Brownse Beweging

1. Brownse Beweging Op 11 mei staat in de Annalen der Physik 17, 549-560 (1905), te lezen: Über die von molekülarkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierter Teilchen. Theorie der Wärme of thermodynamica beschrijft transformaties van energie die vooral te wijten zijn aan warmte en arbeid. Steeds macroscopisch meetbaar. Hiernaast bestaat er ook de kinetische gastheorie. Deze theorie veronderstelt dat druk, warmte etc. steeds herleid worden tot de random bewegingen van de afzonderlijk deeltjes in het gas. Tegen het einde van de 19de eeuw, hadden Maxwell en Boltzmann de statistische theorie van de moleculaire bewegingen grondig bestudeerd en waren al ver hierin gevorderd. Einstein breide dit werk uit en ging opzoek naar tastbare gevolgen van de synthese van kinetische gastheorie en thermodynamica rond 1905. Een nog niet begrepen tastbaar gevolg was de Brownse beweging. Dit fysisch verschijnsel heeft zijn naam te danken aan botanicus Robert Brown in 1827. Robert Brown bestudeerde onder de microscoop de beweging van stuifmeelkorrels in een vloeistof. Deze beweging was erg grillig en onvoorspelbaar. Bij nader inzien bleek dat deze beweging niets te maken had met vloeistof stromen of verdamping. Dit fenomeen was strijdig met de ervaringen van die tijd. Einstein wist het werk van Brown thuis te brengen in de kinetische gastheorie. Algemener kan men daaruit afleiden dat de beweging van grotere deeltjes in een vloeistof of gas, een gevolg is van de botsingen van deze grote deeltjes met de vloeistof moleculen. Door vele botsingen aan een bepaalde kant, ontstaat er een netto impuls naar een kant voor dit deeltje. (Hierdoor wordt deze beweging ook volledig deterministisch verondersteld. Dwz moesten we alle eigenschappen van het systeem volledig kennen dan zouden we het verloop van het systeem kunnen bepalen.)

2. Brownse Beweging Wat was er nu zo vernieuwend? Einstein, wilde de kinetische gastheorie testen. Hij wilde weten of zichtbare deeltjes opgehangen in een vloeistof, gebombardeerd werden door willekeurig bewegende onzichtbare vloeistofdeeltjes. Hiervoor zette Einstein de nodige conceptuele, niet evidente stap om het fenomeen stochastisch te bekijken.Door het deterministische karakter van de beweging is dat niet evident. Volgens de kinetische gastheorie zijn de bewegingen van water moleculen (bij afwezigheid van een stroom) volledig random. Dit zou betekenen dat de netto impuls uitgeoefend door botsingen op een deeltje hierin opgehangen ook nul zou moeten zijn. Nochtans bestaat de kans dat op een bepaald moment er meerdere botsingen aan een kant van het deeltje zich voordoen. Dit noemt men dan fluctuaties of toevallige afwijkingen van het gemiddelde. Het resultaat is dan dat deeltje in een welbepaalde richting zal bewegen. Deze fluctuaties of afwijkingen van het gemiddelde kunnen ook ‘voorspeld’ worden. Bv. Stel je hebt een pionnetje op een spelbord staan, ergens in het midden. Het pionnetje kan enkel één stap naar voor of naar achteren. Door het werpen van een muntstuk beslis je bij ‘kop’ dat het een plaats opschuift naar voren en bij ‘munt’ dat het een plaats opschuift naar achteren. De kans dat het na één worp naar voor of naar achteren is verplaatst, is bij een ‘eerlijk’ muntstuk even groot. Na twee worpen zal het pionnetje 4 mogelijke ‘wegen’ hebben gevold: vooruit en vooruit; vooruit en achteruit; achteruit en achteruit; achteruit en vooruit. Elk van die wegen had evenveel kans. Maar de uiteindelijke posities waar het pionnetje terecht komt, is met kans 1 op 4 dat het twee plaatsen naar achter is verschoven idem dat het twee plaatsen naar voor is verschoven en met kans 2 op 4 dat het terug in beginpositie is beland. Als we dit optellen, ( ¼ * twee vooruit + ¼ * twee achteruit + ½* nul verplaatsing=0 verplaatsing), mogen we stellen dat de gemiddelde positie na 2 worpen terug de begin positie is.

3. Brownse Beweging Stel nu dat je niet kijkt naar de verplaatsing naar voor of naar achter maar naar de effectieve verplaatsing ten opzichte van de beginpositie. Dan valt het onderscheid tussen naar voor en achter weg. Wiskundig kan men dit in formules gieten door een kwadraat te nemen. Als men hier weer het gemiddelde van gaat zoeken komt men uit bij 1 worp dat men een gemiddelde heeft van één verplaatsing. Na twee worpen heeft men dan een gemiddelde van twee effectieve verplaatsingen. ( ¼ * (twee)^2 vooruit + ¼ * (twee)^2 achteruit + ½* (nul)^2 verplaatsing= 2 effectieve verplaatsing). Dit noemt men de variantie= gemiddelde kwadratische afwijking van het systeem. Door het pionnetje te vergelijken met het zichtbare deeltjes opgehangen in een vloeistof, dat gebombardeerd zou worden door willekeurig bewegende onzichtbare vloeistofdeeltjes (dit is dan veralgemening van de worpen van het muntstuk). Deze stap om te gaan kijken naar de gemiddelde kwadratische afwijking van de bewegende deeltjes is vernieuwd geweest. Einstein vertaalde dit mechanisme in testbare formules. Hij drukt de mate van diffusie uit in termen van eigenschappen van de botsende moleculen. Hiermee wordt de brownse beweging herleid tot een rigoureuze statistische wetmatigheid. Bronnen: http://itf.fys.kuleuven.ac.be/~christ/ Applets: http://www.ja.nl/secties/nask/brown/brown.htm