GEOMETRI

1. GEOMETRI ●

2. GEOMETRI GEOMETRI GEOMETRI Standar Kompetensi : Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga Kompetensi Dasar : Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

3. DALAM BAB INI KITA AKAN BELAJAR KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG MENENTUKAN SUDUT DALAM RUANG

4. Pengertian titik, garis dan bidang

5. Titik : Suatu titik ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran), sehingga dikatakan bahwa titik tidak berdimensi Ex : ● Titik B Garis : Himpunan titik-titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan bahwa garis berdimensi satu Ex : k garis k Bidang: Himpunan titik-titik yang memiliki ukuran panjang dan lebar, sehingga dikatakan bahwa bidang berdimensi dua Ex : Pengertian Titik, Garis dan Bidang α bidang α

6. Aksioma Garis dan Bidang • Aksioma (postulat)adalah pernyataan yang diandaikan dalam sebuah sistem dan kebenarannya itu harus diterima tanpapembuktian

7. Aksioma - aksiomaEuclides

8. B g A Aksioma 1Melalui dua buah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus

9. Aksioma 2Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua buah titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang A B α

10. ● ● C A ● α B Aksioma 3Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang

11. Selanjutnya dapat diturunkan empat buah dalil (teorema) untuk menentukan sebuah bidang

12. Dalil 1Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak segaris ●z ● x ● y α

13. k ●A β Dalil 2Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis)

14. m α n Dalil 3Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan

15. g h α 4 DalilSebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

16. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang

17. A g Kedudukan Titik Terhadap Garis Sebuah titik A dikatakan terletak pada garis g, jika titik A dapat dilalui oleh garis g Titik Terletak pada Garis

18. A g Titik di luar garis Sebuah titik A dikatakan berada di luar garis g, jika titik A tidak dapat dilalui oleh garis g ●

19. Kedudukan Titik Terhadap Bidang

20. ● A α Titik Terletak pada Bidang Sebuah titik A dikatakan terletak pada bidang α jika titik A dapat dilalui oleh bidang α ● A

21. α Titik diluar Bidang Sebuah titik A dikatakan berada diluar bidang α, jika titik A tidak dapat di lalui oleh bidang α. ● A ● A

22. kedudukan garis terhadap garis dan garis terhadap bidang

23. Kedudukan garis terhadap garis lain Ada tiga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap garis lain dalam sebuah bangun ruang, yaitu : Berpotongan Sejajar Bersilangan

24. Dua Garis berpotongan Dua buah garis g dan h dikatakan berpotongan, Jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Ex : α Garis g dan h berpotongan A disebut titik potong atau titik persekutuandititik A

25. Jika g dan h memiliki titik potong atau titik persekutuan lebih dari satu, maka g dan h dikatakan berimpit. Ex : Garis Berhimpit β Garis g dan h berimpit pada titik A dan titik B A dan B di sebut titik potong atau titik persekutuan

26. Dua garis sejajar Dua buah garis g dan h dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan. Ex : Garis g dan h sejajar

27. Dua garis bersilangan Dua buah garis g dan h dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang. Ex : Garis g dan h bersilangan

28. Jika garis g dan garis h tidak berpotongan dan tidak sejajar, maka garis g dan h bersilangan

29. Contoh & Jawab ☻Diketahui : Kubus ABCD.EFGH Rusuk AB sebagai wakil garis g ☻Ditanya : a) Garis – garis yang berpotongan dengan garis g b) Garis – garis yang sejajar dengan garis g c) Garis – garis yang bersilangan dengan garis g

30. ☻Jawab : a) Garis – garis yang berpotongan dengan garis g adalah garis – garis AD, AE, BC, dan BF b) Garis – garis yang sejajar dengan garis g adalah garis –garis DC, EF, dan HB c) Garis – garis yang bersilangan dengan garis g adalah garis – garis CG, DH, EH, dan FG

31. AKSIOMADUA GARIS SEJAJAR

32. Aksioma 4 :melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu itu.Contoh : A ● Titik A berada diluar garis h, sehingga melalui titik A dan garis h dapat dibuat bidang α dan melalui titik A dapat dibuat sebuah garis g yang sejajar h

33. Dalil Tentang dua garis sejajar

34. Dalil 5 : jika garis ksejajar dengan garis l, dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m. Contoh :

35. Dalil 6 : jika garis k sejajar dengan garis h dan memotong garis g, l sejajar dengan garis h dajuga memotong garis g, maka garis – garis k, l dan g terletak pada sebuah bidang . Contoh :

36. Dalil 7 :jika garis k sejajar garis l sedangkan garis l menembus bidang α maka garis k juga menembus bidang α. Contoh :

37. kedudukan Garis Tehadap Bidang Ada juga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bangun ruang, yaitu : garis terletak pada bidang garis sejajar bidang garis memotong atau menembus bidang

38. Garis terletak pada bidang Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang α jika garis g dan bidang α itu sekurang – kurangnya memiliki dua titik persekutuan Contoh : Garis g terletak pada bidang α

39. Garis sejajar Bidang Garis h dikatakan sejajar bidang β, jika garis h dan bidang β tidak mempunyai satupun titik persekutuan Contoh : Garis h sejajar dengan bidang β

40. Garis memotong atau menembus bidang Sebuah garis k dikatakan memotong atau menembus bidang γ jika garis k dan bidang γ hanya mempunyai sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong atau titik tembus. Contoh : Garis k memotong bidang γ dititik A Titik A disebut titik potong atau titik tembus

41. Contoh & jawab : ☻Diketahui : kubus ABCD, EFGH Bidang alas ABCD sebagai wakil bidang α ☻Ditanya : a) Garis – garis yang terletak pada bidang α b) Garis – garis yang sejajar dengan bidang α c) Garis – garis yang memotong dan menembus bidang α

42. Jawab : a) garis – garis yang terletak pada bidang α adalah garis – garis AB, AD, BC dan CD b) Garis – garis yang sejajar dengan α adalah garis – garis EF, EH, FG dan GH c) Garis – garis yang memotong dan menembus bidang α adalah garis – garis EA, FB, GC dan HD

43. Dalil – dalil tentang garis sejajar bidang

44. Dalil 8 : jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α Contoh :

45. Dalil 9:jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap garis β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β sejajar terhadap garis g Contoh :

46. Dalil 10 :jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang αContoh :

47. Dalil 11 :jika bidang α dan bidang β berpotongan oleh masing – masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang β sejajar dengan garis g. Contoh :

48. Contoh & Jawab : ☻Diketahui : Kubus ABCD.EFGH Bidang alas ABCD mewakili bidang α ☻Ditanya : a) Garis – garis dan diagonal sisi yang teletak pada bidang α b) Garis – garis dan diagonal sisi yang sejajar dengan bidang α c) Garis – garis yang menembus bidang α

49. Jawab : a) Garis – garis dan diagonal sisi yang teletak pada bidang α adalah garis – garis AB, BC, CD, AD, dan AC, BD b) Garis – garis dan diagonal sisi yang sejajar dengan bidang α adalah garis – garis EF, FG, GH, EH dan EG, HF c) Garis – garis yang menembus bidang α adalah AE, BF, CG dan DH

50. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain