3.7. Métodos auxiliares

1. 3.7. Métodos auxiliares Geometria Descritiva 2006/2007

2. Métodos auxiliares • Para a resolução de vários problemas (por exemplo problemas métricos e problemas associados a rectas de perfil) é necessário colocar os elementos geométricos em posições mais convenientes • Recorre-se para isso aos métodos auxiliares: • Método da mudança de planos • Método das rotações • Método dos rebatimentos

3. Método da mudança de planos • Substitui-seum dos planos de projecção por outro, também perpendicular ao plano de projecção que permanece inalterado • Podem fazer-se mudanças sucessivas de planos de projecção, acabando por se mudar ambos os planos iniciais de projecção

4. Método da mudança de planos • Mudança do plano frontal de projecção • O novo plano frontal de projecção é 1 • Este plano define sobre 0 um novo eixo X1

5. z z y0 y1 Método da mudança de planos • Mudança do plano frontal de projecção • As projecçõeshorizontais de qualquer ponto no novo diedro ficam inalteradas • As cotas z mantêm-se inalteradas • O valor do afastamento y altera-se

6. z z z z y0 y1 y0 y1 Método da mudança de planos • Mudança do plano frontal de projecção • As novas linhas de referência são perpendiculares ao eixo X1

7. Método da mudança de planos • Mudança do plano horizontal de projecção • O novo plano horizontal de projecção é 1 • Este plano define sobre 0 um novo eixo X1

8. z0 z1 y y Método da mudança de planos • Mudança do plano horizontal de projecção • As projecçõesfrontais de qualquer ponto no novo diedro ficam inalteradas • Os afastamentos y mantêm-se inalterados • O valor das cotas z alteram-se

9. z1 z0 z0 y y Método da mudança de planos • Mudança do plano horizontal de projecção • As novas linhas de referência são perpendiculares ao eixo X1 z1 y y

10. Método da mudança de planosRectas • Transformaruma recta qualquer numa recta horizontal A2 X1 • Faz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de modo que este fique paralelo à recta r21 r2 B2  A11 = r11 X = B11  B1 r1 A1

11. Método da mudança de planosRectas • Transformaruma recta horizontal numa recta de topo (caso particular de uma recta horizontal) • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de modo que este fique perpendicular à recta n2 = X (n21) = n11 n1 X1

12. Método da mudança de planosRectas • Transformaruma recta qualquer numa recta de topo (caso particular de uma recta horizontal) A2 X1 r21 r2 • Com uma mudança do plano horizontal de projecção transforma-se a recta numa recta horizontal • Com uma mudança do plano frontal de projecção transforma-se a recta numa recta de topo B2  A11 = r22 r12 r11 B11 X =  B1 r1 A1 X2

13. Método da mudança de planosRectas • Transformaruma recta qualquer numa recta frontal A2 • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de modo que este fique paralelo à recta A21 r2 r21 B2  B21  = = X X1 B1 r1 r11 A1

14. Método da mudança de planosRectas • Transformaruma recta frontal numa recta vertical (caso particular de uma recta frontal) X1 f21 f2 • Faz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de modo que este fique perpendicular à recta = f11 = X f1

15. Método da mudança de planosRectas • Transformaruma recta qualquer numa recta vertical (caso particular de uma recta frontal) A2 r22 r2 r21 • Com uma mudança do plano frontal de projecção transforma-se a recta numa recta frontal • Com uma mudança do plano horizontal de projecção transforma-se a recta numa recta vertical A21 r12 B2   B21 = = X X1 X2 B1 r1 r11 A1

16. Método da mudança de planosRectas • Transformaruma recta oblíqua numa recta horizontal de frente • Transforma-se a recta numa recta horizontal (ou numa recta frontal) • Transforma-se a recta, agora horizontal, numa recta frontal (ou a recta, agora frontal, numa recta horizontal)

17. Método da mudança de planosPlanos • Para definir a posição de um plano relativamente aos planos de projecção depois de uma mudança de um destes planos é necessário determinar a nova posição de: • três pontos do plano • ou • uma recta e um ponto do plano • ou • de duas rectas do plano

18. Método da mudança de planosPlanos • Transformarum plano de topo num plano de nível (definido pelos seus traços) • Faz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de modo que este fique paralelo ao plano f (f1) X1 X h

19. A2 R2 S2 A11 A1 R1 R11 s11 S1 r11 S11 Método da mudança de planosPlanos • Transformarum plano de topo num plano de nível (definido por duas rectas concorrentes) • Faz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de modo que este fique paralelo ao plano r2s2 r21s21 X1 X r1 s1

20. Método da mudança de planosPlanos • Transformarum plano vertical num plano frontal (definido pelos seus traços) • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de modo que este fique paralelo ao plano f X X1 h (h1)

21. Método da mudança de planosPlanos • Transformarum plano qualquer (definido pelos seus traços)num plano de topo • Para que um plano seja de topo basta que uma das suas rectas seja uma recta de topo • Considera-se uma recta horizontal do plano e faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de modo que a recta fique de topo • O traço frontal do plano tem de conter o traço frontal da recta, cuja projecção frontal coincide com a projecção frontal de todos os pontos da recta f n2 f1 n21 X n11 n1 h h1 X1

22. n2 f1 n1 h1 Método da mudança de planosPlanos • Transformarum plano qualquer (definido por duas rectas concorrentes)num plano de topo r2 s2 • Para que um plano seja de topo basta que uma das suas rectas seja uma recta de topo • Considera-se uma recta horizontal do plano e faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de modo que a recta fique de topo X n21 n11 r1 X1 s1

23. Método da mudança de planosPlanos • Transformarum plano qualquer num plano de nível • Faz-se a mudança do plano frontal de projecção de forma a tornar o plano num plano de topo • Faz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de forma a tornar o plano de nível

24. f X1 n2 (f2) f1 n21 X n1 h h1 n12 X2 Método da mudança de planosPlanos • Transformarum plano qualquer num plano de nível • Mudança do plano frontal de projecção de forma a tornar o plano de topo • Mudança do plano horizontal de projecção de forma a tornar o plano de nível n22 n11

25. A2 X1 D2 I2 B2 C2 D21 X B21 D1 B1 A21 I1 I21 A1 C1 C21 Método da mudança de planosPlanos • Determinar o ponto de intersecção de duas rectas de perfil definidas respectivamente pelos pontos A e B e pelos pontos C e D • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção • Escolheu-se um plano perpendicular ao plano inicial

26. X1 r2 P2 A2 f X2 f1 B2 X11 X A1 X21 B1 h r1 P21 P1 Método da mudança de planosPlanos • Conduzir por um ponto P uma recta r perpendicular a um plano de rampa • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção • Escolheu-se como novo plano frontal de projecção um plano perpendicular ao plano frontal inicial • O ponto X pertence à recta r. X1 A21 h1 B21

27. A2 A2 A21 A j0 j0 A Arot1 A21 x Arot1 A1 X X A1 n0 n0 A11 A11 Método das rotações • A figura geométrica é rodada em torno de um eixo vertical ou de um eixo de topo

28. Método das rotações • A figura geométrica é rodada em torno de um eixo vertical • Cada ponto descreve um arco de círculo paralelo ao plano horizontal de projecção A2 • A projecção horizontal do ponto descreve um arco de círculo igual ao descrito pelo ponto • A projecção frontal do ponto descreve um segmento rectilíneoparalelo ao eixo X. A21 A j0 Arot1 x A1 X n0 A11

29. Método das rotações • A figura geométrica é rodada em torno de um eixo vertical • A projecção horizontal do ponto descreve um arco de círculo igual ao descrito pelo ponto • A projecção frontal do ponto descreve um segmento rectilíneoparalelo ao eixo X. A2 A21 X x1 A1 A11

30. Método das rotações • A figura geométrica é rodada em torno de um eixo de topo • Cada ponto descreve um arco de círculo paralelo ao plano frontal de projecção • A projecção horizontal do ponto descreve um segmento rectilíneoparalelo ao eixo X • A projecção frontal do ponto descreve um arco de círculo igual ao descrito pelo ponto A2 j0 A A21 Arot1 X A1 n0 A11

31. Método das rotações • A figura geométrica é rodada em torno de um eixo de topo • A projecção horizontal do ponto descreve um segmento rectilíneoparalelo ao eixo X • A projecção frontal do ponto descreve um arco de círculo igual ao descrito pelo ponto A2 A21 X A1 A11

32. A2 r2 B2 X B1 r1 A1 t1 Método das rotaçõesRectas • Transformar uma recta qualquer numa recta horizontal • Roda-se a recta em torno de um eixo de topo até que a sua projecção frontal seja paralela ao eixo X • A projecção frontal do ponto A da recta descreve um arco de circunferência • A projecção horizontal de A descreve um segmento de recta t2 r21 A21 A11 r11

33. v2 r21  B2 r2 A2 X v1 A1 B1 r1 r11 A11 Método das rotaçõesRectas • Transformar uma recta horizontal numa recta de topo • Roda-se a recta em torno de um eixo de vertical até que a sua projecção horizontal seja perpendicular ao eixo X • A projecção frontal de A descreve um segmento de recta • A projecção horizontal de A descreve um arco de circunferência A21

34. A2 r2 v2 r22  B2 X v1 B1 r1 A1 t1 r12 A12 Método das rotaçõesRectas • Transformar uma recta qualquer numa recta de topo • Transforma-se a recta numa recta horizontal (rotação em torno de um eixo de topo) • Transforma-se a recta obtida numa recta de topo (rotação em torno de um eixo vertical) t2 r21 A21 A11 r11

35. r22 A22 v2 r21 A2 A21 r2 B2 v1 X r12 A11 t1 r11 B1 r1 A1 Método das rotaçõesRectas • Transformar uma recta qualquer numa recta vertical • Transforma-se a recta numa recta frontal (rotação em torno de um eixo vertical) • Transforma-se a recta obtida numa recta vertical (rotação em torno de um eixo de topo) t2

36. Método das rotaçõesPlanos • Transformar um plano qualquer num plano horizontal • Transforma-se o plano num plano de topo (rotação em torno de um eixo vertical) • Para que um plano seja de topo basta que uma sua recta seja uma recta de topo • Transforma-se o plano obtido num plano horizontal (rotação em torno de um eixo de topo)

37. r2 f s2 (f1) t2 B21 B2 A22 n2 v2 A21 A2 X B11 A12 A11 n1 A1 v1 B1 h t1 n11 s1 r1 Método das rotaçõesPlanos • Transformar um plano qualquer num plano horizontal • Transforma-se o plano num plano de topo rodando em torno de um eixo vertical v • Colocar uma recta horizontal n do plano como uma recta de topo • Transforma-se o plano obtido num plano horizontal rodando em torno de um eixo de topo t n21

38. v2 r2 P2 f A21 A2 C2 A1 B21 B2 X C1 B1 h r1 v1 A11 P1 C11 B11 Método das rotaçõesRectas e planos • Conduzir por um ponto P uma recta r perpendicular a um plano de rampa • Uma recta perpendicular a um plano de rampa é uma recta de perfil • Considere-se a rectai de intersecção do plano de rampa com o plano de perfil que passa por P (plano projectante de r), definida pelos pontos A e B. • A recta r será perpendicular a i • Roda-se a recta i em torno de um eixo vertical (ou um eixo de topo) • A projecção frontal da recta r será perpendicular à projecção frontal da recta i • O ponto C pertence à recta r. i21 r21 C21 r21 i11

39. Método dos rebatimentos • Rebater um plano sobre um plano horizontal é fazê-lo coincidir com este plano por meio de uma rotação em torno da recta de intersecção dos dois planos (recta horizontal) • Rebater um plano sobre um plano frontal é fazê-lo coincidir com este plano por meio de uma rotação em torno da recta de intersecção dos dois planos (recta frontal) n j

40. Método dos rebatimentos • Rebatimento: acção de rebater • rotação de um plano em torno de uma das suas rectas, horizontal ou frontal, até se tornar paralelo a um dos planos de projecção • A recta em torno da qual se faz a rotação chama-se eixo ou charneira do rebatimento

41. B2 A2 C2 A Br2 C Método dos rebatimentos • Durante o rebatimento cada ponto do plano descreve um arco de círculo: • perpendicular à charneira • com centro na charneira • raio igual à sua distância à charneira j0 B Br n A1 B1 Br1 n0

42. j0 B2 B2 B A2 A2 n2 C2 A Br2 Br2 C Br n X A1 B1 A1 Br1 B1 n1 n0 Br1 Método dos rebatimentos

43. Método dos rebatimentos • Regra do triângulo rectângulo: • Num rebatimento qualquer ponto do plano fica a uma distância da charneira igual à hipotenusa do triângulo rectângulo cujos catetos são as distâncias das projecções do ponto às projecções homónimas da charneira

44. r2 B2 f2 A2 Br2 rr2 X rr1 f1 Br1 A1 B1 r1 Método dos rebatimentosRectas • Transformar uma recta qualquer numa recta frontal • Considera-se uma recta frontalcomplanar com r (intersecta r no ponto A) • Rebate-se o plano definido por r e f em torno da recta frontal até r ficar paralela ao plano frontal de projecção • O pontoA,comum à recta r e àcharneira, ficou imóvel durante o rebatimento

45. A2 rr2 n2 Br2 B2 r2 X n1 r1 B1 A1 rr1 Método dos rebatimentosRectas • Transformar uma recta frontal numa recta horizontal • Considera-se uma recta horizontalcomplanar com r (intersecta r no ponto A) • Rebate-se o plano definido por r e n em torno da recta horizontal até r ficar paralela ao plano horizontal de projecção • O pontoA,comum à recta e àcharneira, ficou imóvel durante o rebatimento Br1