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PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD. TEMA 3 * 3º ESO. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. TEMA 3.4 * 3º ESO. Propiedad. PROPIEDAD Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple siempre que la suma o resta de cantidades siguen siendo directamente proporcionales.

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PROPORCIONALIDAD

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Presentation Transcript

  1. PROPORCIONALIDAD TEMA 3 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES TEMA 3.4 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. Propiedad • PROPIEDAD • Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple siempre que la suma o resta de cantidades siguen siendo directamente proporcionales. • a b a+ b • --- = --- = k  ------- = k • a’ b’ a’+b’ • a b • --- = k  a = a’.k ; ----- = k  b = b’.k • a’ b’ • a + b a’.k + b’.k k.( a’ + b’ ) a’ + b’ • -------- = --------------- = ---------------- = k. ------------- = k • a’+ b’ a’+ b’ a’ + b’ a’ + b’ Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. EJEMPLO • Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. • Magnitud “Ganancias” 8  12  16 • Magnitud “Horas trabajo” 2  3  4 • 8+12 20 • ------ = ----- = 4 • 2+3 5 • 12+16 28 • --------- = ---- = 4 • 3+4 7 • 8+12+16 36 • ------------- = ---- = 4 , como vemos es un valor constante • 2+3+ 4 9 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. Repartos D. P. • Hemos visto que se cumple en las magnitudes D. P.: • a b c a+ b+c • --- = --- = --- = ------------- = k • a’ b’ c’ a’+b’+c’ • Como: • a a+ b+c a+b+c • --- = ------------  a = a’. ----------- = a’.k • a’ a’+b’+c’ a‘+b’+c’ • En problemas de reparto nos suelen dar la cantidad total a repartir (S=a+b+c) y las cantidades directamente proporcionales (a’,b’,c’), quedando: • S S S • a = a’. ----------- ,, b = b’. ------------ ,, c = c’. ------------- • a’+b’+c’ a’+b’+c’ a’+b’+c’ Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. EJEMPLO_1 • Una madre reparte 60 € entre sus tres hijos, en razón directamente proporcional al número de semanas que la han ayudado en las tareas caseras, que han sido de 3,4 y 5 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno?. • RESOLUCIÓN: • Aplicando la propiedad indicada arriba, tenemos: • a b c a + b + c 60 • --- = --- = --- = ------------- = ----- = k • 3 4 5 3 + 4 + 5 12 • Como k =60/12 = 5 • a = 3.k = 15 • b= 4.k = 20 • c= 5.k = 25 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. EJEMPLO_2 • Un profesor de matemáticas reparte puntos extras entre cuatro alumnos que han buscado y solucionado problemas originales, en cantidad de 2, 4, 5 y 7 problemas respectivamente. Si al alumno que resolvió 4 problemas le correspondieron 0,75 puntos, ¿cuánto les ha correspondido a cada uno y cuántos puntos repartió en total?. • RESOLUCIÓN: • Aplicando la propiedad, tenemos: • a 0,75 c d S • --- = ------- = --- = ------ = --- = k • 2 4 5 7 18 • Como k =0,75/4 = 0,1875 • a = 2.k = 2.0,1875 = 0,375 • c= 5.k = 5.0,1875 = 0,9375 • d= 7.k = 7.0,1875 = 1,3125 • S = 18.k = 18.0,1875 = 3,375 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES TEMA 3.5 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. Repartos I. P. • Como en dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple siempre que: • a.a’ = k • 1 • Podemos poner que a : ---- = k • a’ • 1 • Luego a y ---- son directamente proporcionales. • a’ • Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a los números 10, 5 y 2 es equivalente a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a 1 / 10 = 0,1 , 1 / 5 = 0,2 y 1 / 2 = 0,5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. EJEMPLO 1 • Se venden tres máquinas por 1700 €, en razón inversamente proporcional a la antigüedad de cada una, que es de 10,20 y 50 años respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?. • RESOLUCIÓN: • Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. • Por tanto, tenemos: • a b c 1700 • ------- = ------- = -------- = ----------------------- = k • 1/10 1/20 1/50 1/10+1/20+1/50 • Como k =1700 /(0,1+0,05+0,02) = 1700 / 0,17 = 10000 • a = k.0,1 = 10000.0,1 = 1.000 • b= k.0,05 = 10000.0,05 = 500 • c= k.0,02 = 10000.0,02 = 200 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  11. EJEMPLO 2 • Un padre reparte 100 € entre sus tres hijos, en razón inversamente proporcional a los días que han llegado tarde a casa, que son 2, 5 y 8 días respectivamente. ¿Cuánto les corresponde a cada uno?. • RESOLUCIÓN: • Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. • Por tanto, tenemos: • a b c 100 • ------- = ------- = -------- = ----------------------- = k • 1/2 1/5 1/8 1/2+1/5+1/8 • Como k =100 / (0,5+0,2+0,125) = 100 / 0,825 = 121,21 • a = k . 0,5 = 121,21.0,500 = 60,60 € • b= k . 0,2 = 121,21.0,200 = 24,24 € • c= k.0,125 = 121,21.0,125 = 15,15 € Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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