1 / 35

GEOMETRI ANALITIK RUANG

GEOMETRI ANALITIK RUANG. Matematika 2 By. Retno Anggraini. Geometri analitik ruang. Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah : OP 2 = ( x 2 + y2 + z 2 ) Jika OP = r maka : r 2 = ( x 2 + y 2 + z 2 ). SUDUT SUDUT ARAH DAN COSINUS COSINUS ARAH.

elda
Download Presentation

GEOMETRI ANALITIK RUANG

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. GEOMETRI ANALITIK RUANG Matematika 2 By. Retno Anggraini

  2. Geometri analitik ruang • Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah : • OP2 = ( x2 + y2 + z2 ) • Jika OP = r maka : • r 2 = ( x2 + y2 + z2 )

  3. SUDUT SUDUT ARAH DAN COSINUS COSINUS ARAH Jika a,b,g, masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka : • x = r cos a cos a = x/r • y = r cos batau cos b = y/r • z = r cos gcos g = z/r Dimana a,b,g disebut sudut sudut arah OP cos a cos b cos g disebut cosinus arah OP Dan cos 2a + cos2b + cos 2g = 1

  4. BILANGAN ARAH GARIS • cos a : cos b : cos g = a : b : c, maka a,b,c disebut bilangan arah garis • Jika diketahui a,b,c maka cos a = a / + (a2 + b2 + c2 )1/2 cos b = b / + (a2 + b2 + c2 )1/2 cos g = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2 • Dimana tanda penyebut + atau – tergantung kuadran.

  5. JARAK DARI DUA TITIK • Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah : d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2 • Bilangan arah dari garis P1P2 adalah (x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1) • Cosinus arah dari garis P1P2 adalah cos a = (x2-x1)/d, cos b = (y2-y1)/d, cos g = (z2-z1)/d

  6. TITIK • Jika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan perbandingan P1P/PP2 = m/n = q maka : X = (x1 + qx2) / (1+q) Y= (y1 + qy2) / (1+q) Z = (z1 + qz2) / (1+q) • Koordinat titik tengah T dari grs P1P2 T = [(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 , (z1 +z2)/2]

  7. SUDUT ANTARA DUA GARIS • Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui. • Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis yg diketahui, q sudut antara grs itu maka : Cos q = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2 • Dimana : r1 2 =( x12 + y12 + z12 ) r2 2 =( x22 + y22 + z22 )

  8. Karena X1 = r cos a1 X2 = r cos a2 maka cos q = cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2Jika dua grs //, maka : a1= a2 b1= b2 g1= g2Jika dua garis tegak lurus maka :cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2 = 0

  9. Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1, b1, c1, dan a2,b2,c2 maka :cos q = a1a2 + b1b2 + c1c2 [(a12+ b12 +c12 )1/2x (a22+ b22 +c22) 1/2]Jika dua grs //, maka : a1/a2 = b1/b2=c1/c2Jika dua garis tegak lurus maka :a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

  10. BIDANG DATAR • Bentuk Umum Ax + By + Cz + D = 0 Dimana A, B, C tidak semuanya nol • Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo) adalah : A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0

  11. GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG DATAR • Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah a/A = b/B = c/C • Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1) tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c adalah : a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

  12. DUA BIDANG SEJAJAR DAN TEGAK LURUS • Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan adalahA2x + B2y + C2z + D2 = 0 - // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 - Tegak lurusjikaA1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0 • Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang Ax+By+Cx+D =0 adalah : d = Ax1 + By1 + Cz1 + D (A2 + B2 + C2 )1/2

  13. Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0), (0,b,0), dan (0,0,c) adalah ;x/a + y/b + z/c = 1Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+ B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah :cos q = A1A2 + B1B2 + C1C2 (A12+B12+C12 )1/2 (A22+B22+C22 )1/2

  14. TITIK POTONG TIGA BIDANG DATAR • a1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z = d3 adalah x = D1/D, y = D2/D, z = D3/D dimana : a1 b1 c1 d1 b1 c1 D = a2 b2 c2 = 0 D1= d2 b2 c2 a3 b3 c3 d3 b3 c3 a1 d1 c1 a1 b1 d1 D2 = a2 d2 c2 D3 = a2 b2 d2 a3 d3 c3 a3 b3 d3

  15. Berkas bdg dr dua bid. A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x + B2y+C2z+D2 = 0 adalah : (A1x+ B1y+C1z+D1) + l(A2x+ B2y+C2z+D2)= 0 dimana l parameterGaris dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang (A1x+ B1y+C1z+D1) = 0(A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah B1 C1 C1 A1 A1 B1 : : = a:b:c B2 C2 C2 A2 A2 B2

  16. PERSAMAAN GRS LURUS DLM RUANG • Jk sudut arah garis g adalah a,b,g; dan jk P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg bergerak sdh : x-x1 = t cosa ; y-y1 = t cosb ; z-z1 = t cos g • Jika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka persamaan garis ini dapat ditulis sbb : x = x1 +at ; y = y1 + bt ; z = z1 + ct Dimana t = perubahan panjang P1P

  17. BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN GARIS LURUS • Persamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn sudut – sudut arah a,b,g adalah ; x – x1 = y – y1 = z –z1 cos a cos b cos g • Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka persamaan simerik berbentuk : x – x1 = y – y1 = z –z1 abc

  18. Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara :x = x1 , y – y1 = z – z1 (tgk lrs sb x) b c y = y1 , x – x1 = z – z1 (tgk lrs sb y) a c z = z1 , x - x1 = y – y1 (tgk lrs sb z) a b

  19. PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI DUA TITIK • Pers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah : x –x1 = y1 – y2 = z – z1 b b b • Arah – arah relatif garis dan bidang datar Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V : Ax + By + Cz + D = 0 maka : 1. g // V jika : Aa + Ba + Cc = 0 2. g V jika : A/a = B/b = C/c

  20. BOLA • Persamaan x2+ y2 + z2 = R2 adalah bola yg berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R. • Persamaan (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2adalah bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R. • Persamaan x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= R2 adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C) Jari – jari R = ( A2+ B2 +C2 – D )1/2 • Jika R = 0 bola menjadi “bola titik” • Jika A2+ B2 +C2 – D > 0 adalah “ bola sejati ” • Jika A2+ B2 +C2 – D < 0 adalah “ bola khayal “ • Sebuah bola tertentu oleh 4 ttk yg tdk sebidang

  21. PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG DAN BIDANG KUTUB • Jika Pers bola x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau BI = 0 , Maka : 1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola BI = 0 adalah x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0 2. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola BI = 0 adalah x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

  22. Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : x1x + y1y + z1z = R2 - Untuk persamaan bola : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : (x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2- Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola : x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+Dk >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola, k = 0 jika P pada bola

  23. Bidang kuasa dr dua bola BI = 0 dan BII = 0 BI : x2+ y2+ z2+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0BII: x2+ y2+ z2+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0Persaman bidang kuasa dari dua bola BI dan BII adalahBI - BII = 0 atau2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola BI dan BII

  24. Garis kuasa dan titik kuasa • Jk 3 bola : BI = 0, BII = 0, dan BIII = 0 tidak melalui satu titik. Maka : BI = BII = BIII adalah persamaan garis kuasa tiga bola itu • Jika 4 bola : BI = 0, BII = 0, BIII = 0 dan BIV = 0 tidak melalui 2 titik yang sama maka BI = BII = BIII =BIV adalah persamaan titik kuasa dari 4 bola itu

  25. TABUNG DAN KERUCUT • Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah • Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt grs lengkung arah)

  26. BIDANG PUTARAN • Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs (lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu. • Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x2+ y2 , z) = 0 • Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x, y2+ z2 ) = 0

  27. 1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka terjadi : ( x2+ y2 )/a + z/b = 1 ATAU (x2+ y2)/a2 = (b-z)2/ b2 : ialah kerucut2. Jk lingkaran x2+ y2 = a2 , y = 0 diputar sekeliling sb z, makax2+ y2 + z2 = a2 adalah bola3.Jk parabola : x2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi x2+ y2 = 2pz adalah parabolaida putaran

  28. 4. Jk ellips : x2 /a2 + z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/a2 +z2 /b2 = 1 atau x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 adalahsebuah elipsoida putaran 5.Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/a2 - z2 /b2= 1atau x2/a2 + y2/a2 - z2/b2 = 1 ialahsebuah hiperbola putaran daun satu.

  29. 6. Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = -1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/a2 - z2 /b2= -1atau - (x2/a2) - y2/a2 + z2/b2 = 1 ialahsebuah hiperbola putaran daun dua. 7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi : (x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2 Ialah sebuah tabung silinder

  30. BIDANG DERAJAT DUA • Elipsoida x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 1 2. Parabola Eliptik x2/a2 + y2/b2 = (2p/a2)z2

  31. -Perpotongan dgn bid z = k > 0x2/a2 + y2/b2 = (2pk/a2)z2berupa ellips- Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola- Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola • Persamaan bidang singgung dititik T(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 + y1y/b2 = (p/a2) .(z+z1)

  32. 3. Hiperbola daun satux2/a2 + y2/b2 -z2/c2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa ellips Dengan bid x = 0 berupa hiperbola Dengan bid y = 0 berupa hiperbola - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 + y1y/b2 – z1z/c2 = 1

  33. Hiperbola daun duax2/a2 - y2/b2 -z2/c2 = 1- Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = 0 berupa elips khayaly2/b2 +z2/c2 = -1 Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = k dimana k>a adalahy2/b2 +z2/c2 = k2/a2 -1berupa ellips real (k2/a2 -1) > 0 - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a2 - y1y/b2 – z1z/c2 = 1

  34. 5. Parabolaida hiperbolikx2/a2 - y2/b2 = 2pz/a2- Perpotongan dgn bid z = 0 , y2= b2x2 /a2, y = bx/a ,berupa dua grs lrs- Dengan bid z = k : x2/a2 - y2/b2 = 2pk/a2berupa hiperbola - Dengan bid y = 0 : x2 = 2pz berupa parabola- Dengan bid x = 0 : y2 = -b2 2pz /a2 berupa parabola - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah : x1x/a2 - y1y/b2 = p/a2 (z+z1)

  35. SELAMAT BELAJAR GOOD LUCK

More Related