Gegenstände der Geometrie

1. Gegenstände der Geometrie

2. Inhalt • Quadrat • Kreis • Würfel • Das Pentagramm • Parkette • ---

3. 1. Das Quadrat Gerade Linien in der Natur? Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, … Faltkanten. Rechte Winkel in der Natur? „Schwerkraft zu Oberfläche“: Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, … (daher der Name „Lot“ bzw. „lotrecht“). Spiegelbild, … auf sich selbst gefaltete gerade Linie

4. Das Quadrat • Durch Falten erhält man ein Rechteck • Aus einem Rechteck erhält man durch Falten ein Quadrat, dessen Seite gleich der kürzeren Seite des Rechtecks ist.

5. Symmetrien eines Quadrats • Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man entlang der Spiegelachse faltet und die Figur mit sich selbst zur Deckung bringt. • Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und 2 Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten.

6. Aus einem Quadrat ein anderes • Das Quadrat über der Diagonale hat die doppelte Fläche („ist doppelt so groß“). • Das Quadrat über der halben Diagonale hat die halbe Fläche („ist halb so groß“).

7. Fact sheet Quadrat Definition. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und gleichgroßen Winkeln. Alle Winkel eines Quadrats sind rechte Winkel. Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge a. • A = a2, U = 4a. • Länge der Diagonale: a∙2. Insbesondere: Bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die Diagonale die Länge 2.

8. 2. Der Kreis Runde Dinge in der Welt? Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, … Durch „Physik“: Stein fällt ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne, Planeten, … Durch Abrollen: Rad, Lawine, … Durch den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen, Pizzateig, … Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, …

9. Wie kann man einen Kreis herstellen? • Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, …) Dazu braucht man den Mittelpunkt nicht zu kennen • Durch Abrollen (Teig, Knete, …) • Punkte gleichen Abstands um den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel, …, Hammerwurf, … Mond um Erde, …

10. Durchmesser Die längste Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist der Durchmesser; er geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse des Kreises. Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.

11. Fact sheet Kreis Definition. Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand von einem festen Punkt („Mittelpunkt“) haben. A = pr2, U = 2pr. • p ist „transzendent“. Das bedeutet insbesondere, dass man mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis kein flächengleiches Quadrat konstruieren kann (Unmöglichkeit der „Quadratur des Kreises“).

12. 3. Der Würfel • Vorkommen in der Natur: Kristalle • Vorkommen in der Kultur: Mekka • Herstellung einer Ebene • Das Wort „Würfel“ kommt von „würfeln“. Wenn man nur das entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man oft auch von einemHexaeder(= Sechsflächner). (Man kann auch mit einem Tetraeder „würfeln“.)

13. Würfelnetze • Ein Netzist ein „zusammenhängender Bastelbogen“. D.h. ein Netz ist eine ebene Figur, deren Teile die Seitenflächen sind, so dass man sie zu dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten kann. • Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze. • Wenn man einen Würfel konkret baut, braucht man auch Klebefalze. Wie viele?

14. Fact sheet Würfel • Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten. • (Es gilt die Eulersche Polyederformel: Anz. Ecken – Anz. Kanten + Anz. Flächen = 2.) • Ein Würfel der Kantenlänge a hat das Volumen V = a3 und die Oberfläche O = 6a2. • Ein Würfel hat 3+6 Symmetrieebenen. • Der Würfel hat eine „dreizählige“ Drehsymmetrie um die Raumdiagonalen. • Es gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die Länge a3.

15. Berühmtes Problem: Verdoppelung des Würfels Kann man – nur mit Zirkel und Lineal – zu einem gegebenen Würfel einen Würfel mit genau doppeltem Volumen konstruieren? Antwort: Nein! Das kann man mathematisch beweisen!

16. Würfel: Aufgaben Wenn man einen Würfel mit einem geraden Schnitt durchschneidet, welche der folgenden Schnittflächen können dann auftreten? Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenkliges, aber nicht gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Rechteck (kein Quadrat), reguläres Sechseck?

17. 4. Das Pentagramm Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern (griech.) penta = fünf Auftreten: Weihnachtssterne Sterne auf Flaggen (U.S.A., …) Symbol für Pythagoräer, RAF, San Pellegrino, …

18. Pentagramm: Eigenschaften Zeichnen: Achte auf „durchgehende“ Linien! Wenn man die Spitzen verbindet, erhält man ein reguläres Fünfeck. Falten eines Fünfecks Umgekehrt: Wenn man in ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen zeichnet, erhält man ein Pentagramm. Im „Innern“ eines Pentagramms erkennt man ein reguläres Fünfeck, in diesem wieder ein Pentagramm, in diesem wieder ein Fünfeck usw. usw.

19. Fact sheet Pentagramm Das Pentagramm ist in enger Weise mit dem „goldenen Schnitt“ verbunden. (Dieser ist als Zahl etwa gleich 0,618… D.h. ein Punkt teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, wenn er bei etwa 61,8% der Strecke liegt.) Die inneren Ecken teilen die Strecke „Spitze zu Spitze“ im goldenen Schnitt. Das Verhältnis einer Strecke „Spitze zu Spitze“ zu der Verbindungsstrecke von zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist der goldene Schnitt. Usw.

20. 5. Parkette Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, … Idee: Man möchte die ein beliebig großes Stück der Ebene überdecken. Definition: Ein Parkett besteht aus Parkettsteinen, die insgesamt die gesamte Ebene lückenlos und überschneidungsfrei überdecken.

21. Reguläre Parkette Wir betrachten nur Parkette … aus Vielecken, … bei denen je zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in einer Ecke oder eine ganzen Kante übereinstimmen. Definition.Ein Parkett heißtregulär, wenn jeder Parkettstein ein reguläres n-Ecke ist (jeweils dasselbe n). Beispiele von regulären Parketten: n = 6 (Typ „Bienenwaben“), n = 4 (Typ „Schachbrett“), n = 3 (Typ „Halmabrett“).

22. Charakterisierung regulärer Parkette Satz (Kepler). Die einzigen regulären Parkette sind die aus Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken. Beweis. Idee: Betrachte die Situation an einer Ecke. Dort müssen mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen. n = 5: Drei Steine sind zu wenig, vier schon zuviel. n > 6: Schon drei Steine an einer Ecke sind zu viel.  Bemerkung: Im allgemeinen gibt es unglaublich viele verschiedenen Parkette. Ihre Entdeckung und Beschreibung ist ein blühendes mathematisches Forschungsgebiet.

23. 4. Die Pyramide EinePyramidehat eineSpitzeund eineGrundfläche. Die Grundfläche ist (meist) ein reguläres n-Eck. Man spricht von einer n-seitigen Pyramide. Bei den ägyptischen Pyramiden ist die Grundfläche ein Quadrat. Die Seitenflächen sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke.

24. Daten Cheopsyramide • Erbaut ca. 2000 v. Chr. • Grundseite 230 m, Höhe 146 m (jetzt 137 m) • 2,5 Millionen m3 Mauerwerk

25. Fact Sheet Pyramide Oberfläche = Fläche der Grundseite + n × Fläche der Seitendreiecke Volumen =1/3 × Grundfläche × Höhe Aufgaben: 1. Welche Maße muss ein gleichschenkliges Dreieck haben, damit es Seitenfläche einer Pyramide mit gegebener Grundseite sein kann? 2. Entwerfen Sie einen Bastelbogen für eine 5-seitige Pyramide.