1 / 68

GEOMETRIE

Realizat de prof. TIT CUPRIAN. GEOMETRIE. CLASA a VI-a. Semestrul I + II. Capitole:. 1. Figuri si corpuri geometrice. 2. Dreapta. 3. Unghiuri. 4. Congruenta triunghiurilor. 5. Perpendicularitate. 6. Paralelism. 7. Proprietati ale triunghiurilor. 8. Patrulatere.

nina-schwartz
Download Presentation

GEOMETRIE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Realizat de prof. TIT CUPRIAN GEOMETRIE CLASA a VI-a Semestrul I + II Capitole: 1. Figuri si corpuri geometrice 2. Dreapta 3. Unghiuri 4. Congruenta triunghiurilor 5. Perpendicularitate 6. Paralelism 7. Proprietati ale triunghiurilor 8. Patrulatere . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  2. FIGURI SI CORPURI GEOMETRICE .

  3. INSTRUMENTE GEOMETRICE 1. Rigla gradata = se utilizeaza pentru constructia de drepte si segmente de dreapta de lungimi date si pentru masurarea lungimilor segmentelor de dreapta. 2. Compas = se utilizeaza pentru constructia de cercuri si de arcuri de cerc; de asemenea este folosit la constructia triunghiurilor si a unor linii importante in triunghi. 3. Echerul = este folosit pentru verificarea masurilor unor unghiuri date dar si pentru constructia unghiurilor de 30, 45, 60, 90 de grade. 4. Raportorul = este folosit pentru constructia si verificarea masurii unui unghi dat. .

  4. FIGURI GEOMETRICE Prezentare prin descriere si desen Linia franta = este formata din reuniunea a mai multor segmente de dreapta. Linia curba = este formata din reuniunea de arce de cerc si de segmente de dreapta. Triunghiul = este figura geometrica formata din trei laturi. Cercul Patrulaterul = este figura geometrica formata din patru laturi. Unghiul . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  5. CORPURI GEOMETRICE CONUL Varf Varf CUBUL Muchie Suprafaţa conică Faţă Varf PARALELIPIPEDUL DREPTUNGHIC PIRAMIDA Muchie Faţă CILINDRUL SFERA Suprafaţa cilindrică . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  6. DESFĂŞURAREA PARALELIPIPEDULUI DREPTUNGHIC Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  7. IDENTIFICAREA UNOR FIGURI GEOMETRICE PLANE PE FEŢELE CORPURILOR GEOMETRICE Triunghi Patrat Dreptunghi Cerc Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  8. DREAPTA . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  9. PUNCT, DREAPTĂ, PLAN 1. Punctul este figura geometrică ce se aseamănă cu o urmă lăsată de varful unui creion. Punctul nu are dimensiune. Se reprezintă in desen astfel: A Se notează cu litere mari de tipar: 2. Dreapta este figura geometrică ce se aseamănă cu un fir perfect intins si fără margini. Dreapta are o singură dimensiune: lungimea. Se reprezintă in desen astfel: d A B Se notează cu litere mici de mană sau dacă există pe dreaptă două puncte, de ex. AB: Se reprezintă in desen astfel: 3. Planul este figura geometrică ce se aseamănă cu o panză perfect intinsă si fără margini. Planul are două dimensiuni: lungimea si lăţimea. A C Se notează cu litere mici de mană, greceşti:  B Sau daca există trei puncte in plan, de ex. (ABC): . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  10. SEMIDREAPTĂ, SEGMENT, SEMIPLAN A B A O Semidreapta este dreapta mărginită laun capăt. Segmentul de dreaptă este dreapta mărginită la ambele capete. O = originea semidreptei. Segmentul de dreaptă se notează cu [AB] dacă punctele A si B aparţin segmentului sau (AB) dacă punctele A şi B nu aparţin segmentului. Semidreapta se notează: [OA dacă punctul O aparţine semidreptei sau (OA dacă punctul O nu aparţine semidreptei. O dreaptă imparte un plan in două semiplane: A d Un punct nu poate fi decat intr-un singur semiplan. Se poate nota astfel: [dA sau (dA. Semiplan Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  11. POZIŢIILE RELATIVE ALE UNUI PUNCT FAŢĂ DE O DREAPTĂ A d B In figura de mai sus, punctul A se află pe dreapta d; Scriem Ad si citim: punctul A apartine dreptei d. In figura de mai sus, punctul B nu se află pe dreapta d; Scriem Bd si citim: punctul B nu apartine dreptei d. Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una. Mai multe puncte ce se afla pe o dreapta se numesc puncte coliniare. B A Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  12. POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE 1. Drepte concurente. A Doua drepte sunt concurente daca au un punct comun. d2 d1 d1d2 = {A} d2 2. Drepte identice. d1 Doua drepte sunt identice daca au doua puncte distincte comune. A B d1d2 = {A,B}, A  B. 3. Drepte paralele. Doua drepte se numesc paralele daca nu au nici un punct comun. d1 d1d2 =  d2 . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  13. LUNGIMEA UNUI SEGMENT. SEGMENTE CONGRUENTE. MIJLOCUL UNUI SEGMENT A B Distanta de la punctul A la punctul B este lungimea segmentului [AB]. Lungimea segmentului [AB] se noteaza cu AB. Tot cu AB se noteaza si lungimea segmentului (AB). Doua segmente de lungimi egale se numesc segmente congruente. B Mijlocul unui segment este punctul ce imparte segmentul dat in doua segmente congruente. Daca AB = CD = 1,5 cm 1,5 cm A Atunci segmentele AB si CD sunt congruente. A B M C 1,5 cm Daca AM = MB, atunci: [AB]  [CD] M este mijlocul lui [AB]. Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 D .

  14. UNGHIURI . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  15. UNGHIURI DEFINIŢIE. NOTAŢII. ELEMENTE D e f i n i t i e . Figura geometrica formata din doua semidrepte care au aceeasi origine se numeste u n g h i . Unghiurile se noteaza: A AOB Laturile unghiului O Interiorul unghiului sau AOB B Exteriorul unghiului Varful unghiului . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  16. MĂSURAREA UNGHIURILOR Si unghiurile se masoara! Ceea ce se masoara este ,,deschiderea” dintre laturile unghiului. (in nici un caz lungimile laturilor). Unitatea de masura a unghiului este gradul sexagesimal. Instrumentul de masura se numeste raportorul. Submultiplii gradului sunt: 10 = 60` (60 de minute). 1` = 60`` (60 de secunde). Definitie. Doua unghiuri cu masurile egale se numesc unghiuri congruente. O` Daca m(<AOB) = m(<A`O`B`) A atunci unghiurile sunt congruente: 400 400 O AOB  A`O`B` B B` A` Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  17. CLASIFICAREA UNGHIURILOR Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 1. Unghi nul 2. Unghi ascutit A O A B m(<AOB) = 00 00 < m(<AOB) < 900 O 3. Unghi drept B 4. Unghi obtuz B m(<AOB) = 900 B 900 < m(<AOB) < 1800 O A 5. Unghi plin (sau cu laturile in prelungire) O A m(<AOB) = 1800 B O A .

  18. UNGHIURI ADIACENTE. BISECTOAREA A Definitie. Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorul unghiului si formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri congruente. O B A M O C Doua unghiuri se numesc adiacente daca au varful comun, o latura comuna iar celelalte doua laturi sunt respectiv de o parte si de cealalta a laturii comune. B AOM  MOB OM = bisectoarea unghiului AOB . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  19. UNGHIURI COMPLEMENTARE SI SUPLEMENTARE Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 B C B A C O O A Unghiurile AOB si BOC sunt complementare daca suma masurilor lor este egala cu 900. Unghiurile AOB si BOC sunt suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 1800. .

  20. UNGHIURI OPUSE LA VARF B Definitie. Doua unghiuri cu acelasi varf se numesc opuse la varf daca laturile unuia sunt in prelungirea laturilor celuilalt. C O Unghiurile AOC si BOD sunt opuse la varf si sunt congruente. A D Unghiul BOC este suplementul unghiului AOC sau a unghiului BOD. Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este de 3600. . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  21. CALCULE CU MĂSURI DE UNGHIURI INMULTIREA SCADEREA ADUNAREA 12015`35`` 8 70012`20``– 34035`40`` 62045`51``+ 43039`48`` 69071`80``– 34035`40`` 960120`280``=9804`40`` 105084`99``= Pentru ca: 106025`39`` 280``=4`40``; 120`=20. 35036`40`` IMPARTIREA 120 61012`5``:5 = 14` 25`` 610:5=120 si rest 10=60` (12`+60`):5=72`:5=14` si rest 2`=120`` (5``+120``):5=125``:5=25`` . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  22. CONGRUENŢA TRIUNGHIURILOR Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  23. TRIUNGHI. DEFINIŢIE. ELEMENTE Definitie.Se numeste triunghi o figura geometrica ce rezulta dintr-o reuniune ca [AB][BC][CA], unde A, B, C sunt puncte necolineare. C Varf Latura Interior Unghi A B Triunghiul se noteaza astfel: ABC. Triunghiul are: 3 varfuri; 3 laturi; 3 unghiuri. . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  24. CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR Triunghi scalen Triunghi isoscel Triunghi echilateral Are laturile de lungimi diferite. Are doua laturi de lungimi egale. Are toate cele trei laturi egale. Triunghi ascutitunghic Triunghi dreptunghic Triunghi obtuzunghic Are un unghi drept. Are un unghi obtuz. Are toate unghiurile ascutite. . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  25. PERIMETRUL TRIUNGHIULUI Definitie. Suma lungimilor laturilor unui triunghi se numesteperimetrultriunghiului. A Conditia de existenta a unui triunghi: a+b>c; a+c>b; b+c>a Perimetrul triunghiului ABC: b c PABC = a + b + c Semiperimetrul triunghiului: C B a . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  26. UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura): A Unghi exterior  Atunci avem relatiile:  = 1800–   =  +   +  +  = 1800.    B C D Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  27. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR C a z u l L.U.L. Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor. Construiti un triunghi cu doua laturi de 5 si respectiv 4 cm si masura unghiului cuprins intre ele de 700. Etapele de lucru: 1. Construiti cu rigla un segment de 5cm. 4 cm. 2. Construiti un unghi de 700, una din laturi fiind de 5 cm. 3. Luati pe cea de-a doua latura un segment de 4cm. 700 4. Uniti extremitatile celor doua laturi construite. 5 cm. Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  28. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR C a z u l U.L.U. Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor. Construiti un triunghi cu o latura de 5cm si doua unghiuri alaturate laturii cunoscute, de 600 si respectiv 750. Etapele de lucru: 1. Construiti cu rigla un segment de 5 cm. 2. Construiti un unghi de 600 alaturate laturii de 5cm. 3. Construiti la cealalta extrema a laturii date, un unghi de 750. 4. Identificati punctul de intersectie a dreptelor construite. 750 5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm. 600 5 cm. Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  29. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR C a z u l L.L.L. Avem nevoie de o rigla gradata si un compas. Construiti un triunghi cu lungimile laturilor de 5, 6 si 7 cm. Etapele de lucru: 1. Construiti cu ajutorul riglei o latura, spre exemplu, de 5 cm. 2. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu deschizatura de 6 cm, si cu varful in A trasati un arc de cerc. 6 cm. 7 cm. 3. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu deschizatura de 7 cm, si cu varful in B trasati un arc de cerc. 4. Identificati punctul de intersectie al arcelor de cerc. 5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm. 5 cm. A B Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  30. CAZURILE DE CONGRUENŢĂ CAZUL L.U.L. CAZUL U.L.U. CAZUL L.L.L. Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate doua laturi si unghiul determinat de ele, respectiv congruente Doua triunghiuri sunt congruente daca au toate laturile, respectiv congruente Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate ei, respectiv congruente Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  31. ELEMENTE DE RAŢIONAMENT GEOMETRIC demonstraţie = vine din limba latina: demonstratio = dovedire. axiomă = vine din limba greaca: axioma = opinie, teza admisa. teoremă = vine din limba greaca: theorema = examinare, cercetare. ipoteză = este compus din doua cuvinte provenite din limba greaca: hypo = sub si thesis = punere. premisă – vine din limba latina: praemissus = pus inainte, anterior. concluzie = vine din limba latina: conclusio = incheiere. O problema de geometrie este compusa din trei parti: ipoteza (datele problemei), concluzia (cerinta problemei) si demonstratia (rezolvarea problemei). Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  32. PERPENDICULARITATE Semestrul II . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  33. DREPTE PERPENDICULARE Definitie. Doua drepte se numesc perpendiculare (ortogonale) daca la intersectia lor formeaza un unghi drept (de 900). Doua drepte perpendiculare se pot construi cu ajutorul unui echer; urmariti figura din stanga. Cum se arata pe figura ca dreptele sunt perpendiculare: d1 Cum se scrie: d1 d2 d2 . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  34. DISTANŢA DE LA UN PUNCT LA O DREAPTĂ A Distanta de la un punct la o dreapta data este lungimea segmentului de dreapta perpendicular dus din punctul dat pe dreapta data. Urmariti cu atentie cum se construieste ,,distanta” de la un punct la o dreapta cu ajutorul echerului. O Oblica fata de dreapta d este dreapta ce trece prin punctul A si un punct de pe dreapta d diferit de cel O. d oblica Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  35. CAZURILE DE CONGRUENŢĂ A TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE Cazul C.I. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate o cateta si ipotenuza, respectiv congruente. Cazul C.C. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au catetele respectiv congruente. Cazul I.U. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate un unghi ascutit si ipotenuzele, respectiv congruente. Cazul C.U. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate o cateta si un unghi ascutit, respectiv congruente. Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  36. MEDIATOAREA UNUI SEGMENT C O N S T R U C T I A M E D I A T O A R E I Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a echerului Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a compasului Faza 1. Se masoara lungimea segmentului si se afla mijlocul acestuia; Faza 1. Se construieste segmentul AB; Faza 2. Cu ajutorul compasului, cu varful din A si din B, de o parte si de alta a segmentului se traseaza arce de cerc, fara a modifica raza compasului; Faza 2. cu ajutorul echerului se construieste perpendiculara pe mijlocul segmentului; Faza 3. Prin punctele de intersectie al arcelor de cerc se construieste o dreapta ce va fi mediatoarea segmentului dat. B A A M B . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  37. PROPRIETATEA MEDIATOAREI Teorema. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de extremitatile segmentului dat. P DEMONSTRATIE:  [PA][PB] A M B Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  38. MEDIATOAREA INTR-UN TRIUNGHI A Punctul de intersectie al celor trei mediatoare se numeste centrul cercului circumscris triunghiului. Daca OB = R (raza cercului circumscris), atunci avem: O R B C Unde: a, b, c sunt lungimile celor trei laturi iar A este aria triunghiului. Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  39. BISECTOAREA UNUI UNGHI Constructia bisectoarei cu ajutorul raportorului bisectoarea 1. Se construieste unghiul dat. 2.Cu ajutorul raportorului se masoara unghiul, masura se imparte la doi si se pune semnul in dreptul masurii injumatatite. 3. Cu ajutorul riglei se construieste semidreapta din varful unghiului ce va trece prin semnul masurii injumatatite. Constructia bisectoarei cu ajutorul compasului 1. Se construieste unghiul dat. 2. Cu varful compasului in O se construieste un arc de cerc ce taie laturile unghiului in A si B. A M 3. Cu varful compasului in A si respectiv in B se construiesc doua arce de cerc, de raze egale, ce se vor intersecta in punctul M. 4. Cu rigla se construieste semidreapta ce pleaca din O si trece prim punctul M. O Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 B .

  40. PROPRIETATEA BISECTOAREI Teorema. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal departat de laturile unghiului dat. Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, se afla in interiorul acestuia si il imparte in doua unghiuri adiacente congruente. A M <AOM  <BOM Bisectoarea este locul geometric al tuturor punctelor egal departate de laturile unghiului. O B Daca: MA  OA MB  OB atunci: [MA]  [MB] Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  41. BISECTOAREA INTR-UN TRIUNGHI Cele trei bisectoare intr-un triunghi se intersecteaza intr-un singur punct, O, numit centru cercului inscris in triunghi. A Daca AA` si BB` sunt bisectoare si se intersecteaza in punctul O, atunci si CO este bisectoarea unghiului BCA. Daca r este raza cercului inscris in triunghiul ABC, atunci avem: B` C` O r Unde A este aria triunghiului iar p este semiperimetrul triunghiului C B A` Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  42. UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PERPENDICULARE Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare, sunt congruente. Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare, sunt suplementare. Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  43. PARALELISM Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  44. DREPTE PARALELE Definitie. Doua drepte diferite continute in acelasi plan, care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele. a Scriem aceasta astfel: ab. b Si intelegem ca ab= Daca acsibc, atunci: c a b ab Axioma paralelelor.Printr-un punct dat, exterior unei drepte date, exista o singura paralela la dreapta data. . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  45. CRITERII DE PARALELISM a Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza doua perechi de unghiuri alterne interne congruente. Urmariti figura. b Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza patru perechi de unghiuri corespondente congruente. Urmariti figura(animatie morisca). c Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza doua perechi de unghiurialterne externe congruente. Urmariti figura. . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  46. UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PARALELE Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt congruente. Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt suplementare. Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  47. PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIURILOR Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  48. SUMA MĂSURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI A d TEOREMA. Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este de 1800. 1 2 Demonstratie: • Dreapta d este paralela cu dreapta BC; • Se formeaza unghiuri alterne interne congruente. m(<B) = m(<A1) m(<C) = m(<A2) m(<A)+m(<B)+m(<C)= =m(<A)+m(<A1)+m(<A2)= =1800. B C Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

  49. UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura): A Unghi exterior  Atunci avem relatiile:  = 1800–   =  +   +  +  = 1800.    B C D Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

  50. INĂLŢIMEA INTR-UN TRIUNGHI A Inaltimea unui triunghi este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura opusa. Punctul de intersectie al inaltimilor se numeste ortocentrul triunghiului. Intr-un triunghi dreptunghic, ortocentrul se afla in varful unghiului drept. B` C` H H C B A` Daca se cunoaste lungimea unei laturi, a, si inaltimea corespunzatoare acestei laturi, ha, atunci: . Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

More Related