SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU NUMERIČKO INTEGRIRANJE

1. SVEUČILIŠTE U SPLITUPOMORSKI FAKULTET U SPLITUNUMERIČKO INTEGRIRANJE Trapezna i Simpsonova metoda Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu

2. Uvod u numeričku integraciju • Prvobitno je pojam integracije podrazumijevao problem računanja površina, a kasnije je poopćen na problem numeričkog rješavanja integrala. • Osnovni teorem integralnog računa daje nam vezu između integriranja i deriviranja dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

3. Numerička integracija je postupak pri kojem ne tražimo izraz za integral, nego samo računamo njegovu numeričku vrijednost. • Naime, neelementarne integrale aproksimiramo integralima funkcija koje možemo integrirati na segmentu Pri tom se javlja greška ali se može učiniti dovoljno malom.

4. Trapezna formula • Najjednostavnija metoda (ali ne i najbolja) se sastoji u tome da se površina ispod krivulje aproksimira nizom trapeza. • Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

5. Općenito se želi funkciju f(x) integrirati u granicama izmeđua i b. • Površinu ispod krivulje zamjenimo tj. aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo: interpolacija 1 stupnja

6. Točnost se povećava ako se zadani interval podijeli na njednakih dijelova (podintervala) i nad svakim se primjeni trapezna formula.

7. …… • Tako smo dobili niz integrala (površina trapeza): • Zbrajanjem svih površina trapeza dobiva se približna vrijednost integrala koju zovemo trapeznom formulom, a možemo je zapisati i ovako:

8. Ocjena greške kod trapezne formule • Pogrešku trapezne formule daje slijedeći teorem.

9. Teorem: Ako je druga derivacijaneprekidna i omeđena na intervalu , tada vrijedi: pri čemu je trapezna formula, dok za ostatak vrijedi ocjena • Želimo li da je dovoljno je tražiti da bude pri čemu je

10. Simpsonova formula • Kod Simpsonove formule nešto je bolja točnost nego kod trapezne formule. • Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom • Graf f(x) se zamjenjuje s nlukova parabola .

11. Dakle, sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov interpolacijski polinom 2. stupnja. • Dalje se može segment [a,b] dijeliti na podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

12. Neka je jednadžba parabole kroz točke: . • Možemo uzeti da je • Iz jednadžbe parabole slijedi : • P - površina ispod luka parabole na segmentu od –hdo h . (1) (2)

13. = ( prema formuli (2) ) = (2') • Općenito se želi funkciju f(x) integrirati u granicama izmeđua i b.

14. [a,b]podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama : Vrijednosti funkcije su, po točkama : na svakom podsegmentu j = 0, 1, 2, …, m-1

15. Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole koja prolazi točkama • Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi : • Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:

16. Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo: • Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo tzv. Simpsonovu formulu: gdje je Neparni Parni

17. Ocjena greške kod Simpsonove formule • Pogrešku Simpsonove formule daje slijedeći teorem.

18. Teorem: Ako je četvrta derivacijaneprekidna i omeđena na intervalu , tada vrijedi: pri čemu je Simpsonova formula, dok za ostatak vrijedi ocjena • Za zadanu točnost ε broj korekcija je:

19. Primjeri Primjer 1. Izračunati I = , h = 0.1 , trapeznom formulom. Naći ocjenu greške i pravu grešku.

20. Rješenje: I =

21. Ocjena greške:

22. Prava vrijednost: Prava greška: , a to je < 0.00167. I =

23. Primjer 2. Izračunati I = Simpsonovom formulom za točnost ε =. Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu točnost?

24. Rješenje: →

25. Kod Simpsonove formule mora biti parni broj, pa uzimamo prvi parni veći →

26. Prava vrijednost:

27. Koraci za trapeznu formulu : Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

28. HVALANAPAŽNJI 