ESCUELA :

1. ÁLGEBRA ESCUELA: CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Ing. Julio González PONENTE: II BIMESTRE BIMESTRE: ABRIL – AGOSTO 2007 CICLO: UNIDAD VIDEOCONFERENCIAS

2. CAPITULO 6 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES. • 6.1 Ángulos. • 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos. • 6.3 Valores de las funciones trigonométricas. • 6.4 Identidades trigonométricas fundamentales. • 6.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo. • 6.6 Funciones trigonométricas de números reales. • 6.7 Funciones trigonométricas de ángulos negativos. • 6.8 Valores de las funciones trigonométricas. • 6.9 Gráficas trigonométricas.

3. ANGULOS. • En trigonometría se interpretan los ángulos como rotaciones de rayos. Un rayo que permanece fijo que se llama lado inicial y el otro que adopta otra posición luego de haber rotado, el lado terminal. Debido a este concepto y de acuerdo al sentido de giro del lado generatriz, en trigonometría se definen ángulos positivos y ángulos negativos Una posición muy importante de un ángulo trigonométrico es su posición estándar (llamada también posición normal). Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas. El lado terminal del ángulo colocado en esta posición indicará el cuadrante al que

4. pertenece dicho ángulo. Se dice que dos o más ángulos son coterminales, cuando colocados en posición estándar sus lados terminales coinciden; son de diferente magnitud pudiendo ser positivos y/o negativos. Una propiedad muy importante es que las funciones trigonométricas de ángulos coterminales son iguales. Medir un ángulo significa compararlo con otro que se toma como referencia. El ángulo que se selecciona como referencia constituye la unidad de medida y que, en forma general, puede ser cualquiera de los siguientes más conocidos: a. El grado sexagesimal. Es aquel ángulo central que comprende un arco igual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo centro es el vértice de dicho ángulo. Se representa por el símbolo (°). El grado sexagesimal posee 60 minutos y cada minuto 60 segundos.

5. El radián. El radian es el ángulo central que teniendo su vértice en el centro de un círculo, subtiende un arco de longitud igual a la que corresponde al radio de dicho círculo. Simbólicamente se representa por (rad). • Para transformar de grados a radianes se usa la relación: • Nro. Rad x = n° • Para transformar de radianes a grados se usa la relación: • No x = Nro. rad. • CLASES DE ÁNGULOS. • Nulos, agudos, rectos, obtusos, complementarios, suplementarios, de cualquier magnitud, de una vuelta.

6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS. Como se conoce que una razón es el cociente entre dos cantidades, cuando éstas pertenecen a un triángulo rectángulo, surgen unos cocientes trascendentes y cada uno toma un nombre especial, como se muestra enseguida: Aquí, con relación a cada ángulo: A es cateto opuesto al ángulo a, B al ángulo b; B es cateto adyacente al ángulo a, A es cateto adyacente al ángulo B; C es la hipotenusa (lado mayor). Además:

7. El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno del ángulo: • • El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama Coseno del ángulo: • • El cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama Tangente del ángulo: • • El cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama Cotangente del ángulo:

8. El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se llama Secante del ángulo: • • El cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto se llama Cosecante del ángulo; • Si se analizan las funciones del ángulo b se llegan a las siguientes conclusiones: • y

9. A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que; siendo a y b, ángulos complementarios una de las funciones de las parejas, es igual a la cofunción de su ángulo complementario. De esto se tiene que, si existe en alguna aplicación por ejemplo, esto es igual a ( x es el complemento). Con números; VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Se pueden hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° por métodos sencillos y sin utilizar calculadora, si tomamos en cuenta la definición de las funciones y los valores de los lados de un triángulo equilátero (los 3 lados y sus tres ángulos son iguales) tenemos:

10. Si trazamos una bisectriz por un ángulo, este triangulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. La bisectriz es a su vez altura y mediatriz del lado opuesto. Separando un triángulo tenemos: • Como se puede observar ha quedado definido un triángulo rectángulo con sus lados y ángulos conocidos.

11. Ahora podemos calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60. Ejemplo: • Para las funciones de 45 usamos un triángulo rectángulo isósceles (los catetos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales y miden 45) veamos: • Ejemplos:

12. Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las funciones trigonométricas por ejemplo: Halle el valor de la siguiente expresión: Este tipo de ejercicios se realizan efectuando las operaciones algebraicas con los valores de estas funciones así:

13. + = 2 2 Cos x Sen x 1 = + 2 2 Sec x 1 Tan x = + 2 2 Csc x 1 Ctg x IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. Hay muchas relaciones importantes entre las funciones trigonométricas. Las básicas se denominan identidades fundamentales y vale la pena memorizarlas. De la definición de funciones trigonométricas se derivan las siguientes identidades básicas llamadas identidades pitagóricas. Además se tiene que:

14. Llamadas identidades recíprocas. Llamadas identidades de cociente. La aplicación de estas identidades trigonométricas fundamentales se la hace principalmente en la demostración de otras identidades, necesitándose para esto del dominio de la operatoria algebraica, así como el dominio total de estas relaciones. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO Muchas de las aplicaciones en trigonometría implican ángulos que no sean agudos. Como consecuencia, es necesario extender la definición de las seis funciones trigonométricas para ángulos generales.

15. Sí consideramos un ángulo en posición estándar (algunos otros autores lo llaman posición normal) y escogemos un punto P de coordenadas (x,y) en el lado terminal del ángulo como se indica en la figura y si tomamos la distancia de O a P, d (OP) Entonces y  opuesto, x  adyacente r hipotenusa, entonces tenemos que: Observando el grafico tenemos:

16. Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos nuestra definición extendida para cualquier ángulo  en posición normal, tal como lo ilustramos a continuación:

17. Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el lado terminal del ángulo  en posición estándar, si • es la distancia entre (0,0) y (x,y), entonces las seis funciones trigonométricas de  se definen: • Los valores de las funciones trigonométricas dependerán exclusivamente del valor de , independientemente donde se escoja el punto P de coordenadas.

18. Del cuadrante en que este el lado terminal del ángulo dependerán los signos de las funciones trigonométricas. Recuerde que r es una distancia, por lo tanto siempre va a ser positiva. • Existe una regla nemotécnica que permite recordar fácilmente los signos de las funciones trigonométricas de ángulos en los cuatro cuadrantes a saber:

19. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES. • En el cálculo y en otros cursos más avanzados, es necesario considerar las funciones trigonométricas con dominio en los números reales que en los ángulos. • Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe. • Por ejemplo, el seno del número real , es simplemente, el seno del ángulo de  radianes (que como usted sabe, es Sen 30= ½). De esta manera, no hay en realidad nada nuevo al evaluar la función trigonométrica de un número real.

20. La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funciones trigonométricas de los números reales. • Como veremos mas adelante, de este resultado podemos obtener algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno. Debido al papel jugado por la circunferencia en este análisis, las funciones trigonométricas se refieren algunas veces a las funciones circulares. • Ya que (x, y) está situado en la circunferencia unitaria, se deduce que: • 1 x  1 y 1 y  1

21. De lo anterior podemos deducir que: • Dominio y Rango. • Las observaciones anteriores indican que tanto Cos t y Sen t pueden ser cualquier número real del intervalo 1, 1. Así obtenemos las funciones seno y coseno. • y • Ambas con dominio en los números reales y como rango, el intervalo 1, 1. • Recuerde: para hallar el valor de las funciones de números reales, utilizamos la calculadora en el modo radianes.

22. Periodicidad. • En la sección correspondiente a ángulos, habíamos revisado el concepto de ángulos coterminales; para cualquier número real t, los ángulos de t radianes y ±2 radianes son coterminales. Por lo tanto determinan el mismo punto (x, y) en la circunferencia unitaria, por lo tanto tenemos: • En general podemos decir que, las funciones seno y coseno repiten sus valores cada 2 unidades; se deduce que para cualquier número entero n: • En general se dice que una función no constante  es periódica si hay un número positivo p tal que: • para cada t en el dominio de . Si p es el número mas pequeño para lo cual f (t )=f (t+p)) es verdadera, entonces p se llama período de la función .

23. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS. • Por definición un ángulo negativo se genera por la rotación de un rayo alrededor del origen en sentido de las manecillas de un reloj, por lo tanto, considerándolo agudo, éste se ubica en el cuarto cuadrante, en el cual, de lo anterior, tenemos que solo las funciones coseno y secante son positivas, las demás negativas, entonces se tiene que cada función de un ángulo negativo es la misma función, pero con el signo que le corresponde en dicho cuadrante, veamos:

24. El hecho de que y • , sea válido para cualquier número real t, implican que la función coseno sea par, y la función seno sea impar. • VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. • Para encontrar el valor de una función trigonométrica de cualquier ángulo necesitamos conocer el ángulo de referencia. • Si  es un ángulo en posición estándar no cuadrantal. El ángulo de referencia para  es el ángulo agudo R que el lado terminal de  forma con el eje x. • En el primer cuadrante R=  • En el segundo cuadrante R= 180-  • En el tercer cuadrante R=  -180 • En el cuarto cuadrante R= 360- 

25. TEOREMA: • Si  es un ángulo no cuadrantal en posición estándar, entonces, para hallar el valor de una función trigonométrica en , se determina su valor para el ángulo de referencia R y se antepone el signo apropiado • Ejemplo: • GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS. • Teniendo presente los conceptos de amplitud, dominio y periodicidad, podemos bosquejar las gráficas de las funciones trigonométricas. • TEOREMA:

26. Si • Para números reales a y b diferentes de 0, la gráfica tiene amplitud y período • Si • Para números reales a y b diferentes de 0 la gráfica tiene amplitud y período

27. CAPITULO 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA • VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. • Una ecuación trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas; si esta igualdad se verifica para todos los valores del ángulo en su dominio, ésta se denomina identidad trigonométrica • Hay muchas identidades que tiene que ver con las funciones trigonométricas. Las más importantes son las identidades fundamentales citadas anteriormente. La variable puede representar en cada identidad un número real o la medida en grados o radianes de un ángulo. • A continuación enumeramos algunas técnicas para verificar identidades que pueden resultar útiles.

28. 1.- Simplifique el lado mas complicado de la ecuación. • 2.- Encuentre el mínimo común denominador para la suma o diferencia de fracciones. • 3.- Si las dos técnicas anteriores fallan, exprese todas las funciones trigonométricas en términos de senos y cosenos y luego trate de simplificar. • ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS • Una ecuación trigonométrica es aquella igualdad en la cual la incógnita está afectada por funciones trigonométricas y cuyo valor es necesario encontrar mediante procedimientos específicos que para este fin existen, mismos que se pueden aplicar directamente, cuando la ecuación está compuesta por términos afectados por la misma función y que se acopla a la forma concreta de una expresión algebraica conocida (un trinomio cuadrado, una suma de cubos, etc.), facilitándose directamente la aplicación inmediata de las reglas correspondientes.

29. Sin embargo hay ocasiones en las cuales, previamente, antes de que la relación dada adopte una forma adecuada para su solución, requiere de transformarla a una forma más simple, mediante la sustitución de equivalentes que hagan posible esta actividad y concluir con el trabajo. Es importante destacar que no necesariamente la solución es única, puede haber muchas o infinito número de soluciones. • FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA. • Las fórmulas que veremos a continuación nos permitirán expresar cierto tipo de expresiones trigonométricas en formas más simples y útiles. Estas fórmulas son muy importantes en el cálculo y en las ciencias físicas. Aunque las deducciones utilizan ángulos, las aplicaciones a otros campos tienen que ver en general con las funciones trigonométricas de los números reales.

30. Fórmulas para la suma y resta de senos, cosenos y tangentes de dos ángulos. • Estas fórmulas las podemos aplicar tanto en la comprobación de identidades, así como a la solución de ecuaciones trigonométricas. • FÓRMULAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES.

31. Fórmulas del ángulo doble. • Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tiene esta forma, sino que se las puede utilizar para otros ángulos que tiene la misma relación. • Fórmulas de ángulo mitad.

32. FUNCIONES INVERSAS • No existe inversa para ninguna de las funciones trigonométricas en la integridad de su extensión debido a que ninguna es uno a uno o biyectiva; sin embargo, para determinar la inversa hay que restringirlas de tal manera que sean uno a uno o biyectivas, así, para cada una de las funciones conocidas.

33. Las siguientes son las propiedades para las funciones trigonométricas inversas: • la recíproca es • la recíproca es • Etc. • Cuando en nuestra calculadora hallamos el valor de un ángulo, estamos aplicando las funciones trigonométricas inversas; cuando resolvemos una ecuación trigonométrica aplicamos las funciones inversas. Note la diferencia de una función y su inversa.

34. CAPITULO 8 • APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA

35. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. • RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. • LEY DE LOS SENOS • LEY DE LOS COSENOS

36. CAPITULO 9 • SISTEMAS DE ECUACIONES • SISTEMAS DE ECUACIONES • Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para los cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es una pareja ordenada de números reales que hace ambas ecuaciones sean verdaderas. • Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. • Generalmente se usan llaves para indicar que el sistema debe tratarse en forma simultánea. Ejemplo:

37. Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones. • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES . • Una ecuación de la forma decimos que es una ecuación lineal en dos variablesx y y • Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de sistemas equivalentes. Dos sistemas de ecuaciones son sistemas equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON MAS DE DOS VARIABLES. • La solución por el método de eliminación de un sistema de ecuaciones lineales con más de dos variables lleva a la técnica de matrices para la solución de estos sistemas.

38. Si consideramos el sistema • Podemos obtener un arreglo con los coeficientes de las variables y los términos independientes de la siguiente manera:(Es de notar que las variables están ordenadas en cada una de las ecuaciones y los términos independientes estén a la derecha del igual) • Un ordenamiento de este tipo se llama matriz. • La matriz anteriormente obtenida del sistema se denomina matrizdel sistema o matriz aumentada. Si borramos la última columna, la matriz restante se denomina matriz de coeficientes. • La Regla de Cramer nos proporciona un método re solución de sistemas de ecuaciones con el uso de matrices y determinantes.

39. DEFINICIÓN DE MATRIZ • Se Llama matriz a un arreglo rectangular de números o letras dispuestos en filas y columnas. • Los renglones o filas son los números o letras que aparecen uno a continuación de otro en sentido horizontal (a, d, g en la primera matriz). • Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical (a, b, c, en la primera matriz)

40. En la segunda matriz se muestra la notación general con m filas yn columnas. • El nombre de la matriz se escribe con mayúscula y el de los elementos con minúscula, en la forma en donde i, j representan la posición que ocupa el elemento en fila (i) y columna (j), por ejemplo si se plantea hallar . Significa que hay que considerar el elemento de la matriz ubicado en la fila 3 y columna 2 • Con las filas de una matriz se pueden hacer operaciones de transformación, utilizando el teorema sobre transformaciones de renglones de matrices. (675) • Se puede utilizar matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. (675). • La relación mxn se denomina orden o tamaño de la matriz. Cuando se cumple que m  n, es decir el número de filas igual al número de

41. columnas, la matriz se dice que es cuadradade orden n. La primera expuesta anteriormente es un ejemplo de matriz cuadrada. • En una matriz cuadrada, al considerar el cuadrado que la comprende, la diagonal que tiene como inclinación un ángulo obtuso se llama principal y aquella que forma ángulo agudo se llama secundaria. Por ejemplo, en la matriz A de referencia, los elementos a, e, i corresponden a la diagonal principal y los elementos c, e, g, corresponden a la diagonal secundaria. • Dada una matriz cuadrada, si todos los elementos son cero, excepto los de la diagonal principal, y si éstos son 1, la matriz se denomina matriz identidad. La matriz identidad se representa por I. Veamos el siguiente ejemplo de matriz identidad:

42. Matriz escalonada.- Se llama así a la matriz en la cual el número de ceros iniciales de una fila es menor al número de ceros iniciales de la siguiente. • Matriz escalonada reducida.- Es una matriz escalonada en la cual el único elemento diferente de cero en cada fila y columna es 1.

43. Igualdad de matrices.- Dos o más matrices son iguales cuando tienen iguales los correspondientes elementos. • ÁLGEBRA DE MATRICES • Con las matrices se pueden desarrollar las siguientes operaciones: • Suma.- Para sumar dos matrices, o más, en primera instancia éstas deben tener igual orden, luego se suman respectivamente los elementos de cada una de ellas, dando lugar a otra matriz de igual orden. Ej.

44. Cuando todos los elementos de una matriz son 0, la matriz se denomina nula y constituye el elemento neutro en la suma de matrices. • Propiedades de la suma de matrices.- La adición de matrices cumple con las siguientes propiedades: • 1. Clausurativa.- La suma de dos matrices de igual orden da como resultado otra matriz de igual orden: A + B = C. • 2. Asociativa.- Al sumar matrices de igual orden se obtiene el mismo resultado, cualquiera sea el orden en que la matrices se agrupen: (A + B) + C = A + (B + C).

45. 3. Del elemento neutro.- Cualquier matriz de orden mxn sumada con la matriz nula de orden mxn, no altera, es decir se obtiene la misma matriz: A+0 = A = 0+A. • 4. Del inverso aditivo.- Para cada matriz A de orden mxn, existe una matriz de igual orden tal que, sumadas mutuamente dan como resultado el elemento neutro o la matriz nula de orden mxn: • 5. Conmutativa.- La suma de dos matrices en un orden determinado no altera si se altera el orden en que se consideren las matrices para ejecutar la suma respectiva. • PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ • Al multiplicar un escalar por una matriz se obtiene otra matriz cuyos elementos, cada uno, es igual al producto del escalar por los elementos correspondientes de la matriz de referencia.

46. El producto de A por k se representa y ejecuta así: • PRODUCTO DE MATRICES. • Para saber si con dos matrices de referencia es posible hallar el producto, en primera instancia hay que verificar que el número de filas de la matriz que constituye el primer factor sea igual al número de columnas de aquellas que representa el

47. segundo factor, luego se multiplica cada elemento de cada fila de la primera matriz correspondientemente por el elemento de la columna de la segunda matriz y luego se suman estos resultados, obteniéndose la matriz resultante.

48. MATRIZ TRANSPUESTA. • Para poder evaluar este tipo de matriz, hay que tener otra de referencia, por ejemplo A, de orden mxn, entonces la transpuesta de la matriz A se representa por AT y es una matriz que resulta de intercambiar las filas por las columnas en la matriz A dada. Ejemplo: • INVERSA DE UNA MATRIZ. • La inversa de una matriz solo se puede determinar cuando es cuadrada y, para una de referencia A, se representa por • dándose que:

49. Recuerde que no todas las matrices cuadradas tienen inversa. • DETERMINANTES. • Dada una matriz cuadrada de referencia, el determinante respectivo se representa por ó ó y, considerando los elementos de la matriz se estructura de las formas que seguidamente se indica, según el orden. • Determinante de segundo orden: El determinante correspondiente sedefine como: • Para el determinante de tercer orden. Se utiliza una regla muy común conocida como regla de Sarrus, que consiste en añadir las dos primeras columnas a la derecha de la última columna del determinante dado

50. o las dos primeras filas debajo de las tres primeras, luego se emplea los productos que se indican en cada caso veamos: • Añadiendo las dos primeras columnas: • (Tenga cuidado, ya que este procedimiento no funciona con determinantes de orden superior). • Para hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden mayor a 3, se emplean los conceptos de menores y cofactores. • PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.