El Teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco

1. El Teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco Objetivo: aplicar el teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco en la resolución de ejercicios y problemas.

2. Observe la foto. Encuentre un triángulo en el que, a uno sus lados, se le haya trazado una paralela la cual pasa por el interior del triángulo.

3. El teorema fundamental de la proporcionalidad Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados. A C B

4. El teorema fundamental de la proporcionalidad Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados. A ‖ CB DE D E C B

5. El teorema fundamental de la proporcionalidad Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados. A AC AB = ‖ CB DE AD AE D E C B

6. El teorema fundamental de la proporcionalidad Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados. A AD AE = ‖ CB DE EB DC D E C B

7. El teorema fundamental de la proporcionalidad Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados. A AD DC = ‖ CB DE EB AE D E C B

8. Ejemplo 1: En la figura, AB=120cm, AC=96cm, AE=80cm. Calcule CD. A C B

9. Ejemplo 1: En la figura, AB=120cm, AC=96cm, AE=80cm. Calcule CD. 96 120 Solución: = 80 AD 120• AD 80•96 = A 120• AD 7680 = ‖ AD 7680 ÷120 = CB DE AD 64 = D E C B

10. Ejemplo 1: En la figura, AB=120cm, AC=96cm, AE=80cm. Calcule CD. AD 64 = AC = AD + CD A = 64 + CD 96 ‖ = 96 – 64 CD CB DE = 32 CD D E C B

11. Ejemplo 2: En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB. = A • 15 15cm 20 20cm 3cm D • E E • 12cm 12 • • C B B CB‖DE

12. Ejemplo 2: En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB. 15 12 = 20 A • 15cm 20cm 3cm D • E E • EB 12cm • • C B B CB‖DE

13. Ejemplo 2: En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB. 15 15 12 12 = = EB 20 20 EB • • A • 15cm 20cm 3cm D • E E • 12cm • • C B B CB‖DE

14. Ejemplo 2: En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB. 15 15 12 12 = = 20 20 EB EB 20 • 12 = 15 • EB A 240 240 240 = = 15 15 • EB EB • 15cm 20cm 3cm ÷ D • E E • 16 = EB 12cm Respuesta: • • C B B EB=16cm

15. Ejemplo 3: AD

16. El recíproco del teorema fundamental de la proporcionalidad Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado. A D E C B

17. El recíproco del teorema fundamental de la proporcionalidad Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado. DC AD = A Si EB AE D E entonces ‖ CB DE C B

18. Ejemplo: Determine si FG es paralela a QR. P F G PQ=24cm GQ=10cm FR=15cm PF=36cm Q R Solución: PF PG = FR GQ FG ‖ QR si y sólo si

19. P F G PQ=24cm GQ=10cm FR=15cm PF=36cm Q R Solución:

20. Solución: P F G PQ=24cm GQ=10cm FR=15cm PF=36cm Entonces hay que verificar si Note que PQ=24cm y GQ=10cm, entonces PG=14cm, por lo tanto se procede a verificar. Q R PF PG = 36 FR PF 24 PG GQ = FR 15 GQ 10

21. Solución: P F G PQ=24cm GQ=10cm FR=15cm PF=36cm Entonces hay que verificar si Note que PQ=24cm y GQ=10cm, entonces PG=14cm, por lo tanto se procede a verificar. Q R PF PG = 36 FR 24 GQ = = = 2,4 2,4 15 10 PF PG = Se concluye que porque FG ‖ QR FR GQ

22. Solución: P F G PQ=24cm GQ=10cm FR=15cm PF=36cm PF PG = porque se cumple que: Se concluye que FG ‖ QR Q R FR GQ