Proporcionalidad

1. Proporcionalidad Directa

2. Introducción • Aquí conocerás lo que es una proporción y su aplicación en la vida cotidiana, descubrirás como las proporciones están presentes en el comercio y la industria. • También podrás ver ejemplos que podrás relacionar muy fácilmente con algún hecho de tu vida.

3. Proporcionalidad Directa Usos en el Comercio y la Industria

4. ¿Qué es Proporcionalidad Directa? Son las magnitudes que varían de forma que su razón permanece constante son directamente proporcionales. Las magnitudes de los segmentos a, b, c, y d son directamente proporcionales. a/b =c/d = k

5. Ej. De Magnitudes Directamente Proporcionales • El bus que lleva a los turistas recorre 200 Km. en 3 horas. ¿Cuántas horas tardará en recorrer 500 Km.? ¿y en 600 y 800 Km.?

6. En el gráfico anterior observamos que para recorrer más km.., se ocupan más horas. Es decir, ambas magnitudes se desplazan en la misma dirección, esto significa que si aumenta una magnitud, aumenta la otra también. Si establecemos dos razones Cualquiera en ambas magnitudes veremos que su valor es constante.

7. Proporcionalidad Directa(Definición) • Relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3=8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”.

8. En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción contínua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.

9. Proporcionalidad Directa usos en la Industria • La construcción de grandes puentes, la espiral de una galaxia siempre van a necesitar alguna forma de expresión y allí se usa la Proporcionalidad Directa • La Proporción Directa se puede usar para diferentes casos, como: construcción de puentes, compra y ventas de materiales, o simplemente en la distribución de cosas u objetos

10. Proporcionalidad Directa usos en el Comercio • En el comercio existen distintas formas de utilizar la proporción Directa, se puede utilizar en la compra, venta de artículos . • Existen otros usos más complejos que sirven para calcular las ganancias obtenidas en un mes de ventas.

11. Ej: De uso en el comercio • Se puede utilizar para analizar los costos de una empresa . • Se pude utilizar para hacer un resumen de contabilidad de costos. • Se pude utilizar para ver la clasificación de los costos de una empresa.

12. Ejemplos Proporcionalidad Directa

13. Considerando la información siguiente:US$ 1 = 8,5 pesos mexicanos yUS$ 1 = 450 pesos chilenos, construir un gráfico cartesiano que indicar la relación entreel valor de los pesos chilenos y los mexicanos.¿Cuál es el cambio en pesos chilenos por un peso mexicano? Tres amigas organizan una microempresa. Deciden instalarse con una amasandería yvender, entre otros productos, pan integral. La experiencia casera les indica que unkilogramo de harina les rinde 1,250 kg de pan. Además, por cada kg de harina, necesitan40 g de levadura y 50 g de manteca vegetal. Para cada día de la primera semana, ellaspiensan hacer 30 kg de pan. ¿Cuánta harina integral, levadura y manteca necesitan parahacer el pan de la semana? Usa una tabla para que te ayude en al reflexión y el desarrollo de los cálculos. Ejercicios de proporcionalidad Directa

14. 4. El cine-arte tiene un plan especial para sus socios: pagan una cuota anual de $5 000 y el valor de la entrada es $1 500. Los que no son socios pagan $2 000 por entrada. Traza el gráfico que describe la situación. ¿En qué momento se interceptan ambas rectas? ¿A quiénes les conviene ser socios de cine-arte? 3. El gráfico siguiente muestra el gasto de bencina de un mismo vehículo en carretera y en ciudad: Sin los números en los ejes, ¿cuál de los dos corresponde al rendimiento en carretera? ¿por qué? Ejercicios de proporcionalidad Directa

15. Proporciones • Si se calcula que en el último cuarto de siglo la población ha aumentado en 1.848.000 habitantes a la semana, ¿en cuantos aumentará en un año?. • Aquí veremos un método que nos permitirá resolver el problema planteado: a) en 7 días la población aumenta en 1.848.000 habitantes. en un día la población aumenta en 1.848.000 =264.000 habitantes 7 En 365 días o un año la población aumenta en 365x264.000 = 96.360.000 habitantes

16. Como podemos apreciar en el gráfico dos magnitudes variables son directamente proporcionales si su razón es constante.

17. Diferencia entre proporciones • Para diferenciar entre un proporción directa o inversa se puede ver así: Directamente proporcionales, si una cantidad aumenta el doble, la otra aumenta el doble. Si una disminuye la mitad a otra también. Inversamente Proporcionales, si una cantidad aumenta e doble, la otra disminuye a la mitad, y viceversa.

18. Escalas • La razón de proporción entre las medidas de un dibujo y las magnitudes correspondientes del objeto real que representa, se llama escala. Se representa por una fracción cuyo numerador se corresponde con las medidas del dibujo y el denominador con las medidas de la realidad. • E = Dibujo / Realidad • Escala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas de la realidad. Se representa con la fracción E = 1:1.

19. Escalas • Escala de ampliación es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son mayores que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2 • Escala de disminución es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son menores que las de la realidad. Por ejemplo, E = 1:25.000. • Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidad por la escala, puesto que de la fórmula de la escala se deduce que • Dibujo = E x Realidad • También podemos utilizar los escalímetros que existen en el mercado, que son reglas graduadas según las escalas de uso más frecuentes. No obstante, podemos contruir cualquier escala gráficamente.

20. Pasos para resolver un problema de proporcionalidad • Leer atentamente el problema • Reconocer si las magnitudes que aparecen en el problema son directa o inversamente proporcionales • Plantear la proporción • Calcular la cantidad desconocida • Escribir la respuesta del problema

21. ¿Quienes somos? • Somos integrantes de la escuela industrial La Gratitud Nacional. • Se localiza en Chile/Santiago/cumming #4 • Estamos en el área matemática con la profesora Ana M. Barriga

22. Comentario • Las proporciones nos ayudan a resolver diversos problemas de la vida diaria, también son muy útiles para hacer dibujos en ingeniería, en arquitectura, en las ciencias en general. Esto nos dice que la proporción siempre se ha ocupado en la mayoría de los sectores de aprendizaje.

23. Bibliografía • Encarta 2002 • Libro de octavo año básico Mac Graw Hill • Libro de primero medio Arrayán • Recursos de Internet • WWW.google.cl