Dane informacyjne:

2. Dane informacyjne: Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie w Kaliszu Pomorskim ID Grupy: 98/6_mf_g2 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych Semestr III rok szkolny 2010/11

3. W naszej prezentacji: Wyjaśnimy zasady działań na potęgach. Opowiemy o notacji wykładniczej i jej zastosowaniu. Zobaczycie świat roślin i zwierząt oraz wszechświat w nietypowych rozmiarach. Przedstawimy nieaddytywne systemy liczenia. Omówimy system dwójkowy stosowany w informatyce. Dzięki niebanalnym zadaniom, anegdotom i ciekawostkom przestaniecie się bać małych i wielkich liczb. A to nasza Pani…

4. W świecie potęg

5. Potęgą nazywamy iloczyn jednakowych czynników.

6. Budowa potęgi

7. Zapamiętaj!

8. Wzory w świecie potęg

9. Mnożenie potęg o jednakowym podstawach. 25*24=(2*2*2*2*2)*(2*2*2*2)= 29 Iloczynpotęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników tych potęg. Dzielenie potęg o jednakowym podstawach. 54 :52=(5*5*5*5):(5*5)=52 Iloraz potęg o jednakowych podstawach jest potęgą o tej samej podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników Potęga potęgi (23)4=(2*2*2)*(2*2*2)*(2*2*2)*(2*2*2)= 212 Potęga potęgi jest potęgą o tej samej podstawie i wykładniku równym iloczynowi obu wykładników. Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach. 54*24=(5*5*5*5)*(2*2*2*2)=(5*2)*(5*2)*(5*2)*(5*2)=(5*2)4=104 Iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym wykładniku i podstawie równej iloczynowi podstaw Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach. 46:26=(4*4*4*4*4*4):(2*2*2*2*2*2)=(4:2)*(4:2)*(4:2)*(4:2)*(4:2)*(4:2)= (4:2)6=26 Iloraz potęg o jednakowych wykładnikach równy jest potędze o tym samym wykładniku i podstawie równej ilorazowi podstaw. Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym. (½)-5=25 Potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym określa się odwrotnością podstawy i ,,zabraniu” minusa z wykładnika.

10. Notacja wykładnicza Liczba zapisana w notacji wykładniczej jest iloczynem liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10. a*10n1 ≤ a <10 2370000=2,37*106 0,000000032=3,2*10-8

11.  Z liczbami-olbrzymami i liczbami-liliputami spotykamy się nie tylko w  obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i  w  przyrodzie, zarówno w  mikroświecie, w  świecie atomów, jak i  w  makroświecie, w kosmosie, w  świecie galaktyk. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a  zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i  "nieskończenie" wielkiego.

12. Liczba olbrzym 999 to hiperkolos Liczba liliput (999)-1 to superliliput

13. Ciekawostki • objętość Ziemi – 1,1*1012 km3 • masa Księżyca – 7,35*1022kg • masa atomu sodu – 3,82*10-23g • Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonylionów gramów. • Ciało ludzkie składa się z 1028atomów • Ziemia ma ich 1052 • Widocznych gwiazd jest około 1087

14. jeden 1 10o tysiąc 1000 103 milion 1000 000 106 miliard 1000 000 000 109 bilion 1000 000 000 000 1012 biliard 1000 000 000 000 000 1015 trylion 1000 000 000 000 000 000 1018 tryliard 1000 000 000 000 000 000 000 1021 centylion ... 10100 centezylion ... 10600 jedna dziesiąta 0,1 10-1 jedna setna 0,01 10-2 jedna tysięczna 0,001 10-3 jedna milionowa 0,000001 10-6 jedna miliardowa 0,000000001 10-9 jedna bilionowa 0, ... 10-12 jedna biliardowa 0,... 10-15 jedna trylionowa 0,... 10-18

15. Trochę historii

16. Amerykański matematyk - Edward Kasner, chcąc przyzwyczaić swego siostrzeńca do wielkich liczb, wynalazł pewnego razu googol, liczbę równą 10100, a więc liczbę ze stoma zerami. Dla matematyka przyzwyczajonego do operowania nieskończonością nieduża to liczba, a jednak przekracza ona wszelkie ilości spotykane w świecie realnym i nie ma przez to większego znaczenia fizycznego.

17. W wielkiej świątyni Benares w Hanoi, pod kopułą, która zaznacza środek świata, znajduje się płytka z brązu, na której umocowane są trzy diamentowe igły, wysokie na łokieć i cienkie jak talia osy. Na jednej z tych igieł, w momencie stworzenia świata, Bóg umieścił 64 krążki ze szczerego złota. Największy z nich leży na płytce z brązu, a pozostałe jeden na drugim, idąc malejąco od największego do najmniejszego. Bez przerwy we dnie i w nocy kapłani przekładają krążki z jednej diamentowej igły na drugą, przestrzegając niewzruszonych praw Brahma. Prawa te chcą, aby kapłan na służbie brał tylko jeden krążek na raz i aby umieszczał go na jednej z igieł w ten sposób, by nigdy nie znalazł się pod nim krążek mniejszy. Wówczas, gdy 64 krążki zostaną przełożone z igły, na której umieścił je Bóg w momencie stworzenia świata, na jedną z dwóch pozostałych igieł, wieża, świątynia, bramini rozsypią się w proch i w jednym oka mgnieniu nastąpi koniec świata. Oczywiście, nie musimy przejmować się przepowiednią zawartą w tej legendzie, ponieważ, czas potrzebny na przełożenie 64 krążków jest bardzo długi, ponieważ dla 64 krążków ilość ruchów wynosi 264-1 i jest to olbrzymia, 19-cyfrowa liczba. Jeśli przyjąć, że każdy ruch trwa 1 sekundę to przełożenie 64 krążków będzie trwać setki miliardów lat.

18. Archimedes przyjął, że obwód Ziemi ma długość trzystu miriad stadionów i że wszechświat jest kulą na powierzchni której znajdują się gwiazdy, a Ziemia, Słońce i inne planety są we wnętrzu tej kuli. Promień wszechświata był 10000 razy większy odo odległości Ziemi od Słońca, którego odległość przyjmowano jako 15 · 107 km. Promień wszechświata według Archimedesa równał się 15 · 1012 km. Podstawiając do wzoru na objętość kuli otrzymujemy w przybliżeniu 135 · 1038 km3. Archimedes przyjmował, że w jednym ziarnku maku mieści się 10000 ziarenek najdrobniejszego piasku, to w jednym m3 jest ich 8 · 1013, a w km3 8 · 1022. Mnożąc liczbę wyrażającą objętość wszechświata przez liczbą ziaren w kilometrze sześciennym otrzymujemy liczbę bliską 1063.

19. Niedziesiątkowe systemy liczenia

20. Zapis liczb w różnych systemach opiera się na tych samych zasadach co w systemie dziesiątkowym a różnią się ilością używanych cyfr. W systemie dwójkowym używamy dwóch cyfr (0;1), w trójkowym trzech (0;1;2) itd. W systemach jedenastkowym , dwunastkowym itd. trzeba wprowadzić dodatkowe symbole na oznaczenia liczb : 10 , 11 itd. na przykład duże litery alfabetu. 53=32+16+0+4+0+1=1×25+1×24+0×23 +1×22+0×21+1×20=(110101)2 (234)5 = 2×52+3×51+4×50 = 50+15+4 = 69

21. Na liczbach zapisanych w innych systemach można również wykonywać działania np. dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. (2265)7 + (5604)7 (11202)7 (111)2 * (101)2 (111)2 + (111)2 (100011)2 (1201)3 - (212)3 (212)3

23. Potęgi w informatyce

24. W informatyce ma zastosowanie system dwójkowy, opary na dwóch liczbach: 0 i 1. Kolejne liczby- w systemie dziesiętnym to: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd. W systemie dwójkowym wyglądają one odpowiednio: 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Nazwa bit pochodzi od angielskiego określenia Binary Digit (dwójkowa cyfra). Wykorzystuje się również system ósemkowy do skrócenia zapisu dwójkowego. Używa się również system szesnastkowy do adresowania komórek pamięci przez urządzenia lub do kodowania kolorów użytych na stronach internetowych. Bajt to najmniejsza adresowalna jednostka informacji pamięci komputerowej składająca się z 8 bitów. Słowo "bajt" (ang. byte) powstało od angielskiego "bite" (gryźć), jako najmniejsza porcja danych, które komputer może "ugryźć" za jednym razem (czyli pobrać, zapisać, przetworzyć).

25. Wielokrotności bajtów

26. Ciekawostki • Obecnie komputery są tak małe, że mogą zmieścić się nawet w zegarku i zdarza się, ze zasilane są baterią. • Pierwszy komputer nazywał się „UNIVAC” i pracował z prędkością 0,008 MHz (współczesne PC pracują z prędkością do 3,4 GHz – czyli parę milionów razy szybciej).Kosztowało to cudeńko 1,5 miliona dolarów.Wymiary : 2,5 metra wysokości oraz 24 metry długości; waga –15 ton. Pamięć zdolna była przechować 12 MB danych

27. Dawniej-1944r. Dziś-2011r.

28. Koniec