Matematika v hudbe

1. Matematika v hudbe Andrea Jakimová, 3MIb

2. OBSAH • Úvod • Počiatky a vývoj hudby • Čo je zvuk? • Absolútna a relatívna výška tónu • Jednotkový a kvintový interval • Tónové sústavy a ladenie • Ako vníma zvukový impulz ľudské ucho? • Pytagorejské ladenie • Temperované ladenie • Iná možnosť ladenia • Záver

3. Úvod Predmet hudobná výchova je zaradený do programu vyučovania na základnej škole. Deti získavajú základné poznatky o notovom písme, o základnej škále tónov, o hudobných nástrojoch a skladateľoch hudby. Aký je však pôvod oktávy a aké dôvody viedli k výberu tónov v nej – to sú už oveľa ťažšie otázky a odpovedať na ne by bolo možné až na strednej škole. Práve tu vedomosti z fyziky a matematiky dovoľujú rozvinúť základy poznania zákonitostí tvorby hudobnej reči. Táto práca predstavuje pokus načrtnúť to, čo by mohlo tvoriť základ obsahu hodiny „hudobnej výchovy“ na strednej škole.

4. Počiatky a vývoj hudby • Hudba – druh umenia vyjadrujúci sa zvukom plynúcim v čase • Tónové systémy – jazyky v hudbe • Rôzne stupnice • Rôzne akordy, melódie • Rôzne hudobné útvary • Reč a hudba sa vyvíjali súčasne: • Tónové a bubnové reči dodnes používané v Afrike • Vývoj hudobných nástrojov súčasne s hudbou • Škrabadlá, bubny, vzduchozvučné nástorje • Strunozvučné nástroje • Vyvinuli sa z nich sláčikové, brnkacie a úderné

5. Čo je zvuk? • Zdroje zvuku – mechanické oscilátory, z ktorých sa zvuk šíri látkovým prostredím vo forme vlnenia • Vlnenie šíriace sa vzduchom, ktoré pôsobí na ľudské ucho – zvuk • Tón –zvuk, ktorý vzniká pravidelným chvením • Zvuky, ktoré nie sú tóny, vznikajú neperiodickým chvením a nazývajú sa hluky(napr. hrmenie)

6. Čo je zvuk? • Kmitanie – chvenie telesa spôsobené zmenou tlaku vzduchu, úderom kladivka • Vzduchom sa kmitanie prenáša do ucha, pričom ho počujeme ako zvuk alebo tón • Oblasť počutia - okolo 16Hz až 16000Hz, horná hranica sa vekom znižuje • Veľmi pomalé zmeny – pod prahom počutia • Rýchle zmeny – za prahom bolesti

7. Nižší tón Vyšší tón Absolútna a relatívna výška tónu • Ľudský sluch vníma tóny s väčšou frekvenciou ako vyššie, s menšou frekvenciou ako hlbšie:

8. Absolútna a relatívna výška tónu • Absolútna výška tónu – daná kmitočtom • Relatívna výška tónu – vzťah tónu k inému tónu, pomer jeho výšky od výšky iného tónu • Hudba je založená na relatívnych výškových vzťahoch, aj keď používa tóny absolútnych výšok

9. Absolútna a relatívna výška tónu • Majme dva tóny, z ktorých jeden má absolútnu výšku danú frekvenciou f1a druhý f2 • Relatívna výška tónu s frekvenciou f2 k tónu s frekvenciou f1 je definovaná ako pomer absolútnych výšok frekvencií týchto tónov • Hudobný interval je definovaný ako pomer f2:f1, kde f1, f2sú absolútne výšky tónov tvoriacich interval • Počíta sa relatívna výška vyššieho tónu k nižšiemu  veľkosť intervalu vždy aspoň jedna

10. Pôvodná frekvencia f1 l Nová frekvencia f2=2f1 l/2 Jednotkový a kvintový interval Zoberme strunu dĺžky l, ktorá sa chveje a tým vydáva zvuk. Nech sa chveje s frekvenciou f1. Ak strunu skrátime na polovicu, frekvencia jej chvenia sa zdvojnásobí. Ak by sme strunu skrátili na tretinu jej pôvodnej dĺžky, dostali by sme frekvenciu, ktorá je trojnásobkom pôvodnej.

11. Jednotkový a kvintový interval • V ukážke generujeme tón, ktorého frekvenciu postupne zvyšujeme. Všimnime si, že zo zvyšujúcou sa frekvenciou sa zvyšuje aj výška tónu • V nasledujúcej ukážke generujeme dva tóny, z ktorých jeden zvolíme za základný tón s frekvenciou f1. Frekvenciu druhého tónu postupne zvyšujeme. Pri týchto zmenách počuť, že súzvuk dvoch tónov je stále zreteľný, hoci neznie ľudskému uchu vždy príjemne.Ak druhý tón dosiahne frekvenciu 2f1, zdá sa nám, akoby znel iba jeden tón

12. Jednotkový a kvintový interval • Vzhľadom na experimentom zistenú skutočnosť môžeme za jednotkový zvukový interval zvoliť interval určený tónmi, ktorých relatívna frekvencia je 2 (tento interval sa nazýva tiež oktáva) • Ak súčasne znejú dva tóny s frekvenciami f1a f2, dvojzvuk znie príjemne ak relatívna frekvencia f2:f1je vyjadrená pomerom malých celých čísel • Napríklad f2:f1 = 2:1, f2:f1 = 2:3

13. Jednotkový a kvintový interval • Dĺžky strún v pomere a:b  relatívne výšky v opačnom pomere, teda b:a • Pomer malých celých čísel 2:1 • Hudobný interval tónov s výškami f a 2f – jednotkový • hudobný interval resp. - oktáva • Pomer dvoch malých celých čísel 3:2 • Frekvencie 3f a 2f • Hudobný interval resp. - kvinta

14. Tónové sústavy a ladenie • Tónová sústava – konečná množina tónov, usporiadaná podľa určitého princípu • Stupnica - postupný rad tónov, vybraný pomocou zvoleného princípu, nepresahujúci rozsah jednotkového intervalu

15. Tónové sústavy a ladenie • Počet tónov v stupnici je rôzny: • 5-tónová – pentatonika, známa už od 3. tisícročia pred n. l., v Číne používaná dodnes • 4-tónová stupnica nomos • 3-tónová stupnica – odvodenie (Bohumil Dušek) delením oktávy pomocou harmonického priemeru a aritmetického priemeru

16. Ako vníma zvukový impulz ľudské ucho? V ukážke generujeme dva tóny s frekvenciami f1 a f2=2f1 ohraničujúce jednotkový interval • Frekvenciu f2 zvýšime dvakrát, čiže pripočítame jednotkový interval • f2=4f1 • relatívna výška: 4 • Ďalšie opakovanie • f2=8f1 • Relatívna výška: 8

17. Ako vníma zvukový impulz ľudské ucho? • Súčin relatívnych frekvencií sa mení na súčet vnemov • Funkcia, ktorá mení súčin na súčet - logaritmická funkcia • Pre logaritmus pri základe a platí: • Základ logaritmu: • Rel. výška 2 – jeden jednotkový interval  • Rel. Výška 4 – dva jednotkové intervaly  Odtiaľ a=2

18. Logaritmus so základom 2

19. Pytagorejské ladenie Rovnomerne temperované ladenie • Pri stanovení stupnice - viac možností, ako určiť jednotlivé jej tóny: • Na x –ovej osi • Na y –ovej osi • Na krivke logaritmu • A iné

20. Pytagorejské ladenie • Odvodené od dvoch základných intervalov • od oktávy • od kvinty • Od základného tónu kvintové (a oktávové) kroky nahor a nadol - vznik tónovej sústavy • Rozdelíme jednotkový zvukový interval tak, aby boli relatívne frekvencie tónov vyjadrené pomermi mocnín čísel 3 a 2, teda aby boli tvaru , alebo , kde p, q sú prirodzené čísla

21. Pytagorejské ladenie • Nech C s frekvenciou f0 je prvý tón jednotkového intervalu. Tón o oktávu vyššie má frekvenciu 2f0, naopak, tón o oktávu nižšie od C má frekvenciu • Od C urobíme teraz jeden zostupný a päť vzostupných kvintových krokov. Hľadáme tóny v rozmedzí oktávy, teda ich frekvencie majú byť z intervalu .

22. Pytagorejské ladenie • Zostupný kvintový krok od C: Nižšie ako f0, vynásobíme číslom 2 Rel. Výška tónu f-1 k f0 je 4/3 a nazýva sa kvarta

23. Vzostupné kvintové kroky Frekvencia väčšia ako 2f0,predelíme dvoma f2:

24. Máme 7 frekvencií, ktoré zoradíme podľa veľkosti: • Relatívne frekvencie: • Frekvencie pytagorejského ladenia prislúchajúce základným tónom s obvyklým označením: C, D, E, F, G, A, H, c

25. f0 2f0 C D E F G A H c Relatívne frekvencie vždy dvoch po sebe nasledujúcich tónov: Na zjemnenie intervalov ešte urobíme od f5 päť vzostupných a od f-1 päť zostupných krokov.

26. Dostali sme osemnásť frekvencií, ktoré usporiadame podľa veľkosti: • V relatívnych hodnotách: • Urobili sme desať vzostupných a šesť zostupných kvintových krokov. Ak sme dostali frekvenciu mimo intervalu , upravili sme ju násobením, resp. delením dvoma • Zvýšené tóny označíme príponou –is a symbolom # (krížik), znížené príponou –es a symbolom ь (béčko)

29. Temperované ladenie • Ďalšia možnosť vytvorenia stupnice - delenie jednotkového intervalu v oblasti počutia, to jest intervalu na osi Oy • Chceme, aby sa v jednotkovom intervale dal zahrať tón, ktorého relatívna výška bude čo najbližšie k číslu • Rozdelíme jednotkový zvukový interval na rovnaké časti tak, aby jeden z bodov delenia čo najlepšie aproximoval hodnotu 0,584 962 5... (kvinta)

30. Rozdelenie na dve rovnaké časti - aproximácia kvinty je slabá • Rozdelenie na 3 rovnaké časti - nezlepšilo aproximáciu kvinty • Rozdelenie na 4 rovnaké časti - presnosť sa nezlepšila • Rozdelenie na 5 rovnakých častí - zatiaľ najlepšie výsledky

31. Rozdelenie na väčší počet dielikov nemusí byť vždy presnejšie • Nasledujúce lepšie priblíženie - rozdelenie na 12 častí • Z českých teoretikov spracoval návrh zaujímavej rovnomerne temperovanej sústavy o 612 stupňoch Josef Sumec už v roku 1917. Avšak sústavy s vysokým počtom členov sú neprehľadné a prakticky ťažko aplikovateľné

32. Pri rovnomerne temperovanom ladení sa jednotkový zvukový interval rozdelí na dvanásť rovnakých častí. Každá takáto časť oktávy sa nazýva temperovaný poltón • Označme frekvenciu základného tónu fa veľkosť temperovaného poltónu x. Preto:

33. Stupnica rovnomerne temperovaného ladenia obsahuje tóny, ktorých relatívne frekvencie sú: • Vzhľadom na iracionálnosť čísel, vystupujúcich v ladení, dajú sa frekvencie dosiahnuť vždy len približne

34. Prvé pokusy nerovnomerného temperovania - 16. storočie • Na začiatku 18. storočia - rovnomerná temperatúra • Johann G. Neidhardt • Andreas Werckmeister • Známe dielo Johanna Sebastiana Bacha - Dobre temperovaný klavír – skvelo ukázalo prijateľnosť nového temperovaného ladenia

36. Iná možnosť ladenia • Ďalšia zaujímavá sústava - staroindický tónový systém • Štýly indickej hudby sa odlišujú a majú toľko podskupín, koľko sa v Indii nachádza národov. Hudba spočíva v improvizácii hudobníkov • Základ - stupnica s dvoma hlavnými tónmi • môže mať menej aj viac ako 7 tónov, • tóny nemusia byť zoradené úplne vzostupne (arohana) či zostupne (avarohana), • vzostupný rad obyčajne nie je zhodný so zostupným radom • improvizuje sa s množstvom melodických ozdôb a akcentov, čo všetko vo vzájomnej zhode vytvára atmosféru, ktorú má daná stupnica vyvolať

37. Záver • Načrtli sme niektoré problémy s vytváraním tónov hudobnej stupnice a ukázali niektoré jeho riešenia. Táto téma však naznačuje nebývalú šírku, do ktorej by ju bolo možné rozvíjať. V práci však išlo o položenie určitého pevného základu, v ktorom majú svoje miesto logaritmická funkcia, mocniny prvočísel 2 a 3 a iracionálne čísla • Predmet hudobná výchova na strednej škole nie je, avšak odbočiť k nej pri preberaní logaritmu by určite prinieslo svoje ovocie

38. Ďakujem za pozornosť