Geometri Netral ?

1. Geometri Netral ? • Geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes

2. A. Jumlah Sudut dalam Segitiga • Teorema 1 Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari 1800. Bukti:

3. Bukti Teorema 1

4. F B 2’ 3 E 2 3’ 1 4 C A

5. Bukti Teorema 2

6. Teorema 3 Jumlah sudut segitiga sembarang kurang dari atau sama dengan 1800. Bukti:

7. Bukti Teorema 3

8. Bukti Teorema 3

9. B. JumlahSudutPersegiPanjang Definisi: Sebuah segiempat dinamakan persegi panjang apabila besar setiap sudutnya 900. Oleh karena geometri yang kita bicarakan adalah geometri netral yang tidak menganut aksioma kesejajaran euclides, maka sifat-sifat dalam persegi panjang yang kita kenal harus dibuktikan tidak dengan menggunakan sifat-sifat yang ada pada persegi panjang.

10. Teorema 1 Jikaadasebuahpersegipanjang dalam geometri netral, makaakanadajugasebuahpersegipanjangdengansalahsatusisinyalebihpanjangdariruasgaristertentu. Bukti: Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan ruas garis yang diketahui adalah XY. Harus dibuktikan adanya persegi panjang dengan panjang salah satu sisi melebihi XY.

11. C2 B C C1 Cn A Dn D2 D D1 x Y Bukti Teorema 1 Perpanjang AD sampai DD1 sehingga AD = DD1. Perpanjang BC sampai CC1 sehingga BC = CC1. Artinya ada D1 dengan ADD1 sehingga panjang AD = DD1 dan ada C1 dengan BCC1 sehingga panjang BC = CC1. Tarik C1D1 maka AD1C1B adalah sebuah persegi panjang. Proses ini kita lanjutkan. Jadi ada D­2 dengan DD1D2 sehingga panjang DD1 = D1D2 dan ada C2 dengan CC1C2 sehingga CC1 = C1C2. Tarik C2D2 maka AD2C2B suatu persegi panjang. Menurut aksioma archimides (aksioma kekontinuan), ada Dn sehingga ADn = n x AD dan ADn > XY, maka ADnCnB suatu persegi panjang. Persegi panjang inilah yang dicari.

12. Teorema 2 Jika ada sebuah persegi panjang dalam geometri netral maka ada persegi panjang yang panjangnya dua sisi yang bersisihan masing-masing melebihi panjang dua ruas garis yang diketahui. Bukti: Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan ruas garis XY dan PQ.

13. G H Q C B E P A D F X Y Bukti Teorema 2 Dengan menggunakan teorema 1 dua kali maka kita peroleh persegi panjang ABEF dengan AF > XY. Kemudian ada persegi panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka persegi panjang AGHF adalah persegi panjang yang dicari

14. Teorema3 Jikadalam suatu geometri netral ada persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga siku-siku sama dengan 1800 Bukti : Prosedurpembuktiannyaadalahdengancaramenunjukkanbahwa: 1. Setiapsegitigasiku-sikuadalahtiruandarisegitiga yang dibentukdengancaramembelahpersegipanjangpadadiagonalnya. 2. Segitigatersebutmempunyaijumlahsudut 1800

15. A D’ A’ p q C B B’ C, Bukti Teorema 3 • Misalkan segitia ABC siku-siku di B, menurut teorema 2, maka terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan B’C’ = BC. • Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’. • Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang sama. • Perhatikan gambar berikut:

16. Bukti Teorema 3 • Misalkan p adalahjumlahsudutsegitiga ABC dan q adalahjumlahsudutsegitiga A’B’C’ • makamenurutdefinisisegiempatsemuasudutnyaadalah 900, maka p + q = 4 x 900 ………… (1) • Menurutteorema 3, maka p ≤ 1800. • Andaikan p < 1800. • Sedangkanmenurutpersamaan (1), p + q = 3600, makadiperoleh q > 1800. • Hal inibertentangandenganteorema 3. • Jadi p = 1800 (terbukti)

17. C B A D Teorema4 Jikadalam geometri netral ada persegipanjangmakajumlah besar sudut-sudut dalam segitiga 1800 Bukti : Perhatikangambarberikut:

18. Bukti Teorema 4 • Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800. • A + B + C = 1800 • Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yaitu segitiga ACD dan BCD. • Jumlah sudut ACD = ABD = 1800. (menurut teorema 3) • Sehingga ( A + C1 + D1) + ( B + C2 + D2) = 2 x 1800 = 3600 ↔ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600 ↔ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600 ↔ A + B ( C1 + C2) = 1800 Jadi A+B + C = 1800 (terbukti)

19. Teorema5 Jikadalam geometri netral adasebuahsegitigadenganjumlahsudut 1800, makaakanadasebuahpersegipanjang. Bukti :

20. C p q B A D Bukti Teorema 5 • Perhatikangambarberikut: • Misalkansegitiga ABC mempunyaijumlahsudut 1800. • Pertamakitatunjukkanbahwaadasegitigasiku-sikudenganjumlahsudut 1800. • Potongsegitiga ABC menjadiduasegitigasiku-siku yang masing-masingmempunyaijumlahsudut p dan q, denganmenarikgaristinggitertentu, tulis AD. • Maka p + q = 2 x 900 + 1800 = 3600

21. Bukti Teorema 5 • Kita tunjukkan p = 1800, menurutteorema 3, p = 1800 • Jika p < 1800, q > 1800makainibertentangandenganteorema 3. • Jadiadaduasegitigasiku-siku, misalnyasegitiga ABD dengansudutsiku-sikudi D yang mempunyaijumlahsudut 1800. • Sekarangkitamengambilduasegitigasiku-siku, kemudiankeduasegitigasiku-sikutersebutkitatempelkanbersamauntukmembentuksebuahpersegipanjang.

22. Bukti Teorema 5 E A • Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga ABD dengan E berlainan pihk dengan D dari sisi AB, dengan BE bersesuaian dengan AD. (lihat gambar di atas) • Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800, maka 1’ 2 2’ 1 B D

23. Bukti Teorema 5 • 1 + 2 = 900, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita peroleh 1 + 2’ = 900 dan 1’ + 2 = 900. • Tetapi 1 + 2’ = EAB 1’ + 2 = EAD • Jadi EAB = EAD = 900, berarti ADBE persegi panjang (definisi persegi panjang)

24. Akibat 1 Teorema 5 Jikasebuahsegitigamempunyaijumlahsudut 1800, makasetiapsegitigamempunyaijumlahsudut 1800. Bukti : • Diketahuisebuahsegitigamempunyaijumlahsudut 1800. • Akanditunjukkanbahwasetiapsegitigamempunyaijumlahsudut 1800. • Misalkanadasebuahsegitiga yang mempunyaijumlahsudut 1800, makamenurutteorema 5 akanadasebuahpersegipanjang. • Sedangkanmenurutteorema 4, jikaadasebuahpersegipanjangmakasetiapsegitigamemilikijumlahsudut 1800. (terbukti)

25. Akibat2Teorema 5 Jikasebuahsegitiga ABC mempunyaijumlahsudutkurangdari 1800, makasetiapsegitigamempunyaijumlahsudutkurangdari 1800. Bukti : • Misalkansegitiga ABC mempunyaijumlahsudut < 1800, perhatikansebarangsegitiga PQR. Menurutteorema 1, jumlahsudut p ≤ 1800. • Misalkan p = 1800, makamenurutakibat 1 dariteorema 5 diatas, sehinggasegitiga ABC mempunyaijumlahsudut 1800. Haiinibertentangandenganpemisalandiatas. Jadi yang benaradalah p < 1800.

26. Proposisi-proposisiGeometriNetral Duagaris yang tidakberhimpitmempunyai paling banyaksatutitikpotong. Setiapsegmengarismempunyaitepatsatutitiktengah. Setiapsudutmempunyaitepatsatugarisbagi. Komplemendarisudut-sudut yang samaadalahsama. Sudut yang bertolakbelakangbesarnyasama.

27. Proposisi-proposisiGeometriNetral Kongrensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-SS-SD, SS-SS-SS. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, maka sudut-sudut dihadapanya adalah sama. Jika dua sudut segitiga sama, maka dua sisi dihadapannya sama. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik diluar garis tertentu tersebut.

28. Proposisi-proposisiGeometriNetral Titik T terletakpadasumbusegmengaris AB jikadanhanyajika TA = TB. Jikaduasisisuatusegitigatidaksamamakasudut-sudutdihadapannyajugatidaksama, dansudutsegitiga yang lebihbesarberhadapandengansisi yang lebihpanjang. Jikaduasudutsuatusegitigatidaksamamakasisi-sisidihadapannyajugatidaksama, dansisi yang lebihpanjangberhadapandengansudut yang lebihbesar. Segmengaristerpendek yang menghubungkansebuahtitikdansebuahgarisadalahsegmen yang tegaklurus. Jumlahpanjangduasisilebihbesardarisisiketiga.

29. Proposisi-proposisiGeometriNetral Jikaduasisidarisegitiga yang pertamamasing-masingsamadenganduasisisegitiga yang kedua, dansudutapitsegitigapertamalebihbesardarisudutapitsegitigakedua, makasisiketigadarisegitiga yang pertamalebihpanjangdarisisiketigadarisegitigakedua. Jikaduasisidarisegitiga yang pertamamasing-masingsamadenganduasisisegitiga yang kedua, dansisiketigadarisegitigapertamalebihpanjangdarisisiketigadarisegitiga yang kedua, makasudutapitdarisegitiga yang pertamalebihbesardarisudutapitdarisegitigakedua. Besarsudutluardarisuatusegitigaadalahlebihbesardarisalahsatusudutdalamnya yang tidakbersisiandengansudutluartersebut.

30. Proposisi-proposisiGeometriNetral • Jumlahduasudutdarisuatusegitigaadalahkurangdari 1800. • Jikaduagarisdipotongolehgaris lain danmembentuksepasangsudutdalamberseberangan yang samaduagaristersebutsejajar. • Duagaris yang tegakluruspadagaris yang samaadalahsejajar. • Sekurang-kurangnyaadasatugaris yang sejajardengansuatugaristertentu yang melaluititikdiluargaristertentutersebut.

31. Proposisi-proposisiGeometriNetral Misalkangaris 1 melauititik C yang jaraknyakepusatlingkarankurangdaripanjangjari-jarinyamakagarissatumemotonglingkarandiduatitik. Sebuahgarismerupakangarissinggunglingkaranjikadanhanyajikagaristersebuttegakluruspadajari-jarilingkaran. Jikadiketahuisegitiga ABC dansegmengaris PQ sedemikianhingga PQ=AB makaadatitik R diluar PQ sedemikiansehinggasegitiga PQR kongruensegitiga ABC. Sebuahlingkarandapatdigambarkanmelaluisebarangsegitiga.

32. Terima kasih