Tema 7 PROPORCIONALIDAD

1. Tema 7 PROPORCIONALIDAD

2. A  B C  X Recuerda ► Una proporción es una igualdad de dos razones o cocientes numéricos. es una proporción, ya que se cumple que el producto de los extremos 80 · 3 = 240 es igual al de los medios 16 · 15 = 240. ► Conocidos A, B, y C, para hallar X: ► La regla de tres: A·X = B·C

3. Recuerda: Obtener el % de una cantidad De una cantidad A se quiere calcular su 20%; supongamos que la cantidad obtenida es P. Entonces: Para calcular el 20% de una cantidad basta multiplicar dicha cantidad por 0,20. Análogamente se calculan otros porcentajes.

4. Limonada (litros) 30 60 90 ….. Limones (kilogramos) 10 20 L ….. Proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente o razón de las cantidades correspondientes es constante. Este cociente se llama constante de proporcionalidad, k. • Para hacer 30 litros de limonada necesitamos 10 kg de limones. • Para hacer 60 litros de limonada necesitamos 20 kg de limones. • Para hacer 90 litros de limonada necesitamos .... kg de limones. 3 es la constante de proporcionalidad y representa los litros de limonada por kg de limones (la cantidad de una magnitud por unidad de la otra).

5. Repartos proporcionales directos Un puente ha costado 3 150 000 €, y lo deben pagar tres ayuntamientos proporcionalmente a su número de habitantes, que son 800, 625 y 575. ¿Cuánto pagará cada uno? Si k es la constante de proporcionalidad (Aquí k representa lo que corresponde pagar por persona) El 1º pagará 800 . k  800·k + 625·k + 575·k = 3 510 000  El 2º pagará 625 . k  (800 + 625 + 575)·k = 3 510 000  El 3º pagará 575 . k  2000·k = 3 510 000  k = 1575 Por tanto: El 1º pagará 800 ·1575 = 1 260 000 € El 2º pagará 625 ·1575 = 984 375 € El 3º pagará 575 ·1575 = 905 625 €

6. Repartos proporcionales directos: representación Dividir el siguiente rectángulo en dos partes directamente proporcionales a 2 y a 5 Parte proporcional a 2 Parte proporcional a 5

7. Proporcionalidad Razón Tanto por 1 Porcentaje Tanto por 1.000 Porcentajes, tantos por uno y por mil Las proporciones son utilizadas en numerosos contextos de la vida real y tienen muchas maneras de expresarse. Observa la siguiente tabla, donde se expresa la proporcionalidad de distintas formas. 15 de cada 50 15/50 0,30 30% 300‰ 5 por ciento 5/100 0,05 5% 50‰ Dar 3 por 2 3/2 1,50 150% 1.500‰ El tanto por uno es la cantidad de una magnitud correspondiente a una unidad de la otra. Así, la razón 15/50 se expresa como 0,3 en tanto por uno. Para obtenerlo basta con hacer la división. Los porcentajes o tantos por ciento expresan la cantidad de una magnitud correspondiente a 100 unidades de la otra. Decir que de 50 lanzamiento he encestado 15 equivale a decir que de 100 he encestado 30. Se expresan con el signo %. El tanto por mil indica la cantidad de una magnitud que corresponde a 1.000 unidades de la otra. Se expresa por el signo ‰.

8. Lanzamientos 10 100 Encestes 4 x Porcentajes y proporcionalidad Si un jugador lanza 10 veces a canasta y encesta 4, el porcentaje de encestes es  x = 40 • Que se puede leer así: • Ha encestado el 40% de los tiros a canasta. • Encesta 4 de cada 10 lanzamientos. • Acierta el 0,4 por 1 de los lanzamientos

9. Porcentajes Los porcentajes nos permiten realizar comparaciones. En una cafetería suben los precios de los refrescos: la naranjada, de 1 a 1,05 euros, y los refrescos de cola de 1,1 a 1,15 euros. La subida lineal ha sido la misma: 5 céntimos, pero ¿ha sido proporcional el aumento? Naranjada: Ha subido más la naranjada. Cola:

10. Porcentajes: descuentos Un televisor cuesta 450 €. Si se nos hace una rebaja del 10%, ¿cuál será el precio del televisor? • Si nos descuentan el 10 % de 450, nos descuentan • Por tanto hemos de pagar 450 – 45 = 405 €. En general: Si a una cantidad C se le aplica un descuento del r %, el precio final será: • Cantidad descontada: • Cantidad a pagar:

11. Porcentajes: incrementos Un ordenador cuesta 900 €. Su IVA correspondiente es 16%. ¿Cuánto hemos de pagar? • Se nos incrementa el 16 % de 900, es decir: • Por tanto hemos de pagar 900 + 144 = 1044 €. En general: Si a una cantidad C se le aplica un incremento del r %, el precio final será: • Cantidad incrementada: • Cantidad a pagar:

12. consume Si en 100 km 5 litros consume en 250 km x litros Regla de tres directa Regla de tres simple directa Un coche a velocidad constante consume 5 litros al recorrer 100 km. Si el coche recorre 250 km, ¿cuántos litros consumirá? En este problema intervienen solamente dos magnitudes, es una regla de tres simple. El primer paso que tenemos que dar es averiguar qué tipo de proporcionalidad existe entre las dos magnitudes. Si el espacio aumenta, el consumo de gasolina aumenta proporcionalmente, así que se trata de una proporcionalidad directa. 12,5 litros

13. Directamente proporcionales Nº de máquinas Nº de horas Nº de envases Directamente proporcionales Máquinas Horas Paquetes 5 6 7 200 1 1 7200 5·6 = 240 7 8 240 · 7 · 8 = 13 440 Regla de tres directa Regla de tres compuesta directa En una fábrica de galletas, 5 máquinas envasan 7.200 paquetes en 6 horas. ¿Cuántos paquetes envasarán 7 máquinas en 8 horas? Como hay más de dos magnitudes se trata de una regla de tres compuesta. El primer paso es averiguar el tipo de proporcionalidad que hay entre la magnitud de la incógnita y las otras. Para resolver el problema reducimos a la unidad, es decir, calculamos el número de paquetes que envasa una máquina en una hora. Sabemos que 1 máquina en 1 hora envasa 7 máquinas en 8 horas envasan

14. Nº de acertantes 1 2 3 4 Premio en millones 7,2 3,6 2,4 x Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las cantidades correspondientes es constante. Este producto se llama constante de proporcionalidad inversa, k. a · a = b · b = c · c = ….. = k Las quinielas reparten esta semana 7,2 millones. Si sólo hay 1 acertante le tocan 7,2 millones. Si hay 2 acertantes (el doble) a cada uno le tocan 3,6 millones (la mitad) Si hay 3 acertantes (el triple) a cada uno le tocan 2,4 millones (la tercera parte) Si hay 4 acertantes a cada uno le tocan x millones 1 · 7,2 = 2 · 3,6 = 3 · 2,4 = 4 · x = 7,2 = k

15. Al primero le tocará: • Al segundo le tocará: • Al tercero le tocará: • Al primero le tocará: • Al segundo le tocará: • Al tercero le tocará: Repartos proporcionales inversos Hemos de repartir una gratificación de 1080 € a unos pastores en cantidades inversamente proporcionales a las ovejas perdidas, que son 1, 3 y 6 respectivamente. ¿Cuánto le tocará a cada uno? Si k es la constante de proporcionalidad k = 720

16. Para hacer un reparto de una cierta cantidad, inversamente proporcional a M, N y P, se ha de repartir dicha cantidad directamente proporcional a las cantidades

17. Repartos inversamente proporcionales: representación Dividir el siguiente rectángulo en dos partes inversamente proporcionales a 2 y a 5 Parte inversamente proporcional a 5 Parte inversamente proporcional a 2

18. tienen para 18 tripulantes 10 días tienen para 15 tripulantes x días Regla de tres inversa Regla de tres inversa simple Un velero que parte para una travesía con 18 tripulantes tiene agua para 10 días. Si al final sólo viajan 15 tripulantes, ¿para cuántos días tendrán agua? En el problema aparecen dos magnitudes; número de tripulantes y días que dura el agua a bordo. Lo primero que debemos hacer en este tipo de problemas es averiguar el tipo de proporcionalidad entre las magnitudes. A mayor número de tripulantes menos días durará el agua (ya que la cantidad es la misma). Si el número de tripulantes fuera el doble, el agua duraría la mitad; si fuera el triple, la tercera parte, etc. Ambas magnitudes son inversamente proporcionales. 18·10 = 15·x; x = 12 días

19. Inversamente proporcionales Nº de obreros Nº de horas Nº de días Inversamente proporcionales Nº de obreros Horas Nº de días 7 6 80 1 1 6 1 80 · 7 = 560 80 · 7 · 6 = 3360 4 10 3360 :(4 · 10) = 84 Regla de tres inversa Regla de tres inversa compuesta Para realizar un trabajo, 7 obreros trabajando 6 horas diarias han tardado 80 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 4 obreros trabajando 10 horas diarias? Intervienen más de dos magnitudes, se trata de una regla de tres compuesta. Lo primero es averiguar el tipo de proporcionalidad que hay entre la magnitud de la incógnita y las otras magnitudes. Reducimos a la unidad y resolvemos el problema. Sabemos que 1 obrero trabajando 1 hora 4 obreros trabajando 10 horas

20. Proporcionalidad compuesta directa Un hotel cobra a 4 personas por 5 días de alojamiento 1200 €. ¿Cuánto cobrará a 6 personas por 10 días de alojamiento? • Pasamos a la unidad en las personas y en los días: 1 persona en 5 días pagará: 1 persona en 1 día pagará: • Buscamos la respuesta al problema: 6 personas en 1 día pagarán: 6 personas en 10 días pagarán: Por lo tanto el hotel les cobrará 3600 €

21. Proporcionalidad compuesta inversa Para realizar una auditoría a una empresa se han necesitado 6 economistas trabajando 12 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántos días necesitarán 10 economistas trabajando 6 horas diarias para hacer una auditoría a una empresa igual? • Pasamos a la unidad 1 economista trabajando 12 horas necesita: 1 economista trabajando 1 hora necesita: • Buscamos la respuesta al problema: 10 economistas trabajando 1 hora necesitarán: 10 economistas trabajando 10 horas necesitarán: La auditoría se realizará en 6 días

22. Proporcionalidad compuesta directa-inversa Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 km. ¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 km, caminando 8 horas diarias? • Pasamos a la unidad 1 km, caminando 10 horas lo hace en 1 km, caminando 1 hora lo hace en • Buscamos la respuesta al problema: 432 km, caminando 1 hora los hace en 432 km, caminando 8 horas los hace en Necesitará 18 días para hacer el recorrido