DETERMINISMO E CAOS 1

1. DETERMINISMO E CAOS 1 Stava piovendo, una mattinata uggiosa, nordeuropea. Venivano giù con la macchina, lei e Michele, per la via Gregorio VII. La cupola di San Pietro si fece visibile appena passato il ponte di porta Cavalleggeri. “Hai mai visto”, domandò Sara, “secchi accanto al baldacchino di Gian Lorenzo Bernini, o bagnato sul pavimento, sotto la cupola?”. “Non sono un campione significativo, perché la statistica delle mie visite alle chiese è bassa. Però, ti devo dire che non mi sembra”.

2. DETERMINISMO E CAOS 2 La rue de Rivoli, le venne in mente, e il rituale delle visite al Louvre. Giornate quasi sempre piovose. “Hai presente, al Luovre, l’ingresso nuovo al museo?” domandò. “La biglietteria è sotto al cortile, dove sono le piramidi di Jeoh Ming Pei”, si affrettò a precisare lui. “Perfetto”, aggiunse Sara, “ È lì, sotto le piramidi, che ho visto secchi d’acqua poggiati per terra a raccogliere copiosa acqua piovana … ” “Eppure”, continuò Sara, “le maestranze della Fabbrica di San Pietro non possedevano i mezzi tecnici del gruppo di Jeoh Ming Pei, che ha realizzato quelle piramidi, né avevano conoscenza dei modelli matematici per sostenere la progettazione. A rigore, in tal senso …” “Mi vuoi dire che le piramidi di cristallo dovrebbero resistere all’acqua meglio che non le finestre sulla cupola” “Ti volevo dire … “

3. DETERMINISMO E CAOS 3 “Eh, ma lo sai come la penso, no?” Sosteneva Michele, che le formule delle leggi fisiche o i modelli matematici di alcuni fenomeni, che spesso sono frutto di pregevoli intuizioni, e si prestano spesso a dare supporto alla comprensione del mondo, talvolta possono fallire. Perché qualcuno, nel modellizzare, dimentica che la natura non ha nessun obbligo di seguire formule o modelli, e non tiene nel dovuto conto i segni nelle cose, per scoprire meglio i principi che le regolano. “È una iattura”, continuò Michele a sostegno della sua tesi, “che il modello matematico dei moti pendolari, produca soluzioni che forniscono comunque il comportamento dell’oscillatore, qualunque sia la scelta dei valori dei parametri da cui dipende” “Sarebbe a dire? …” “A priori non c’è nessuna necessità che la stessa legge, spieghi tutti i casi. Potrebbe succedere che, scegliendo un caso specifico, si dovesse prendere un modello particolare, legato a quella scelta”

4. DETERMINISMO E CAOS 4 “Ma non è che una legge è tale, quando spiega un fenomeno nella sua globalità?” “Si, finché il gioco vale la candela. Stressando questo concetto, allora, si dovrebbe avere un’unica legge per tutta la natura “Ah … E allora?” “Meglio due leggi semplici per due casi differenti, che una legge complicata per tutt’e due i casi …” “È bello sentirti dire”, continuò Sara entrando, “che conoscere le formule non ti dà nessun senso di potere, ma ti crea, piuttosto, l’imbarazzo di far attenzione a usare quella giusta … “ “Mi spieghi?”

5. Fig. 1Tracciati delle soluzioni del problema linearey’(t) = y(t), y(t) =h e t Linee esponenziali, evoluzione a trend positivo y = 3 e t -10 t 1 Linea nulla, evoluzione statica

6. DETERMINISMO E CAOS 5 Riferendosi alla figura appena mostrata, “Questo è il tracciato delle soluzioni di un modello lineare. … “ disse Michele. “La legge di Malthus … “, continuò, “che descrivere l’evoluzione di un campione di popolazione, basandosi sul principio che il suo accrescimento sia proporzionale alla sua numerosità … “. “E questi? “, interrogò Sara. Si trattava di numerose curve flessuose ascendenti, e, sotto, il disegno con altre curve. Una selezione, si sarebbe detto, di quelle di sopra. In più c’erano aree retinate. “Sono i tracciati delle soluzioni di un modello non lineare … “, rispose lui. Quelle mostrate nella pagina che segue.

7. Fig. 2Tracciati delle soluzioni del modello non linearey’(t) = y(t)2/3, y(t) = (t+c) 3 Soluzioni con trend positivo Asse del tempo Soluzione statica (nulla): interseca tutti gli altri tracciati -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 sono evidenziate col celeste le aree degli scenari ammissibili del ritorno al passato o dell’evoluzione (o ritorno) al futuro,

8. DETERMINISMO E CAOS 6 “Mi sembra, a guardare, tutta un’altra cosa … “ “Eh no. Il modello lineare si scrive y’(t) = y(t), e si legge, l’accrescimento al tempo t, cioè la derivata, è proporzionale alla popolazione in quello stesso momento. Quello non lineare si scrive dando alla y(t) un esponente frazionario, uguale ad un numero pari diviso per il suo successivo; 2/3, 4/5. Capisci. Se prendi un milione diviso per un milione e uno, è praticamente uguale ad uno … “

9. DETERMINISMO E CAOS 7 “Ma i tracciati delle soluzioni sembrano molto diversi … “ “Si, lo sono. E, di più, c’è una particolarità che dà la differenza concettuale” “Sarebbe?” “I tracciati delle soluzioni del modello lineare, compresa la funzione nulla, ossia l’asse orizzontale, non hanno alcuna intersezione tra di loro. Nel caso non lineare, invece, tutte le curve incontrano la soluzione nulla” “E questo fa la differenza? … “ “Certamente … “ “E allora, la differenza?” “Per esempio, il modello lineare non prevede né il caso di una popolazione che si formi da zero, né quello di una che si estingua. Casi che esistono in natura. Il modello non lineare li contempla entrambi. E poi, c’è un altro fatto … “, e Michele si fermò. Poi passò a un’altra pagina, dov’erano disegnati dei tridenti, così poteva sembrare, con alcun annotazioni.

10. Fig. 3Punti di biforcazione biforcazione biforcazione numerosità ammissibili nel futuro, tempo crescente numerosità ammissibili nel passato, tempo decrescente

11. DETERMINISMO E CAOS 8 “Tridenti?” chiese infatti lei. “Punti di biforcazione … “, precisò lui “È vero, c’è scritto … “ Lui continuò, “Come vedi, in ognuna delle intersezioni, il modello può scegliere tra due cammini: continuare a esser nullo o decollare in su. E così, se vuoi fare un’estrapolazione al passato, salvo il problema formale di dare significato alla parte negativa delle curve, non potresti decidere se la popolazione sia stata sempre nulla o se provenga invece da una quantità significativa, diversa da zero. … E poi … “. Qui Michele si fermò.

12. DETERMINISMO E CAOS 9 “E poi?” “E poi, allora, se si potesse andare indietro nel tempo …” “Come, indietro nel tempo? … “ Michele tornò al foglio con i tracciati del modello lineare. “Vedi? “, e cominciò a fare segni con le dita, “se torni indietro nel tempo, puoi conoscere la consistenza numerica della popolazione in ogni istante del passato. E se poi si ritorna al futuro fino al momento da cui si è partiti, si ritrova la stessa popolazione lasciata. Cioè la stessa consistenza numerica”. Michele ebbe qualche attimo di perplessità, ma continuò, “Questo è forse quanto ci si aspetterebbe da un viaggio nel tempo. Che si potesse, con qualche mezzo o supporto, riandare a qualche episodio del proprio passato o a verificare la veridicità della storia scritta, e che poi, soddisfatti o no, si potesse tornare nella situazione di partenza”. Ritornò alla seconda pagina delle figure, quella con le aree retinate, e cominciò anche qui a fare segni con le dita.

13. DETERMINISMO E CAOS 10 “Qui, se torni indietro, quando incontri il primo punto di biforcazione, puoi scegliere se scendere o no. Insomma, puoi raggiungere un punto qualunque dell’area retinata. E così quando ritorni in avanti, dopo la prima biforcazione, puoi scegliere se salire o no. In somma puoi raggiungere ogni punto dell’area retinata, qui, nella figura di destra. E se metti insieme le due cose … “ “Zitto. Non me lo dire. Forse ho capito. Con opportuni viaggi nel tempo puoi passare da un qualunque punto del passato a un qualunque punto del futuro. È così?” “Proprio così. Questo, capisci, è lo scenario che il viaggio nel tempo potrebbe offrire nella realtà, e che verosimilmente contrasta con i desideri dei più”. La conclusione, così era stata in grado di esporre Sara, era dunque che a un certo momento si potrebbe, attraverso un viaggio nel tempo, raggiungere, secondo regole a lei sconosciute, un qualunque altro momento. E però, il modello non garantirebbe né che si ritroverebbero nel passato passaggi noti, né che, ritornando al futuro, si ritroverebbe la situazione lasciata.

14. DETERMINISMO E CAOS 11 “Messa così … “, concluse Michele, “quale dei due modelli è, secondo te, quello più aderente alla realtà del fenomeno dell’evoluzione?” “Te lo devo dire proprio io?” “No. Dimmi invece sotto l’ipotesi di quale modello, saresti disposta a tentare l’avventura di un viaggio nel tempo … “.

15. DETERMINISMO E CAOS 12 Un modello caotico, avrebbe dire Michele. Cioè che non esprime una legge deterministica. Ma anche qui, ma se lo tenne per sé, si potrebbe migliorare. Introducendo altre variabili, cioè modellizzando il fenomeno dando evidenza ad altre circostanze, si potrebbe arrivare a una legge. Ad un fenomeno deterministico. E dunque si potrebbe fare avanti e indietro nel tempo, come su un’autostrada.

16. Fig. 4Interpretazione della soluzione ponendo c = x come ulteriore variabile di sistema La soluzione si scrive y(x,t) = (x + t) 3 e il modello diventa oppure

17. Fig. 5Il grafico della soluzione in due variabili Diventa la superficie riportata (proiettata sul piano ty fornisce le cubiche rappresentate a pag. 3, ed è unica, sotto opportune condizioni per i dati). Essa rappresenta un sistema deterministico

18. Fig. 6I contenuti esposti costituiscono sostanzialmente un capitolo di un mio romanzo pubblicato nel 2004 Fulvio Bongiorno Universi Paralleli Manni