu, ktorú nazývame prúdo- čiara. Keďže rýchlosť častice má vždy smer dotyčnice k jej dráhe, vektor rýchlosti častice ideálnej tekutiny má smer dotyčnice k prúdočiare. Prúdočiary sa nemôžu pre- tínať, pretože častica tekutiny nachádzajúca sa v ich priesečníku by mala dve rýchlosti. Rovnica kontinuity Táto rovnica dáva do vzťahu veľkosť rýchlosti prúdiacej ideálnej tekutiny v potrubí o meniacom sa priereze S a veľkosť tohto prierezu. Keďže ideálna tekutina je nestlačiteľná, potom pre trubicu na obrázku musí platiť, že ob- jem tekutiny, ktorý do nej za čas vojde jej ľavým koncom rýchlosťou , ktorej smer je rovnobežný s osou trubice, musí za rovnaký čas vyjsť jej pravým koncom rýchlosťou , ktorej smer je tiež rovnobežný s osou trubice. Dostaneme teda rovnosť odkiaľ okamžite vyplýva rovnica kontinuity

17. (12) Táto rovnica hovorí, že ak prúdi ideálna tekutina trubicou, ktorej prierez sa mení, bude mať tekutina väčšiu rýchlosť v častiach trubice s menším prierezom a naopak. Bernoulliho rovnica Na základe označení na obrázku môžeme napísať pre ideálnu tekutinu o hustote prúdiacu potrubím Bernoulliho rovnicu (13) Keď je tekutina v pokoji, dostaneme z (13) pre rovnicu (6) Ak pri prúdení tekutina nemení výšku, je =konšt, a (13) dáva

18. Posledná rovnica hovorí, že ak rýchlosť elementu tekutiny pri jeho pohybe pozdĺž horizontálnej prúdočiary stúpne, tlak v príslušnej časti tekutiny klesne a naopak. Iný- mi slovami, kde sú prúdočiary blízko pri sebe, t.j. kde je rýchlosť relatívne veľká, tlak je relatívne nízky a naopak. Dôkaz Bernoulliho rovnice Bernoulliho rovnica (13) presne platí len v prípade ideálnej tekutiny, v ktorej neexis- tuje viskozita, a teda kinetická energia tekutiny sa nemení na teplo. My však aj tak predpokladáme, že naša tekutina je ideálna a pre tento prípad aj dokážeme platnosť rovnice (13). Vyjdeme pritom z tvrdenia, ktoré bolo dokázané v kapitole o energii, že celková práca vykonaná všetkými silami pôsobiacimi na hmotný bod pri jeho presu- nutí po ľubovoľnej dráhe rovná sa kinetická energia tohto hmotného bodu na konci mínus kinetická energia hmotného bodu na začiatku tejto dráhy. Pri odvodení použijeme obrázky na predchádzajúcom slide. Tieto obrázky znázorňu- jú potrubie, v ktorom prúdi ideálna tekutina zľava doprava. V tekutine si vyberieme elementárny objem dV – označený fialovou farbou – a vyjadríme prácu konanú na tomto elemente tekutiny pri jeho prechode z výšky , t.j. od vstupu do oblasti potrubia ohraničenej zvislými čiarkovanými čiarami, do výšky , t.j. do výstupu z tejto oblasti. Budeme pritom predpokladať, že trubica je dostatočne úzka, takže priemery prierezov a sú zanedbateľné v porovnaní s rozdielom výškok a ,

19. takže zmeny tlaku a tiažovej potenciálnej energie v ľubovoľnom zvislom priereze potrubia sú zanedbateľné v porovnaní so zmenami týchto veličín medzi výškami a . Pri posúvaní nášho elementu zo vstupu na výstup pôsobia na neho dva druhy síl – tlakové sily spôsobené tekutinou a tiažová sila. Tlakové sily pôsobiace na náš element sa pri jeho posúvaní potrubím menia. Preto aby sme vypočítali prácu týchto síl vykonanú na našom elemente pri jeho presunutí zo vstupu na výstup trubice na slide 17, musíme tekutinu v trubici rozdeliť na veľmi veľa elementov, každý s objemom rovným objemu nášho elementu , ktorý je, ešte raz pripomeňme, elementárny, t.j. veľmi malý. Potom situáciu na vstupe do potrubia zobrazuje obrázok na nasledujú- com slide. Je tam vyznačených prvých 5 elementov, na ktoré je rozdelené potrubie. Pre názornosť sú elementy zobrazené ako značne veľké, avšak v skutočnosti sú podľa nášho predpokladu veľmi malé, takže susedné prierezy trubice ohraničujúce i-ty element sú prakticky rovnobežné aj v ohnutej časti trubice, a teda úseky, na ktoré rozdeľujú čiarkovanú červenú čiaru – os trubice – sú veľmi malé a aj v ohnutej časti trubice prakticky rovné a na kolmé. Každému takémuto úseku je priradený vektor , ktorý je s týmto úsekom totožný a je orientovaný v smere prúdenia tekutiny. Ďalej každému elementu je priradená tlaková sila produkovaná tekutinou , o ktorej predpokladáme, že je pozdĺž konštantná. Spojité rozloženie tlakových síl pozdĺž trubice sme teda aproximovali

20. diskrétnym, pričom však vzhľadom na veľmi malú dĺžku vektorov sa sily pri- radené susedným elementom líšia veľmi málo. Vektory sú kolmé na prierezy , t.j. majú rovnaký smer ako vektory . S horeuvedenými predpokladmi teraz už môžeme vypočítať prácu konanú tlakovými silami produkovanými tekutinou pri premiestnení elementu tejto tekutiny o elementár- nom objeme zo vstupu na výstup trubice, ako je ilustrované na obrázkoch na

21. slide 17. Túto prácu vypočítame ako súčet elementárnych prác konaných na elemente tekutiny pri jeho presunutí z elementu trubice – oblasti – 1 do oblasti 2, z oblasti 2 do oblasti 3, ..., až z oblasti N do oblasti N+1 na výstupe z trubice. Tieto práce vyjadríme na základe vzorca pre prácu konanú konštantnou silou, keďže sily sú podľa nášho predpokladu konštantné pozdĺž im príslušných vektorov . Elementárna práca konaná tlakovou silou pozdĺž posunutia je teda daná formulou kde je veľkosť sily, je veľkosť vektora posunutia a θ je uhol zvieraný vektormi a . Keď sa teda element tekutiny presúva z oblasti – elemen- tu – 1 do oblasti – elementu – 2, konajú prácu sily a – pozdĺž posunutia a pozdĺž posunutia , pričom je orientovaná v smere prúdenia tekutiny a je orientovaná proti tomuto smeru. Je teda práca vykonaná pri pre- sunutí elementu z elementu 1 do elementu 2 daná výrazom Podobne práca vykonaná v ďalšom kroku, t.j. pri presunutí z elementu 2 do elementu 3 je daná rovnicou

22. Ako vidíme, pri vyjadrení uvažujeme silu orientovanú v smere prúdenia tekutiny. Čiže je to sila rovnako veľká, ale opačne orientovaná ako uvažovaná pri výpočte . Nebudeme ju však inak označovať. Podobne by sme vyjadrili všetky ostatné práce , ktoré vykonajú tlakové sily v tekutine pri postupnom presúvaní elementu zo vstupu na výstup trubice na slide 17 až po posledný presun, ktorému by odpovedala elementárna práca kde je tlaková sila v tekutine na jej výstupe vo výške . Nie je ťažké vidieť, že sčítaním všetkých elementárnych prác dostaneme pre celkovú prácu vykonanú tlakovými silami tekutiny pri presunutí jej elementárne-ho objemu zo vstupu na výstup trubice zobrazenej na slide 17

23. Ďalej ešte potrebujeme vypočítať prácu, ktorú vykoná tiažová sila pri presunutí ele- mentu zo vstupu na výstup trubice na slide 17. Chceme pritom opäť použiť vzorec pre prácu konanú konštantnou silou pozdĺž nejakého rovného úseku. Preto musíme os ohnutých častí trubice rozdeliť na veľmi veľa veľmi malých úsekov, ktoré sú potom prakticky rovné a ktorým prislúchajú vektory posunutia . Pripomeň- me, že trubicu považujeme za veľmi tenkú, takže zmeny tiažovej potenciálnej energie v zvislých prierezoch trubice sú zanedbateľné. Preto môžeme dráhu, po ktorej sa na koná práca, nahradiť osou trubice. rovný úsek trubice ohnutý úsek trubice Použijúc prvý obrázok dostaneme pre prácu konanú tiažovou silou pozdĺž posunutia

24. kde G je veľkosť tiažovej sily, je veľkosť vektora a je pravouhlý priemet do zvislého smeru. Z druhého obrázku na predchádzajúcom slide po- tom vyplýva, že práca vykonaná tiažovou silou na elemente pri jeho posunutí pozdĺž ohnutej časti trubice je rovná súčtu priemetov do zvislého smeru všetkých elementárnych posunutí pozdĺž tejto časti trubice násobeného -G, t.j. vertikálnej vzdialenosti medzi začiatkom prvého posunutia a koncom posledného posunu- tia príslušiacim ohnutej časti trubice násobenej –G. Tretí obrázok na predchádzajúcom slide ukazuje, že práca vykonaná tiažovou silou na elemente pri jeho posunutí pozdĺž rovnej časti trubice je rovná , kde je zvislá vzdialenosť medzi začiatkom a koncom rovnej časti trubice. Z toho, čo sme práve uviedli, vyplýva, že práca vykonaná tiažovou silou na elemente tekutiny pri jeho presunutí zo vstupu na výstup trubice zobrazenej na slide 17 je daná výrazom kde ρ je hustota tekutiny a g je tiažové zrýchlenie, o ktorom predpokladáme, že sa medzi výškami a mení zanedbateľne.

25. Na základe tvrdenia uvedeného na slide 18 hovoriaceho v našom prípade, že celková práca vykonaná tlakovými silami tekutiny a tiažovou silou na elemente tekutiny pri jeho presunutí zo vstupu na výstup trubice na slide 17, je rovná rozdielu kinetic- kých energií tohto elementu na konci a na začiatku jeho dráhy, t.j. na výstupe a na vstupe z trubice, dostaneme rovnicu Elementárnou úpravou potom získame z poslednej rovnice Bernoulliho rovnicu (13).

26. Prúdenie reálnej tekutiny Prúdenie reálnej tekutiny sa líši od prúdenia ideálnej tekutiny hlavne v dôsledku existencie vnútorného trenia. Laminárne prúdenie Vzniká v pomerne úzkych potrubiach pri malých rýchlostiach prúdiacej tekutiny. V tekutine sa tvoria rovnobežné vrstvy, ktoré sa navzájom posúvajú nerovnakými rýchlosťami. Najväčšiu rýchlosť má tekutina v strede potrubia a prakticky nulovú rýchlosť má tekutina priliehajúca k potrubiu. Je to tak preto, lebo trenie medzi te- kutinou a potrubím je prakticky nekonečné a vplyvom vnútorného trenia vrstvy bliž- šie k stene potrubia brzdia vrstvy bližšie k stredu potrubia. Pre laminárne prú- denie je charakte- ristický parabolický rýchlostný profil, ako ukazuje obrá- zok, t.j. krivka, kto- rá vznikne vynesením veľkostí rýchlostí oproti vzdialenosti od stredu, je parabola. V dôsledku rôznej vzájomnej rýchlosti vrstiev pri laminárnom prúdení vzniká medzi

27. každými dvoma susednými vrstvami tangenciálne napätie, ktorého vyjadrenie teraz odvodíme. Podobnú situáciu ako v potrubí môžeme vyprodukovať aj tak, ako ukazuje obrázok, t.j. tekutinu uzavrieme medzi dve rovnobežné platne, z ktorých napr. dolná sa nepo- hybuje a horná sa pohybuje konštantnou rýchlosťou . Vzdialenosť platní je L. Nech os z je kolmá na platne a os x je rovnobežná s platňami a so smerom rýchlosti . Tekutina bude prúdiť vo vrstvách rovnobežných s osou x, pričom rýchlosť vrstiev bude klesať v smere od hora nadol. Najväčšiu rýchlosť rovnú prakticky bude mať vrstva tekutiny priliehajúca k hornej platni a prakticky nulovú rýchlosť bu- de mať vrstva priliehajúca k dolnej platni. Vrstvy tekutiny uzavretej medzi platňami majú potom iné stredné x-ové zložky rýchlosti , ktorých veľkosť sa mení so sú- radnicou z v medziach nula až . Preto tekutina pôsobí na hornú pohybujúcu sa platňu dotyčnicovou silou, ktorá sa ju snaží spomaliť, aby bola opäť obnovená rovno- váha, t.j. stav, kedy je tekutina v pokoji, alebo sa pohybuje tak, že všetky jej časti

28. majú rovnakú rýchlosť. Zvoľme si medzi platňami, ktoré obklopujú tekutinu, ľubovoľnú rovinu s platňami rovnobežnú, t.j. rovinu popísanú rovnicou z =konšt.Potom na základe predchádza- júcich úvah môžeme tvrdiť, že tekutina nachádzajúca sa pod touto rovinou pôsobí na tekutinu nad ňou tangenciálnou silou reprezentovanou tangenciálnym napätím, ktoré označíme . Vzorec pre toto napätie môžeme odvodiť z mikroskopických úvah vyplývajúcich z kinetickej teórie. Predpokladajme teda, že tekutinou uzavretou medzi platňami je plyn, že v súlade s  tým, čo sme uviedli vyššie, stredná hodnota x-ovej zložky jeho rýchlosti je funkciou súradnice z, t.j. , a že táto rýchlosť je oveľa menšia ako stredná hodnota rýchlosti tepelného pohybu častíc plynu . Opäť uvažujme v priestore medzi platňami ľubovoľnú rovinu z = konšt. V dôsledku pohybu plynu vo vrtsvách, ktorých rýchlosť vzrastá so vzrastajúcou z-ovou súradnicou v smere zdola nahor, častice nachádzajúce sa tesne nad touto rovinou budú mať o niečo väčšiu x-ovú zložku hybnosti ako častice pod touto rovinou. Tepelný pohyb spôsobí, že sa častice sponad roviny z = konšt. budú dostávať pod túto rovinu, pričom nesú so sebou aj svoju hybnosť, takže x-ová zložka hybnosti plynu tesne pod rovinou sa bude zväč- šovať. Naopak x-ová zložka hybnosti plynu tesne nad rovinou sa bude zmenšovať, lebo z oblasti tesne pod rovinou z = konšt. sa doňho budú dostávať častice s men- šou x-ovou zložkou hybnosti. Podľa druhého Newtonovho pohybového zákona zmena hybnosti systému za jednotku času je rovná sile pôsobiacej na tento systém.

29. Na základe toho tangenciálne napätie definujeme ako priemerný nárast za jed- notku času a na jednotkuplochy roviny ( z = konšt.) x-ovej zložky hybnosti plynu nad rovinou v dôsledku výsledného prenosu hybnosti prostredníctvom častíc plynu prechádzajúcich touto rovinou. Na základe týchto úvah teraz uvedieme jednoduché približné odvodenie vyjadrenia pre . Nech koncentrácia častíc plynu v blízkosti roviny z = konšt. je n. Touto rovi- nou prejdú tie častice, kto- rých posledná zrážka pre- behne vo vzdialenosti od tejto roviny v priemere rovnej alebo menšej, ako je stredná voľná dráha l. Vzhľadom na to, že pri izbovej teplote a tlaku rovnom jed- nej atmosfére sú stredné rýchlosti tepelného pohybu častíc plynu rádovo 106 až 107 ms-1 (stredná voľná dráha je rádovo 10-7 m), prejde rovinou z = konšt. za jednu sekundu veľký počet častíc. Tento počet môžeme odhadnúť, ak si uvedomíme, že tepelný pohyb častíc plynu je dokonale chaotický a že častice sa pohybujú v trojroz- mernom priestore.Preto môžeme povedať, že v priemere častíc, t.j. 1/6

30. z celkového počtu častíco koncentrácii n nachádzajúcich sa v stĺpci o podstave 1 m2 a výške , o ktorých predpokladáme, že sa pohybujú len v smere osi z rov- nakou rýchlosťou , prejde jednotkovou plochou roviny z = konšt. za jednotku času v smere zdola a zhruba taký istý počet častíc prejde jednotkovou plochou tejto roviny za jednotku času v smere zhora. Keďže stredná hodnota x-ovej zložky rých- losti tepelného pohybu častíc je nulová, je stredná hodnota x-ovej zložky celkovej rýchlostí častíc rovná strednej rýchlosti prúdenia plynu a táto rýchlosť, ako vieme, závisí od súradnice z. Preto aproximujme x-ovú zložku rýchlosti tých častíc, ktoré prejdú rovinou z = konšt. zdola, hodnotou, ktorú nadobúda táto rýchlosť pre z-ovú súradnicu . Označme ju . Podobne pre častice prechádza- júce rovinou z = konšt. zhora aproximujme ich x-ovú zložku rýchlosti jej hodnotou v rovine so súradnicou . Označme túto hodnotu . Potom ak čas- tice plynu majú hmotnosť m, každá častica, ktorá prechádza rovinou z = konšt. zdola, prenáša cez ňu strednú x-ovú zložku hybnosti a podobne kaž- dá častica, ktorá prechádza rovinou z = konšt. zhora, prenáša cez ňu strednú x-ovú zložku hybnosti . Stredná hodnota x-ovej zložky hybnosti pre- nesenej za jednotku času jednotkovou plochou roviny v smere nahor je teda (14)

31. a podobne stredná hodnota x-ovej zložky hybnosti prenesenej za jednotku času jed- notkovou plochou roviny v smere nadol je (15) Odčítaním (15) od (14) potom dostaneme výslený prenos zdola nahor x-ovej zložky hybnosti jednotkovou plochou za jednotku času prostredníctvom častíc plynu, t.j. tangenciálne napätie (16) Oba členy v hranatej zátvorke v (16) môžeme rozvinúť do Taylorovho radu podľa mocnín l (17) Ak predpokladáme, že gradient je malý, t.j. taký malý, že stredná rých- losť sa príliš nemení na vzdialenostiach porovnateľných s l, môžeme sa v roz-

32. vojoch (17) obmedziť len na ich prvé dva členy, takže pre tangenciálne napätie dostaneme hľadaný vzorec (18) kde (19) je koeficient viskozity. Experimenty potvrdili, že ak gradient nie je príliš veľký, platí (18) ako pre plyny, tak aj pre kvapaliny. Ak je tento gradient kladný, potom tangenciálne na- pätie je záporné, čo je v súlade s tým, že vrstvy prúdiacej tekutiny s menšou z-ovou súradnicou spomaľujú vrstvy s väčšou z-ovou súradnicou a naopak podľa zákona akcie a reakcie vrstvy s väčšou z-ovou súradnicou urýchľujú vrstvy s menšou z-ovou súradnicou. Na záver ešte podotknime, že vzhľadom na to, že práve uvedené odvodenie bolo veľ- mi zjednodušené a nebralo do úvahy presné metódy získania priemerov relevantných veličín, faktor 1/3 neodpovedá presnému výpočtu, avšak získaná závislosť od n, , m a l v rovnici (19) je správna.

33. Napokon sa opäť vráťme k laminárnemu prúdeniu tekutiny v potrubí. Toto prúdenie je vírové. Jeho prúdové trubice, čo sú plášte trubicových útvarov vytvorených z prú- dočiar, sa skladajú z vírových vlákien, ktoré sú tvorené veľmi malými vírmi, ako u- kazuje obrázok. Tieto víry vznikajú preto, lebo ak vyberieme z v tekutine malý objem, tak časť tohto objemu, ktorá je bližšie k k stredu potrubia sa pohybuje rýchlejšie ako časť tohto objemu nachádzajúca sa bližšie k jeho stenám, takže celý vybraný objem má tendenciu rotovať okolo dotyčnice ku kružnici, ktorá je osou vírového vlákna. Vektor uhlovej rýchlosti otáčania vírov má te- da smer dotyčnice k tejto kružnici. Nakoniec uveďme fakt, že straty mechanickej energie pri laminárnom prúdení spôso- bené vnútorným trením sú úmerné prvej mocnine strednej rýchlosti toku. Turbulentné prúdenie

34. Tento typ prúdenia vzniká, keď jeho stredná rýchlosť prekročí určitú kritickú hodno- tu. Vtedy začne prevládať rušivý vplyv vírov, a preto sa prúdnice začnú navzájom prepletať, t.j. častice tekutiny začnú konať okrem postupného pohybu aj nepravidelné vírivé pohyby. Straty mechanickej energie pri tomto prúdení v dôsledku vnútorného trenia sú približne úmerné druhej mocnine strednej rýchlosti toku. Stacionárne (ustálené) prúdenie Je charakteristické tým, že rýchlosť, tlak a teplota sa v ktoromkoľvek mieste prúdia- cej tekutiny nemenia s časom. Toto je presne splnené pri laminárnom prúdení. O tur- bulentnom prúdení hovoríme, že je ustálené, ak jeho stredná rýchlosť je v časovom priemere konštantná. Reynoldsovo číslo je kritériom toho, či v príslušnom zariadení je prúdenie laminár- ne alebo turbulentné. Je dané vzťahom kde l je význačný lineárny rozmer zariadenia, napr. priemer trubice, je hustota tekutiny a je stredná rýchlosť jej prúdenia. Pre prípad laminárneho prúdenia trubicou je definovaná vzorcom

35. kde V je objem tekutiny, ktorý pretečie prierezom S trubice za čas t. Malé Reynoldsovo číslo znamená laminárne prúdenie, veľké Reynoldsovo číslo je charakteristické pre turbulentné prúdenie. Kritická hodnota tohto čísla, pri ktorej pre- chádza jedno z týchto typov prúdení v druhé, je iná pre každé zariadenie a určuje sa experimentálne. Povrchové napätie kvapalín V tejto časti sa budeme zaoberať kvapalinami a budeme predpokladať, že sa skladajú z molekúl. V porovnaní s plynmi sú vzájomné vzdialenosti molekúl kvapaliny oveľa menšie, a preto treba pri štúdiu kvapalín brať do úvahy vplyv príťažlivých síl, ktoré, ako vieme z kapitoly o stavbe látok, pôsobia medzi molekulami, ak ich vzdialenosť je väčšia, ako rovnovážna vzdialenosť. Tieto sily však veľmi rýchlo klesajú so vzrastajúcou vzdialenosťou molekúl, a to približne s prevrátenou hodnotou siedmej mocniny vzdia- lenosti. Preto môžeme príťažlivý účinok molekúl nachádzajúcich sa vo vzdialenosti väčšej od vybranej molekuly, ako je určitá vzdialenosť, zanedbať. Táto vzdialenosť udáva pre každú molekulu sféru molekulového pôsobenia. Ak sa molekula kvapaliny nachádza vo vzdialenosti väčšej od povrchu tejto kvapaliny, ako je polomer sféry mo-

36. lekulového pôsobenia, silové účinky všet- kých molekúl vo vnútri tejto sféry sa navzá- jom vykompenzujú a na molekulu v strede sféry nepôsobí nijaká výsledná sila. Ak sa molekula nachádza vo vzdialenosti menšej od povrchu kvapaliny, ako je polomer sféry molekulového pôsobenia, časť tejto sféry sa nachádza nad hladinou, takže nie je vykom- penzovaný silový účinok molekúl nachádzajúcich sa v časti sféry molekulového pôsobenia, ktorá je pod hladinou. Tu predpokladáme, že nad hladinou kvapaliny je napr. vzduch, ktorý je oveľa redší ako kvapalina, a preto silové účinky jeho molekúl na molekuly na po- vrchu kvapaliny môžeme zanedbať. Výslednú silu pôsobiacu na molekulu, ktorá je bližšie k povrchu kvapaliny, ako je polomer jej sféry molekulového pôsobenia, rozlož- me na zložky rovnobežné s povrchom a zložku na povrch kolmú, ako ukazuje obrá- zok, kde sú tieto zložky vyznačené farebne. Zložky rovnobežné s povrchom kvapali- ny sa navzájom vykompenzujú v dôsledku symetrie sféry. Zložka výslednej sily kol- má na povrch kvapaliny je však nenulová a je orientovaná dovnútra kvapaliny. Táto zložka je tým väčšia, čím je molekula v menšej vzdialenosti od povrchu kvapaliny. To znamená, že vrstva kvapaliny obsahujúca molekuly, ktoré sú vo vzdialenosti menšej od jej povrchu, ako je polomer ich sféry molekulového pôsobenia – povrchová vrstva

37. – pôsobí v dôsledku toho, že molekuly v tejto vrstve sú priťahované nenulovou si- lou molekulami zvnútra kvapaliny, tlakom kolmým na povrch kvapaliny a smerujú- cim dovnútra kvapaliny – molekulovým tlakom. Ak teda chceme presunúť molekulu zvnútra kvapaliny na jej povrch, musíme konať prácu proti silám molekulového tlaku, t.j. silám, ktorými pôsobia molekuly vo vnútri kvapaliny na túto molekulu, keď je už v blízkosti povrchu. Tým sa zvyšuje potenciálna energia molekuly. Preto povrchu kvapalín prisudzujeme osobitný druh potenciálnej energie, ktorú nazývame povrchová energia kvapalín. Vieme, že každý systém sa snaží zaujať stav, ktorému odpovedá minimum jeho po- tenciálnej energie. Aby bola povrchová energia kvapaliny čo najmenšia, musí byť čo najmenší počet molekúl v jej povrchovej vrstve. To je splnené vtedy, keď je povrch kvapaliny čo najmenší. Povrch kvapaliny má teda tendenciu zaujať taký tvar, aby mal za daných podmienok čo najmenšiu plochu. Keďže daný objem látky má najmen- ší povrch, ak má tvar gule, pri absencii vonkajších síl by ľubovoľné množstvo kvapa- liny zaujalo tvar gule. Na Zemi však pôsobí napr. gravitačná sila, preto väčšie množ- stvá kvapaliny, napr. v nádobách, zaujímajú tvar s rovinným povrchom s výnimkou miest dotyku kvapaliny so stenami nádoby. Menšie množstvá kvapaliny, napr. kva- pôčky hmly, však majú guľový tvar, pretože gravitačná sila na ne pôsobiaca je za- nedbateľne malá. Na tendenciu povrchu kvapaliny zaujať čo najmenšiu plochu sa môžeme pozerať

38. ako na dôsledok pôsobenia síl rovnobežných s povrchom – dotyčnicových síl – pô- sobiacich v povrchovej vrstve tak, aby mal daný objem kvapaliny čo najmenší po- vrch. Na zväčšenie povrchu kvapaliny, ktorá je v rovnovážnom stave, t.j. v stave s minimálnou potenciálnou energiou, treba teda vykonať prácu proti pôsobiacim do- tyčnicovým silám. Tieto sily reprezentujeme povrchovým napätím, t.j. silou, pôso- biacou v rovine povrchu kvapaliny na dĺžkovú jednotku orientovanú kolmo na smer tejto sily. Ponorme do roztoku mydla a glycerolu vo vode obdĺžnikový rámček s pohyb- livou jednou stranou, ktorá má dĺžku l. Na rámčeku sa vytvorí kvapalinová blana s povrchovými vrstvami na oboch stranách. Povrchové vrstvy kvapalinovej blany pôsobia na pohyblivú priečku silou , kde je povrchové napätie na oboch povrchoch kvapalinovej blany. Len pripomeňme, že táto sila je kolmá na po- hyblivú priečku a leží v rovine blany. Ak predpokla- dáme absenciu trenia medzi pohyblivou priečkou a ostatným rámčekom, účinkom tejto sily sa priečka zač- ne pohybovať k protiľahlej strane rámčeka. Ak chceme, aby k tomuto pohybu nedo- šlo, musíme na pohyblivú priečku pôsobiť rovnako veľkou a opačne orientovanou

39. silou . Takou istou silou musíme pôsobiť, ak chceme pohyblivú priečku posunúť konštantnou rýchlosťou o elementárnu dĺžku dx v smere pôsobenia tejto sily. Vykonáme pritom elementárnu prácu o ktorú sa zväčší povrchová energia kvapaliny tvoriacej blanu. Množstvo povrchovej energie pripadajúcej na jednotku plochy bude teda Javyna rozhraní troch skupenstiev Dajme na vodorovnú hladinu vody kvapku parafínového oleja. Olej sa nerozprestrie po celej vodnej hladine, ale ostane po nadobud- nutí šošovkovitého tvaru sústredený na jed- nom mieste. V kružnici, ktorá je prieseční- kom vody a kvapky sa stýkajú tri rozhrania: rozhranie vzduchu a oleja, ktorému pri- slúcha povrchové napätie , rozhranie vzduchu a vody, ktorému prislúcha po- vrchové napätie , a rozhranie oleja a vody s povrchovým napätím . Napätie

40. sa bude snažiť kvapku roztiahnuť, aby bol povrch vody čo najmenší. Naopak napätia a sa budú snažiť kvapku čo najviac stiahnuť, aby jej povrch bol čo najmenší po oboch jej stranách. Pôsobia tu teda dve protichodné tendencie. V prípade parafínového oleja sa však medzi nimi ustáli rovnováha - kvapka sa roztiahne na vod- nej hladine len natoľko, aby sily účinkujúce na dĺžkový element ds kružnice tvoriacej rozhranie všetkých troch prostredí boli v rovnováhe, t.j. aby súčet všetkých troch po- vrchových napätí, ak ich uvažujeme ako vektory, bol nula (20) Táto rovnosť, ako ukazuje aj obrázok, je splnená vtedy, keď čo je splnené práve pre parafínový olej. Rovnováha (20) však nikdy nenastane napr. pre olej olivový, pre ktorý platí nerovnosť takže kvapka tohto oleja sa roztiahne vo veľmi tenkej vrstve po čo najväčšom po- vrchu vody. Kvapalina má za rovnovážneho stavu povrch v každom svojom bode kolmý na vý- slednicu síl pôsobiacich v tomto bode. Keď má výsledná sila aj zložku dotyčnicovú k povrchu kvapaliny, tento nie je ustálený, t.j. molekuly kvapaliny sa budú pohybovať

41. dovtedy, kým jej povrch nenadobudne taký tvar, pre ktorý je kvapalina v rovnováhe. Uvažujme kvapalinu v styku s pevnou stenou nádoby a napr. vzduchom a za- nedbajme pôsobenie častíc vzduchu. Aby kvapalina pri styku so stenou nádoby bola v rovnováhe, jej povrch v tejto oblasti vo všeobecnosti nie je rovinný. Rôzne mož- nosti ukazuje obrázok. Tu pôsobia na molekulu kvapaliny jednak ostatné molekuly kvapaliny, jednak molekuly steny nádoby. Typ povrchu, ktorý sa ustáli pri stene, závi- sí od vzájomného vzťahu výsledníc síl, ktorými pôsobia na molekulu pri stene osta- tné molekuly kvapaliny – sila - a molekuly steny – sila . Upozorňujeme, že sily , a nepredstavujú sily povrchového napätia. Zahrňme teraz do našich úvah aj tretie prostredie – vzduch. Podobne ako pri kvapke oleja i v tomto prípade budú na spoločnom rozhraní všetkých troch prostredí – steny nádoby, kvapaliny v nej a vzduchu nad kvapalinou – pôsobiť tri povrchové napätia:

42. na rozhraní kvapalina- vzduch, na rozhraní vzduch – stena nádoby a na rozhraní kvapalina – stena nádoby. Aký typ povrchu vznikne pri stene ná- doby, závisí od vzájomného vzťahu me- dzi týmito tromi povrchovými napätia- mi. V rovnováhe sa musia zvislé zlož- ky všetkých troch napätí vykompenzo- vať, t.j. musí platiť (21) odkiaľ pre krajový uhol dostane- me vzťah (22) Ak teda platí a zároveň je uhol ostrý a povrch pri stene nádoby bude konkávny. Hovoríme, že kvapalina zmáča steny nádoby. Napä- tie je vtedy súčtom dvoch kladných čísel - a . Ak naopak platí a zároveň je krajový uhol tupý a povrch kva- paliny pri stene nádoby bude konvexný, t.j. kvapalina nezmáča steny nádoby. V tom-

43. to prípade je napätie súčtom kladných čísel a . V situácii, kedy nemôže na rozhraní všetkých troch prostredí nastať rovnová- ha, ani keď . Preto sa kvapalina dvíha po stene, až kým ju v tenkej vrstve nepokryje celú. Ak sú hodnoty povrchových napätí také, že nenas- tane rovnováha ani pre , čo sa prejaví tým, že sa medzi kvapalinou a stenou po celej ploche ich styku vytvorí tenká vrstvička vzduchu, t.j. kvapalina vô- bec nezmáča steny nádoby. Kapilárne javy Kapilárne javy sú javy, ktoré nastávajú, keď ponoríme do širšej nádoby s kvapalinou úzku trubicu – kapiláru. Ako už vieme, podľa toho, aký je vzťah medzi povrchovými napätiami na spoločnom rozhraní kapilára – kvapalina – vzduch, kvapalina buď zmá- ča alebo nezmáča steny kapiláry. V prvom prípade nastane kapilárna elevácia, t.j. kva- palina v kapiláre vystúpi nad hladinu kvapaliny v nádobe, v druhom prípade nastane kapilárna depresia, čo znamená, že povrch kvapaliny v kapiláre klesne pod hladinu kvapaliny v okolitej nádobe. K vysvetleniu kapilárnej elevácie a kapilárnej depresie nás privedú nasledujúce úvahy. Obrázok na nasledujúcom slide ilustruje silové pôsobenie na molekulu nachádzajúcu sa pod rôznymi typmi povrchov. Na molekulu nachádzajúcu sa pod konvexným po- vrchom pôsobí najväčšia sila, lebo pôsobenie ostatných molekúl zo sféry jej moleku- lového pôsobenia je najmenej vykompenzované. Keď je molekula pod povrchom ro-

44. vinným, pôsobí na ňu menšia sila, ako pod povrchom konvexným, lebo pôsobenie os- tatných molekúl zo sféry jej molekulového pôsobenia je viac vykompenzované. Pod konkávnym povrchom pôsobí na molekulu v povrchovej vrstve ešte menšia sila, ako keď je molekula pod povrchom rovinným, lebo v tomto prípade je pôsobenie ostat- ných molekúl zo sféry jej molekulového pôsobenia najlepšie vykompenzované. Už sme hovorili o molekulovom tlaku. Je to tlak, ktorým pôsobia na molekulu v po- vrchovej vrstve ostatné molekuly kvapaliny, ak je povrch kvapaliny rovinný a voláme ho aj kohézny tlak. Z toho, čo sme práve povedali, však plynie, že ak je povrch kvapa- liny zakrivený, tlak pôsobiaci na molekulu v povrchovej vrstve sa líši od kohézneho tlaku. Pod konkávnym povrchom bude tlak menší ako kohézny tlak a pod konvexným povrchom naopak tlak väčší. Dodatkový tlak, o ktorý sa zmení kohézny tlak pod za- kriveným povrchom, nazývame tlak kapilárny. V prípade konkávneho povrchu je ten- to tlak záporný, v prípade konvexného povrchu je tento tlak kladný. Na obecne za- krivenom povrchu môžeme v každom jeho bode viesť dva navzájom na seba kolmé normálové rezy a , v ktorých má tento povrch najväčší a najmenší polo- mer krivosti , resp. . Potom možno ukázať, že v prípade obecne zakrive- ného povrchu kvapaliny, na ktorom pôsobí povrchové napätie , je kapilárny tlak

45. daný vzťahom (23) Polomer krivosti je kladný, ak priesečník normálového rezu povrchom s povrchom je krivka, ktorá je vzhľadom na prostredie nad kvapalinou konvexná (vypuklá). Polo- mer krivosti je záporný, ak je táto krivka konkávna (vy- dutá). Ak je povrch kvapaliny zakrivený do tvaru guľovej plochy, je a (23) prejde na tvar kde znamienko “+” korešponduje vypuklému povrchu a znamienko “-” korešpondu- je vydutému povrchu. Molekulový tlak pod zakriveným guľovým povrchom je teda daný rovnicou

46. kde je kohézny tlak, t.j. tlak pôsobiaci na molekulu kvapaliny v jej povrchovej vrstve pod rovinným povrchom. Opäť znamienko “+” korešponduje vypuklému po- vrchu a znamienko “-” vydutému povrchu. Na základe toho, čo sme povedali na pos- ledných slidoch, môžeme teraz vysvetliť javy kapilárnej elevácie a depresie. Tesne pod konkávnym po- vrchom v kapiláre je niž- ší tlak ako tesne pod ro- vinným povrchom v kva- paline v nádobe. Kvapali- na v kapiláre musí teda vystúpiť do takej výšky h nad vodorovný povrch kvapaliny v nádobe, aby hydrostatický tlak vykompenzoval zníženie tlaku o , t.j. aby v ľubo- voľnej rovine prechádzajúcej pod povrchom kvapaliny v nádobe bol rovnaký tlak. Je teda (24)

47. Rovnaký výsledok dostaneme aj v prípade kapilárnej depresie. V tomto prípade kva- palina nezmáča steny kapiláry, a tak molekulový tlak pod hladinou kvapaliny v kapi- láre je o väčší, ako pod rovinným povrchom kvapaliny v nádobe. Preto aby bol tlak v ľubovoľnej horizontálnej rovine prechádzajúcej pod povrchom kvapaliny v kapiláre rovnaký ako v kvapaline v nádobe, musí hladina kvapaliny v kapiláre po- klesnúť o hodnotu h pod hladinu kvapaliny v nádobe, t.j. evidentne platí rovnica (24). Ak ešte vyjadríme polomer prierezu kapiláry r ako , kde R je polomer krivosti povrchu v kapiláre, získame vyjadrenie