GEOMETRI DALAM BIDANG

1. GEOMETRI DALAM BIDANG Pertemuan 16

2. ELIPS dan HIPERBOLA adalah konik yang memenuhi persamaan : | PF | = e | PL | Baik elips maupun hiperbola mempunyai dua puncak yang terletak pada sumbu utama. Titik tengah dari kedua puncak disebut pusat konik. Elips dan hiperbola disebut konik terpusat.

3. Pusat di titik asal : O ( 0 , 0 ) Sumbu utama : Sumbu X Fokus : F1 ( c , 0) dan F2 (- c , 0) Garis arah : x1 = k dan x2 = - k Puncak : A1 (a , 0) dan A2 ( - a , 0 ) Titik pada kurva : P ( x , y )

4. Garis arah x2 = - k Garis arah x1 = + k Y P(x,y) L(+k,y) A1 X A2 F2(-c,0) F1(+c,0) O Y P(x,y) L(x,y) A2 A1 X F1(+c,0) F2(-c,0) O Garis arah x1 = + k Garis arah x2 = - k

5. | PF | = e | PL | P = A1 a - c = e ( k - a ) = e k - e a P = A2 a + c = e ( k + a )= ek + e a Dari kedua persamaan di atas, diperoleh : c = a . e k = a / e

6. Titik pada kurva : P ( x , y ) Fokus :F1 ( c,0 ) = F1 ( ae,0 ) Proyeksi P pada garis arah: L1 ( k,y ) = L1 ( a/e,y ) | PF | = e | PL |

7. Setelah disederhanakan, diperoleh : Dalam persamaan di atas terdapat hanya suku-suku x dan y yang genap pangkatnya, artinya elips dan hiperbola letaknya simetris terhadap sumbu X, sumbu Y dan titik asal O. Karena kesimetrisan ini, maka harus ada fokus dan garis arah kedua.

8. Fokus : F1 ( +c , 0 ) = F1 ( +a e , 0 ) F2 ( - c , 0 ) = F2 ( - a e , 0 ) Garis arah : x1 = + k = + a / e x2 = - k = - a / e Puncak : A1 ( +a , 0 ) A2 ( - a , 0 )

9. Persamaan Baku Elips Nilai eksentrisitas untuk elips : 0 < e < 1 1 - e 2 > 0 Persamaan yang diperoleh di atas :

10. Jika kita misalkan : Persamaan baku elips mendatar (sumbu utama pada sumbu X) dengan pusat di titik asal O (0,0), puncak di titik A (±a,0) dan fokus di titik F (±c,0) adalah :

11. Bilangan 2a : garis tengah panjang. Bilangan 2b : garis tengah pendek. b2 = a2( 1 - e2 ) = a2 - a2 e2 = a2 - c2 ( karena c = a e ) a2 = b2 + c2 (hubungan Pythagoras )

12. Garis arah x2 = - a/e Garis arah x1 = + a/e Y P (x,y) X F2 (-ae,0) O F1 (+ae,0)

13. Pengaruh Perubahan Nilai e pada Elips • Jika e mendekati 1 (eksentrisitas besar), maka • kecil dibandingkan dengan a, artinya elips bentuknya tipis dan memanjang. • Jika e mendekati 0 (eksentrisitas kecil), maka • mendekati a, • artinya elips bentuknya tebal dan hampir mendekati lingkaran. • Jika e sama dengan 0 (eksentrisitas nol), maka sama dengan a, artinya elips menjadi lingkaran

14. Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O (0,0) dan jari-jari a : x2 + y2 = a2

15. Pengaruh Pertukaran Nilai x dan y pada Elips Jika nilai x dan y dipertukarkan, maka persamaan di atas menjadi : Persamaan ini merupakan persamaan elips tegak (sumbu utama pada sumbu Y) dengan puncak berada di titik A (0, ±a).dan fokus di titik F (0, ±c).

16. Persamaan Baku Hiperbola Nilai eksentrisitas untuk hiperbola : e > 1 e2 - 1 > 0 Persamaan yang diperoleh di atas :

17. Jika kita misalkan : Persamaan baku hiperbola mendatar (sumbu utama pada sumbu X) dengan puncak di titik A (±a,0), dan fokusdi titik F (±c,0) adalah :

18. b2 = a2 ( e2 - 1 ) = a2 e2 - a2 = c2 - a2 ( karena c = ae ) c2 = a2 + b2 ( hubungan Pythagoras ) Y Y Y P (x,y) P (x,y) P (x,y) X X X O O O F2 (-ae,0) F2 (-ae,0) F2 (-ae,0) F1 (+ae,0) F1 (+ae,0) F1 (+ae,0) Garis arah x2 = + a/e Garis arah x2 = + a/e Garis arah x2 = + a/e Garis arah x1 = - a/e Garis arah x1 = - a/e Garis arah x1 = - a/e

19. Penafsiran Nilai b pada Hiperbola Persamaan di atas : atau

20. Jika nilai x besar, maka nilai hampir sama dengan nilai x, sehingga merupakan persamaan garis asimptot dari hiperbola.

21. Pengaruh Pertukaran Nilai x dan y pada Hiperbola Jika nilai x dan y dipertukarkan, maka persamaan di atas menjadi :

22. Persamaan ini merupakan persamaan hiperbola tegak (sumbu utama pada sumbu Y) dengan puncak berada di titik A (0, ±a).dan fokus di titik F (0, ±c).