Alcune nozioni di Combinatoria Enumerativa

1. Alcune nozioni di Combinatoria Enumerativa Simone Rinaldi Corso di Laurea in Matematica Corso di Laurea in Scienza e Teoria dell’Informatica

2. La Combinatoria Enumerativa Sia O una classe di oggetti, p:O  N un parametro su O (taglia) tale che: è un insieme finito Problema: determinare La sequenza enumera la classe O rispetto al parametro p

3. La Combinatoria Enumerativa Sia O una classe di oggetti, p:O  N un parametro su O tale che: è un insieme finito Problema: determinare La sequenza si dice interpretazione combinatoria per la classe O rispetto a p

4. Quanto vale an?

5. Quanto vale an ? Forma chiusa per an

6. Quanto vale an ? Forma chiusa per an Esempio

7. Quanto vale an ? Forma chiusa per an Esempio Non è forma chiusa !!!

8. Quanto vale an ? Forma chiusa per an Relazione di ricorrenza per an Esempio Numeri di Fibonacci Numero delle Involuzioni

9. Quanto vale an ? Forma chiusa per an Relazione di ricorrenza per an Funzione generatrice di an

10. Quanto vale an ? Forma chiusa per an Relazione di ricorrenza per an Funzione generatrice di an Funzione generatrice dei coefficienti binomiali centrali Funzione generatrice dei numeri di Fibonacci

11. Quanto vale an ? Forma chiusa per an Relazione di ricorrenza per an Funzione generatrice di an Andamento asintotico di an

12. Quanto vale an ? Forma chiusa per an Relazione di ricorrenza per an Funzione generatrice di an Esempio Andamento asintotico di an Numeri di Fibonacci

13. Quanto vale an ? Esempio Composizioni aventi la parte più grande in prima posizione Funzione generatrice di an Andamento asintotico di an

14. Esempio 1. Alfabeto Morse Sia O la classe delle parole su A e sia Onla classe delle parole di O di lunghezza n lunghezza 1: 1 , lunghezza 2: 2 lunghezza 3: 3 , , lunghezza 4: 5 , , , , Quanto vale an=|On | ? 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

15. Gli oggetti di dimensione n2 possono essere ottenuti a partire dagli oggetti di dimensione n-2 aggiungendo una linea finale On-2 oppure a partire dagli oggetti di dimensione n-1 aggiungendo un punto finale On-1 Numeri di Fibonacci I numeri di Fibonacci enumerano la classe O rispetto alla lunghezza

16. Gli oggetti di dimensione n2 possono essere ottenuti a partire dagli oggetti di dimensione n-2 aggiungendo una linea finale On-2 oppure a partire dagli oggetti di dimensione n-1 aggiungendo un punto finale On-1 PROBLEMA: Quanto vale an ?

17. Torre di Hanoi Torre con n dischi con disposizione iniziale data in figura Scopo: trasferire l’intera torre in uno degli altri pali muovendo un solo disco per volta e senza mai disporre un disco sopra uno più piccolo

18. Tn= numero minimo di mosse per trasferire n dischi su un palo rispettando le regole del gioco Quanto vale Tn ? T0=0 T1=1 T2=3 • Per trasferire n dischi da A a C: • Si traferiscono gli n-1 più piccoli su B (Tn-1 mosse) • Si muove il disco più grande sul palo C, vuoto (1 mossa) • Si trasferiscono gli n-1 dischi da B a C (Tn-1 mosse) Relazione di ricorrenza

19. La relazione ci permette di computare tutti i valori che vogliamo di Tn E’ possibile trovare una forma chiusa? Posto

20. Linee nel piano • Qual è il massimo numero di regioni definito da n linee nel piano? Sia tale numero Ln 1 2 1 3 2 4

21. Se aggiungo una nuova linea (la n-esima) ho le Ln-1 regionidefinite dalle n-1 linee più n nuove regioni n … 3 1 2

22. Somma dei primi n numeri positivi con

23. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) ? il numero di tali matrici con dimensione n è 2nxn

24. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 ? il numero di tali matrici con dimensione n è 2nxn

25. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 ? il numero di tali matrici con dimensione n è 2nxn

26. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 ? il numero di tali matrici con dimensione n è 2nxn

27. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 ?

28. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 ?

29. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 ? il numero di tali matrici con dimensione n è con n-esimo numero di Fibonacci

30. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 né orizzontale né verticale?

31. Problemi difficili Quante sono le matrici binarie quadrate (n x n) che non contengono la sequenza 11 né orizzontale né verticale? Il numero di tali matrici con dimensione n non è noto !!

32. Esercizi sulle ricorrenze • Determinare la forma chiusa per la sequenza definita dalla relazione di ricorrenza

33. Esercizi sulle ricorrenze • Determinare la forma chiusa per la sequenza definita dalla relazione di ricorrenza

34. Osservazione: le condizioni iniziali sono importanti !!

35. Osservazione: le condizioni iniziali sono importanti !!

36. Osservazione: le condizioni iniziali sono importanti !!

37. Esercizi • Determinare la forma chiusa per la sequenza definita dalla relazione di ricorrenza • Determinare la forma chiusa per la sequenza definita dalla ricorrenza • Determinare la forma chiusa per la sequenza definita dalla ricorrenza

38. Esercizi • Determinare la forma chiusa per la sequenza definita dalla relazione di ricorrenza • Trasformare la seguente ricorrenza in una ricorrenza finita

39. Cambio di variabile Consideriamo la ricorrenza

40. Cambio di variabile Consideriamo la ricorrenza Osservazione: se la soluzione è

41. Cambio di variabile Consideriamo la ricorrenza Osservazione: se la soluzione è

42. Cambio di variabile Consideriamo la ricorrenza Osservazione: se la soluzione è Dunque consideriamo valori inziali

43. Cambio di variabile Consideriamo la ricorrenza Ricorrenza quadratica, di difficile soluzione. Poniamo: La ricorrenza diviene:

44. Cambio di variabile Consideriamo la ricorrenza Ricorrenza quadratica, di difficile soluzione. Poniamo: La ricorrenza diviene:

45. Cambio di variabile Consideriamo la ricorrenza Ricorrenza quadratica, di difficile soluzione. Poniamo: La ricorrenza diviene:

46. Cambio di variabile Poichè: Allora: Esercizio. Usando il metodo del cambio di variabile risolvere la ricorrenza

47. Sommatorie • Consideriamo somme finite della forma a1+a2+…+an • Proprietà distributiva • Proprietà associativa • Proprietà commutativa con p(k) permutazione degli interi

48. Principio di inclusione/esclusione Esempio.

49. Esercizio • Provare che: • Suggerimento:

50. Esercizio • Provare che: